数学线性代数习题课PPT课件

1、第1页/共103页把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个元个元素的素的全排列全排列（或（或排列排列）nn个不同的元素的所有排列的种数用个不同的元素的所有排列的种数用 表示，表示，且且 nnP!nPn 、全排列一、主要内容一、主要内容第2页/共103页逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列，逆序数为，逆序数为偶数的排列称为偶数的排列称为偶排列偶排列在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 ，则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序 nstiiiii21stii 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆逆序数序数

2、、逆序数第3页/共103页分别计算出排列中每个元素前面比它大的数分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数方法方法2 2方法方法1 1分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的前面比它大的数码之和，即分别算出数码之和，即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这的逆序数，这 个元素的逆序数之总和即为所求个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数n,n,121 n,n,121 nn、计算排列逆序数的方法第4页/共103页定义定

3、义在排列中，将任意两个元素对调，其余元在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次素不动，称为一次对换对换将相邻两个元素对调，将相邻两个元素对调，叫做叫做邻换邻换定理定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇偶性推论推论奇排列奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列偶排列调成标准排列的对换次数为偶数调成标准排列的对换次数为偶数、对换第5页/共103页 nnnpppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212122221112111 、n阶行列式的定义., 2 , 1;, 2 , 12121列取

4、和列取和的所有排的所有排表示对表示对个排列的逆序数个排列的逆序数为这为这的一个排列的一个排列为自然数为自然数其中其中ntnppppppnn 第6页/共103页.,)1(21212121的的逆逆序序数数为为行行标标排排列列其其中中亦亦可可定定义义为为阶阶行行列列式式ppptaaaDDnnnpppppptnn 第7页/共103页. ,)()4.,)()3.),()2.DD,1)T乘乘此此行行列列式式等等于于用用数数一一数数中中所所有有的的元元素素都都乘乘以以同同列列行行列列式式的的某某一一行行等等于于零零则则此此行行列列式式完完全全相相同同列列如如果果行行列列式式有有两两行行行行列列式式变变号号列

5、列互互换换行行列列式式的的两两行行即即式式相相等等行行列列式式与与它它的的转转置置行行列列kk 、n阶行列式的性质第8页/共103页., )( , )( )8., )( )7., )( )6. )( )5行行列列式式的的值值不不变变对对应应的的元元素素上上去去行行后后加加到到另另一一列列然然的的各各元元素素乘乘以以同同一一数数行行把把行行列列式式的的某某一一列列式式之之和和此此行行列列式式等等于于两两个个行行列列则则的的元元素素都都是是两两数数之之和和行行若若行行列列式式的的某某一一列列式式为为零零则则此此行行列列元元素素成成比比例例列列行行列列式式中中如如果果有有两两行行提提到到行行列列式式

6、符符号号的的外外面面以以的的所所有有元元素素的的公公因因子子可可列列行行列列式式中中某某一一行行第9页/共103页）余子式与代数余子式）余子式与代数余子式.,)1(1 的代数余子式的代数余子式叫做元素叫做元素；记；记的余子式，记作的余子式，记作阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素列划去后，留下来的列划去后，留下来的行和第行和第所在的第所在的第阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素在在aAMAManjianijijijjiijijijij 、行列式按行（列）展开第10页/共103页）关于代数余子式的重要性质）关于代数余子式的重要性质 ., 0;, 1., 0;,., 0;,11jijijijiDDAa

7、jijiDDAaijijjknkikijkinkki当当当当其中其中当当当当或或当当当当 第11页/共103页、Cramer(Cramer(克拉默) )法则., , 2 , 1., 2 , 1, 0 .,122112222212111212111所所得得到到的的行行列列式式，换换成成常常数数项项列列中中第第）是是把把系系数数行行列列式式（其其中中那那么么它它有有惟惟一一解解的的系系数数行行列列式式如如果果线线性性方方程程组组bbbxbxaxaxabxaxaxabxaxaxanjjjnnnnnnnnnnjDnjDnjDDD 第12页/共103页克拉默法则的理论价值克拉默法则的理论价值., 0.,

8、 22112222212111212111惟惟一一那那么么它它一一定定有有解解，且且解解的的系系数数行行列列式式如如果果线线性性方方程程组组 Dbxaxaxabxaxaxabxaxaxannnnnnnnnn. 必必为为零零解解，则则它它的的系系数数行行列列式式解解或或有有两两个个不不同同的的如如果果上上述述线线性性方方程程组组无无定理定理定理定理第13页/共103页., 0. 0, 0, 0 221122221211212111那么它没有非零解那么它没有非零解的系数行列式的系数行列式如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 Dxaxaxaxaxaxaxaxaxannnnnnnnn. 它的系数行列式

