CH二重积分的概念与性质实用实用教案

1、曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积(tj) 设 一 立 体 的 底 是设 一 立 体 的 底 是xOy面上的闭区域面上的闭区域D 它它的侧面是以的侧面是以D的边界曲的边界曲线为准线而母线平行于线为准线而母线平行于z轴的柱面轴的柱面 它的顶是曲面它的顶是曲面z f(x y) 这里这里f(x y) 0且且在在D上连续上连续 这种立体叫这种立体叫做曲顶柱体做曲顶柱体 第1页/共39页第一页，共40页。解法解法: 类似类似(li s)定积分解决问题的定积分解决问题的思想思想:给定给定(i dn)曲顶柱体曲顶柱体:底：底： xOy 面上面上(min shn)的闭区域的闭区域 D顶顶: 连续曲面连续曲面侧面：侧

2、面：以以 D 的边界为准线的边界为准线 , 母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面求其体积求其体积.“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求求 极限极限” D),(yxfz 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积第2页/共39页第二页，共40页。1)“大化大化(d hu)小小”用任意曲线用任意曲线(qxin)网分网分D为为 n 个区域个区域以它们以它们(t men)为底把曲顶柱体分为为底把曲顶柱体分为 n 个个2)“常代变常代变”在每个在每个3)“近似和近似和”则则中中任取任取一点一点小曲顶柱体小曲顶柱体k),(kk第3页/共39页第三页，共40页。4)“4)“取极限取极限(jxin)”

3、(jxin)”令令),(yxfz ),(kkfk),(kk第4页/共39页第四页，共40页。步骤步骤(bzhu)如下：如下：xzyoi),(kk 用小平顶柱体的体积近似用小平顶柱体的体积近似(jn s)代替小曲顶柱体的体代替小曲顶柱体的体积积Vk V k f (k k)k 用小平顶柱体的体积之和近用小平顶柱体的体积之和近似似(jn s)代替整个曲顶柱体体代替整个曲顶柱体体积积 将分割加细将分割加细 取极限取极限 求得曲求得曲顶柱体体积的精确值顶柱体体积的精确值 用曲线网把用曲线网把D分成小区域分成小区域 1 2 n “大化小大化小, , 常代变常代变, , 近似和近似和, ,取极限取极限”第5

4、页/共39页第五页，共40页。播放播放(b fn) 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割分割(fng)、求、求和、取极限和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示第6页/共39页第六页，共40页。 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极分割、求和、取极限限(jxin)”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示第7页/共39页第七页，共40页。 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割分割(fng)、求、求和、取极限和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示第8页/共39页第八页，共40页。 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用

5、“分割、求和、取极分割、求和、取极限限(jxin)”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示第9页/共39页第九页，共40页。 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割分割(fng)、求和、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示第10页/共39页第十页，共40页。 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割分割(fng)、求、求和、取极限和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示第11页/共39页第十一页，共40页。 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用(ciyng) “分割、求分割、求和、取极限和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动

6、画演示第12页/共39页第十二页，共40页。有一个平面薄片有一个平面薄片, 在在 xOy 平面上占有平面上占有(zhnyu)区区域域 D ,计算计算(j sun)该薄片的该薄片的质量质量 M .度为度为设设D 的面积的面积(min j)为为 ,则则若若非常数非常数 ,仍可用仍可用其面密其面密 “大化小大化小, 常代变常代变,近似和近似和, 求极限求极限” 解决解决.1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D 为为 n 个小区域个小区域相应把薄片也分为小块相应把薄片也分为小块 .yxO求平面薄片的质量求平面薄片的质量第13页/共39页第十三页，共40页。yx2)“常代变常代变”中任取一点

7、中任取一点(y din)3)“近似近似(jn s)和和”4)“取极限取极限(jxin)”k),(kk则第则第 k 小块的质量小块的质量第14页/共39页第十四页，共40页。两个两个(lin )问题的问题的共性：共性：(1) 解决问题的步骤解决问题的步骤(bzhu)相同相同(2) 所求量的结构式相同所求量的结构式相同(xin tn)“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和,取极限取极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积曲顶柱体体积: 平面薄片的质量平面薄片的质量: 第15页/共39页第十五页，共40页。二、二重积分的概念二、二重积分的概念(ginin)