9、必为零它的系数行列式必为零组有非零解，则组有非零解，则如果上述齐次线性方程如果上述齐次线性方程定理定理定理定理第14页/共103页( (一一) )计算排列的逆序数计算排列的逆序数( (二二) )计算（证明）行列式计算（证明）行列式( (三三)Cramer)Cramer法则法则二、典型例题第15页/共103页分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之和，即算出排列中每个元素的逆序数 .,并并讨讨论论奇奇偶偶性性的的逆逆序序数数求求排排列列kkkkkk 解解例例（一）计算排列的逆序数; 0,2故逆序数为故逆序数为排在首位排在首位k; 1),2(11故逆序数为故逆序数为大的数

10、有一个大的数有一个的前面比的前面比k; 1),2()12()12( 逆序数为逆序数为故故大的数有一个大的数有一个的前面比的前面比kkk 第16页/共103页; 2),12 ,2(22 数为数为故逆序故逆序大的数有两个大的数有两个的前面比的前面比 kk; 2),12 ,2(2222 故逆序数为故逆序数为大的数有两个大的数有两个的前面比的前面比 kkkk ; 1),2, 12 ,2(111 kkkkkkk故逆序数为故逆序数为个个大的数有大的数有的前面比的前面比; 1),2, 12 ,2(111 kkkkkkk故逆序数为故逆序数为个个大的数有大的数有的前面比的前面比;),1, 12 ,2( kkkk

11、kkk故逆序数为故逆序数为个个大的数有大的数有的前面比的前面比 第17页/共103页 kkkt 1122110 kkk 211122k 当 为偶数时，排列为偶排列，k当 为奇数时，排列为奇排列k于是排列的逆序数为第18页/共103页用定义计算（证明）用定义计算（证明）例例用行列式定义计算000000000535243423534333231252423222113125aaaaaaaaaaaaaaaaD ( (二) )计算（证明）行列式第19页/共103页的非零元素分别得到的非零元素分别得到行可能行可能中第中第那么，由那么，由行的元素分别为行的元素分别为中第中第设设5 , 4 , 3 , 2

12、, 1,5 , 4 , 3 , 2 , 1554321554321DaaaaaDppppp解解. 3 , 2; 3 , 2; 5 , 4 , 3 , 2 , 1; 5 , 4 , 3 , 2 , 1; 3 , 254321 ppppp. 05,554321 Dppppp故故元元排排列列也也不不能能组组成成，一一个个在在上上述述可可能能取取的的代代码码中中因因为为第20页/共103页评注评注本例是从一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般方法?).( 2为为什什么么于于零零还还多多，则则此此行行列列式式必必等等素素比比阶阶行行列

13、列式式中中等等于于零零的的元元如如果果一一个个nnn 注意注意第21页/共103页例例设,2122221112111aaaaaaaaaDnnnnnn ,221122222111112112abababaabababaaDnnnnnnnnnn .2DD 证明：证明：第22页/共103页证明证明由行列式的定义有.,)1( 2121121的逆序数的逆序数是排列是排列其中其中ppptaaaDnpnpptn .,)1( )()()1( 21)()21(212211221212211的逆序数的逆序数是排列是排列其中其中ppptbaaabababaDnpppnpnpptpnpnpppptnnnn 第23页/

14、共103页,212npppn 而而.)1(121221DaaaDpppnnt 所以所以评注评注本题证明两个行列式相等，即证明两点，一是两个行列式有完全相同的项，二是每一项所带的符号相同这也是用定义证明两个行列式相等的常用方法第24页/共103页利用范德蒙行列式计算利用范德蒙行列式计算例例计算利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。.333222111222nnnDnnnn 第25页/共103页，于于是是得得到到增增至至幂幂次次数数便便从从则则方方若若提提取取各各行行的的公公因因子子，递递升升至至而而是是由由变变到到序序

15、排排列列，但但不不是是从从次次数数自自左左至至右右按按递递升升次次方方幂幂数数的的不不同同方方幂幂中中各各行行元元素素分分别别是是一一个个10.1, 10, nnnDn解解.1333122211111!121212nnnnDnnnn 第26页/共103页上面等式右端行列式为上面等式右端行列式为n n阶范德蒙行列式，由阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知!.1 !2)!2()!1( !)1()2()24)(23()1()13)(12( !)(!1 nnnnnnnnxxnDjinjin第27页/共103页评注评注本题所给行列式各行（列）都是某元素的本题所给行列式各行（列）都是某元素的不同

16、方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取式不完全相同，需要利用行列式的性质（如提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式公因子、调换各行（列）的次序等）将此行列式化成化成范德蒙范德蒙行列式行列式第28页/共103页用化三角形行列式计算用化三角形行列式计算例例计算.43213213213211xaaaaaaxaaaaaxaaaaaxDnnnn 第29页/共103页解解列都加到第一列，得列都加到第一列，得将第将第1, 3 , 2 nxaaaxaxaaxaaxaxaaaaxDniinniinniinniin3212

17、1212111 第30页/共103页提取第一列的公因子，得.1111)(32222111xaaaxaaaxaaaaxDnnnniin 后后一一列列，得得倍倍加加到到最最列列的的将将第第列列，倍倍加加到到第第列列的的列列，将将第第倍倍加加到到第第列列的的将将第第)(1,3)(12)(11aaan 第31页/共103页. )()(11 niiniiaxaxaxaaaaaxaaaxaxDnniin 23122121111010010001)(第32页/共103页评注评注本题利用行列式的性质，采用“化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式化零时一般尽量选含有的行（列）及含零较多的行（列）；若没有

18、，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为1 1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的第33页/共103页，得，得提取公因子提取公因子行中行中行，并从第行，并从第行都加到第行都加到第、的第的第将将dcbaD 114324用降阶法计算用降阶法计算例例计算.4abcdbadccdabdcbaD 解解第34页/共103页,1111)(4abcdbadccdabdcbaD 列，得列，得列都减去第列都减去第、再将第再将第1432,0001)(4dadbdcdcbcacdcbcbdbabdcbaD 第35页/共103

19、页行展开，得行展开，得按第按第1.)(4dadbdccbcacdbcbdbadcbaD ，得得中中提提取取公公因因子子行行行行，再再从从第第行行加加到到第第把把上上面面右右端端行行列列式式第第dcba 112,011)(dadbdccbcacddcbadcbaD 第36页/共103页列，得列，得列减去第列减去第再将第再将第12行行展展开开，得得按按第第1)()( )(22cbdadcbadcba )()(dcbadcbadcbadcba ,001)(4dacbdccbdacddcbadcbaD dacbcbdadcbadcbaD )(第37页/共103页评注评注本题是利用行列式的性质将所给行列

20、式的本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低低 1 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）这种方法出来为止（一般展开成二阶行列式）这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用对阶数不高的数字行列式比较适用第38页/共103页用拆成行列式之和（积）计算用拆成行列式之和（积）计算例例证明. 02sin)sin()sin()sin(2sin)sin()sin()sin(2

21、sin 证证. 0000sinsinsincoscoscos0cossin0cossin0cossin 左边左边第39页/共103页用递推法计算用递推法计算例例计算.21xaaaaxaaaaxaDnn 解解拆成两个行列式之和拆成两个行列式之和列把列把依第依第Dnn第40页/共103页aaaaaxaaaaaxaaaaaxaDnn121 .000121xaaaxaaaaxaaaaxann 第41页/共103页.1121DxaxxxDnnnn 从而从而得得列列展展开开第第右右端端的的第第二二个个行行列列式式按按列列第第倍倍分分别别加加到到列列的的将将第第右右端端的的第第一一个个行行列列式式,1, 2

22、 , 1)1(,nnn ,0000000001121DxaaxaxaxDnnnn 第42页/共103页由此递推，得.,2122121212211DxxxaxxxaxxxDDxaxxxDnnnnnnnnnnn 于是于是如此继续下去，可得DxxxxxaxxxaxxxaxxxDnnnnnnn23142122121 第43页/共103页)(21213142122121xxxaxaxxxxxaxxxaxxxaxxxnnnnnn ).(323112121xxxxxxxxxaxxxnnnn 时时，还还可可改改写写成成当当021 xxxn).111(12121xxxaxxxDnnn 第44页/共103页评注评

23、注.1 1 .1,1 1系系阶阶行行列列式式之之间间的的递递推推关关阶阶行行列列式式更更低低建建立立比比更更低低阶阶的的行行列列式式表表示示，阶阶用用同同样样形形式式的的比比阶阶行行列列式式以以把把给给定定的的有有时时，还还可可之之间间的的递递推推关关系系阶阶行行列列式式与与建建立立了了阶阶行行列列式式表表示示出出来来用用同同样样形形式式的的阶阶行行列列式式质质把把所所给给的的本本题题是是利利用用行行列列式式的的性性 nnnnnnDDDDnnnn第45页/共103页用数学归纳法用数学归纳法例例证明.coscos21000100000cos210001cos210001cos nDn 第46页/

24、共103页证证对阶数n用数学归纳法.,2, 1,2cos1cos22cos11cos,cos 221结论成立结论成立时时当当所以所以因为因为 nnDD 得得展展开开按按最最后后一一行行现现将将的的行行列列式式也也成成立立于于阶阶数数等等于于下下证证对对的的行行列列式式结结论论成成立立假假设设对对阶阶数数小小于于,.,Dnnn.cos221DDDnnn 第47页/共103页,)2cos( ,)1cos( ,21 nDnDnn由归纳假设由归纳假设;cos)2cos()2cos(cos)2cos()1cos(cos2 nnnnnnDn .结结论论成成立立所所以以对对一一切切自自然然数数 n第48页/

25、共103页评注评注.,)1(1,)(, 21同同型型的的行行列列式式是是与与不不否否则则所所得得的的低低阶阶行行列列式式展展开开列列或或第第行行按按第第不不能能展展开开列列或或第第行行本本例例必必须须按按第第表表示示展展开开成成能能用用其其同同型型的的为为了了将将DnnDDDnnnn .,.,其其猜猜想想结结果果成成立立然然后后用用数数学学归归纳纳法法证证明明也也可可先先猜猜想想其其结结果果如如果果未未告告诉诉结结果果纳纳法法来来证证明明可可考考虑虑用用数数学学归归结结论论时时证证明明是是与与自自然然数数有有关关的的而而要要我我们们当当行行列列式式已已告告诉诉其其结结果果一一般般来来讲讲第49

26、页/共103页计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法 见下例小结小结第50页/共103页2111121111211112nD 21101210112011112111121111211111nD解：例9. 计算行列式(拆分法与递推法)下页第51页/共103页11133000230022301111nnnDD2221333Dnn2) 3333 (221nn213221331nn, ( D2=5 )第52页/共103页当线性方程组方程个数与

27、未知数个数相等、且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则为了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数的线性方程组后再求解（三）CramerCramer法则.28)3(, 3)2(, 0)1( ),( fffxf使使求一个二次多项式求一个二次多项式例10例10第53页/共103页解解设所求的二次多项式为,)(2cbxxaxf 由题意得,2839)3(, 324)2(, 0)1( cbafcbafcbaf., 的线性方程组的线性方程组数数这是一个关于三个未知这是一个关于三个未知cba第54页/共103页.20,60,40, 020321 DDDD由克莱姆法则

28、，得. 1, 3, 2321 DDcDDbDDa于是，所求的多项式为. 132)(2 xxxf第55页/共103页例例1111 问 取何值时， 齐次线性方程组 有非零解？ 010320421321321321xxxxxxxxx 解解 111132421D 101112431 31214313 )3)(2(312123 由于齐次方程组有非零解，则0 D所以 或 时齐次方程组有非零解.2, 0 3 第56页/共103页证证.0, 0, 01,),(0000从而有系数行列式从而有系数行列式的非零解的非零解可视为齐次线性方程组可视为齐次线性方程组则则点点设所给三条直线交于一设所给三条直线交于一必要性必

29、要性 bzaycxazcybxczbyaxzyyxxyxM. 00,0,0 cbabaycxacybxcbyax条条件件是是相相交交于于一一点点的的充充分分必必要要直直线线证证明明平平面面上上三三条条不不同同的的 例例1 12 2第57页/共103页. 0)()()( )(21(222 accbbacbabacacbcba（） baycxacybxcbyax,. 0, cbacba故故同同也不全相也不全相所以所以因为三条直线互不相同因为三条直线互不相同将方程组将方程组如果如果充分性充分性, 0 cba第58页/共103页. 00,惟惟一一解解下下证证此此方方程程组组（）有有（）到到第第三三个个

30、方方程程，得得的的第第一一、二二两两个个方方程程加加 acybxcbyax. 00)(2)()(002222222 accaaccacacaaccabbacbaccbba，从而有，从而有，于是，于是得得。由。由，则，则如果如果第59页/共103页.)1(.)2(. 0.00. 0, 02直直线线交交于于一一点点有有惟惟一一解解，即即三三条条不不同同方方程程组组从从而而知知有有惟惟一一解解组组由由克克莱莱姆姆法法则则知知，方方程程故故，与与题题设设矛矛盾盾得得再再由由得得由由不不妨妨设设 cbbaccbabacba第60页/共103页第1章 测试题一、填空题一、填空题( (每小题每小题4 4分，

31、共分，共4040分分) ) ijijnaDaaD则则若若, . 1 1322133213321,0, . 2xxxxxxxxxqpxxxxx列式列式则行则行的三个根的三个根是方程是方程设设行列式行列式 . 3第61页/共103页 1000000001998000199700020001000D 4433221100000000 . 4ababbaba四阶行列式四阶行列式第62页/共103页 443424144, . 5AAAAcdbaacbdadbcdcbaD则则设四阶行列式设四阶行列式的的符符号号为为在在五五阶阶行行列列式式中中3524415312 . 6aaaaa 的系数是的系数是中中在函

32、数在函数321112 . 7xxxxxxxf 第63页/共103页 abcdbadccdabdcba四阶行列式四阶行列式 . 8, . 9时时且且则当则当为实数为实数若若 baba010100 abba第64页/共103页二、计算下列行列式二、计算下列行列式( (每小题每小题9 9分，共分，共1818分分) )0112210321011322211313211 . 15 D. .10121121iiiiiiiinnnn 次次对对换换后后变变为为排排列列可可经经排排列列第65页/共103页xzzzyxzzyyxzyyyxDn . 2齐次方程组齐次方程组取何值取何值问问, 020032132132

33、1xxxxxxxxx 有非零解？有非零解？三、解答题三、解答题(9(9分分)第66页/共103页四、证明四、证明( (每小题每小题8 8分，共分，共2424分分) ) ; 0321321321321 . 12222222222222222 ddddccccbbbbaaaa第67页/共103页 cos211cos21111cos211cos2 . 2 nD ;sin1sin n第68页/共103页用用数数学学归归纳纳法法证证明明 .3nnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxD321223222122322213211111 2,121 nxxxxxjinijn第69页/共103

34、页五、五、(9(9分分) ) 设设 行列式行列式nnnDn00103010021321 求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和.11211nAAA 第70页/共103页 .21 .10 ; 0 , 0 . 9 ; . 8 ; 2 . 7 ;. 6 ; 0 . 5 ; . 4 ; !1998 . 3 ; 0 . 2 ;1 . 122222 41413232 nndcbabbaabbaaan一、一、 . . 2 ;170 . 1zyyxzzxynn 二、二、. 00 或或三、三、.11!2 njjn五、五、测试题答案第71页/共103页第第 2 章章 矩阵矩阵习习 题题 课课

35、一、主要内容一、主要内容二、典型例题二、典型例题三、测试题三、测试题第72页/共103页一、主要内容一、主要内容1 1 向量的概念与运算2 2 矩阵的概念与运算第73页/共103页 cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1, 2, , m；j1, 2, , n) . . a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsb11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnc11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmn ai1b1jai2b2j aisbsj . .(ai1 ai2 ais )b1jb2jbsj 条件：条件

36、： A的列数等于B的行数，AB才有意义;结果： C的行数等于A的行数，列数等于B的列数. 过程：过程： 向量的内积向量的内积 因此，因此， cij 可表示为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积. .(1).(1).矩阵的乘法矩阵的乘法cij下页第74页/共103页应注意的问题应注意的问题 (1) AB BA ； (3) AB OA O或或B O ； / (2) AC BCA B； / 矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质 (4) AA AA E或或A O . . / (1) (AB)C A(BC)； (2) (A B)C AC BC； (3) C(A B) CA CB； (4) k(AB) (

37、kA)B A(kB) . .下页第75页/共103页定义设A是n阶方阵，由A的元素构成的n阶行列式称为方阵A的行列式，记为|A|或det A . .性质：设A、B为n阶方阵，k为数，则(1) |A|=|AT|;(3) |AB|=|A|B| .(2) |kA|=kn|A|;(2). (2). 方阵的行列式方阵的行列式显然，显然， | |E|=1 |=1 . .一般地，若A1,A2,Ak都是n阶方阵，则 1212kkA AAA AA显然 kkAA下页第76页/共103页3. 逆矩阵 定义定义 对于对于n阶矩阵阶矩阵A，如果存在，如果存在n阶矩阵阶矩阵B，使得，使得 AB BA E，那么矩阵那么矩阵

38、A称为可逆的，而称为可逆的，而B称为称为A的逆矩阵的逆矩阵. .n阶矩阵阶矩阵A为可逆的充分必要条件是为可逆的充分必要条件是|A| 0，而且，而且其中其中A*为方阵为方阵A的伴随矩阵的伴随矩阵. A*，1|A|A1方阵可逆的充分必要条件方阵可逆的充分必要条件推论推论 设设A，B都是都是n阶矩阵，若阶矩阵，若AB E ，则必有，则必有BA E；若若BA E ，则必有，则必有AB E.第77页/共103页可逆矩阵的性质可逆矩阵的性质 (3)若若A、B为同阶可逆矩阵，则为同阶可逆矩阵，则AB亦可逆，且亦可逆，且(AB ) 1 B 1A 1. (2)若若A可逆，数可逆，数 0 0，则则 A 可逆，可逆

39、，且且( A ) 1 1A 1. (1)若若A可逆，则可逆，则A 1也可逆，也可逆，且且(A 1) 1 A. (4)若若A可逆，则可逆，则AT也可逆，也可逆，且且(AT ) 1 (A 1)T .(5) |A 1|=|A| 1 .下页第78页/共103页4 分块矩阵11121212221212,nnnmmmnaaaaaaaaaA111212122212nnmmmnaaaaaaaaaAm21(1). 列分块矩阵(2). 行分块矩阵第79页/共103页 设A是一个mn矩阵，B是一个ns矩阵，将B的每一列分成一个子块，变为列分块矩阵，即 11121212221212,sssnnnsbbbbbbBbbb

40、此时把A看作只有一块的矩阵，则 A j (j=1,2,.,n)有意义, ,从而有下页1212(,)(,).ssABAAAA 特殊分块矩阵的乘法特殊分块矩阵的乘法 ( (验证，见下例.).)第80页/共103页分块对角矩阵和分块三角矩阵设A是n阶方阵，如果A的分块矩阵除主对角线上有非零子块外，其余子块都是零子块，即sAAAA21都是方阵，则称方阵为分块对角矩阵分块对角矩阵，其中，)21(, s, , i iA或称为准对角矩阵准对角矩阵. 下页第81页/共103页设有两个分块对角矩阵 sAAAA21sBBBB21其中，A,B同阶，且子块Ai，Bi同阶，i=1,2,s，可以证明 （1）1122ssA

41、BABABAB（2）skkkkAAAA21下页第82页/共103页（3）ssBABABAAB2211（4）1212ssAAAAAAA特别地，若A1，A2分别为m阶和n阶方阵，则 1122AAAA1122( 1)m n AAAA下页第83页/共103页 11112100isAAAAAA5若则且1211121AAAA1112121AAAA特别地：特别地：下页第84页/共103页7、矩阵的秩 定义 若矩阵A有一个r阶子式不为零，而所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于零，则r称为矩阵A的秩，记作r(A). 方法： 任何一个秩为r 的矩阵A=(aij) mn都可以通过初等行变换化为行阶梯形矩阵Br结论

42、：结论：行阶梯形矩阵Br的非零行的个数，即为矩阵A的秩. . 第85页/共103页例例1 设 A，B均为四阶方阵，且 . . 计算计算 .解解 由方阵的行列式的运算规律， 2,1 ABTT22() AB A2TT)(2ABA4TT2( 2)() AB A2216A BA2T16()AB A128. 下页二、典型例题二、典型例题第86页/共103页证明证明, 022 EAA由由 EEAA2 得得EEAA 2.,2,:, 022并求它们的逆矩阵并求它们的逆矩阵都可逆都可逆证明证明满足方程满足方程设方阵设方阵EAAEAAA 例例1 1.可可逆逆故故A1 A .211EAA 二、典型例题二、典型例题第87页/共103页022 EAA又由又由 0432 EEAEA EEAEA 3412.EA可逆可逆故故2 EAEA34121 且且.43AE 12 EA第88页/共103页 思考思考设设n阶矩阵阶矩阵A满足满足aA2 bA cE O，证明，证明A为可逆矩阵，并求为可逆矩阵，并求A 1(a, b, c为常数，且为常数，且