8、第16页/共39页第十六页，共40页。第17页/共39页第十七页，共40页。 积 分积 分(jfn)号号 v二重积分的定义二重积分的定义(dngy)积分中各部分积分中各部分(b fen)的的名称名称 f(x y) 被积函数被积函数 f(x y)d 被积表达式被积表达式 d 面积元素面积元素 x y 积分变量积分变量 D 积分区域积分区域 积分和积分和 iiinif ),(1 第18页/共39页第十八页，共40页。对二重积分定义对二重积分定义(dngy)的说明：的说明：二重积分的几何二重积分的几何(j h)意义意义当被积函数当被积函数(hnsh)大于零时，二重积分是柱体的体大于零时，二重积分是柱

9、体的体积积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值第19页/共39页第十九页，共40页。 在直角坐标系下用平行于坐在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线标轴的直线(zhxin)网来划分区网来划分区域域D，故二重积分可写为故二重积分可写为xyo则面积则面积(min j)元素为元素为引例引例(yn l)1中曲顶柱体中曲顶柱体体积体积:引例引例2中平面薄板的质量中平面薄板的质量:第20页/共39页第二十页，共40页。二重积分存在二重积分存在(cnzi)定理定理:若函数若函数(hnsh),(yxf定理定理(dngl)2.),(yxf(证明略证明略)定理定

10、理1.在在D上可积上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续限个点或有限条光滑曲线外都连续 ,积积.在有界闭区域在有界闭区域 D上连续上连续,则则若有界函数若有界函数在有界闭区域在有界闭区域 D 上除去有上除去有 例如例如, 在在 D :上二重积分存在上二重积分存在 ;在在D 上上 二重积分不存在二重积分不存在 . y1x1DO第21页/共39页第二十一页，共40页。性质性质(xngzh)当当K为常数为常数(chngsh)时，被积函数中的时，被积函数中的常数常数(chngsh)因子可以提到积分号前面，因子可以提到积分号前面，即即性质性质(xngzh)（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积

11、分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质第22页/共39页第二十二页，共40页。性质性质3 (对积分区域的可加性对积分区域的可加性) 如果闭区域如果闭区域D被有限条曲线被有限条曲线(qxin)分为有限个部分闭区域分为有限个部分闭区域, 则则D上的二重积分等于各部分闭上的二重积分等于各部分闭区域上二重积分的和区域上二重积分的和. 例如例如D可分可分为两个闭区域为两个闭区域D和和D，则，则第23页/共39页第二十三页，共40页。性质性质(xngzh) 若若 为为D的面积，的面积，性质性质(xngzh)若在若在D上上特殊特殊(tsh)地地则有则有第24页/共39页第二十四页，共40页。性

12、质性质(xngzh)（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）第25页/共39页第二十五页，共40页。性质性质(xngzh)（二重积分中值定理（二重积分中值定理(dngl)）证证: 由性质由性质(xngzh)6 可知可知,由连续函数介值定理由连续函数介值定理, 至少有一点至少有一点使使因此因此第26页/共39页第二十六页，共40页。例例1 比较比较(bjio)下列积分的下列积分的大小：大小：1）与与其中其中(qzhng)D:0yx(3,0)(1,0)(0,1)1yx.D解：在区域解：在区域(qy) D内，显然有内，显然有故在故在D内内第27页/共39页第二十七页，共40页。解解oxy121D

13、第28页/共39页第二十八页，共40页。例例3 设设D 是第二象限是第二象限(xingxin)的一个有界闭域的一个有界闭域 , 且且 0 y 1, 则则的大小的大小(dxio)顺序为顺序为 ( )提示提示(tsh): 因因 0 y 1, 故故故在故在D上有上有yO x1D第29页/共39页第二十九页，共40页。解解 deDyx)(22 ab.2aeab ab 区域区域D的面积的面积 x第30页/共39页第三十页，共40页。解解yox2D1第31页/共39页第三十一页，共40页。练习练习 估计下列估计下列(xili)积分之值积分之值解解: D 的面积的面积(min j)为为由于由于(yuy)积分

14、性质积分性质6即即: 1.96 I 210101010DxyO第32页/共39页第三十二页，共40页。例例6 判断判断(pndun)的正负的正负(zhn f).解：当解：当时，时，故故又当又当时，时，于是于是(ysh)1111xyOD第33页/共39页第三十三页，共40页。二重积分的定义二重积分的定义(dngy)二重积分的性质二重积分的性质(xngzh)二重积分的几何二重积分的几何(j h)意义意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）四、小结四、小结第34页/共39页第三十四页，共40页。思考题思考题1 将二重积分定义与定积分定义进行将二重积分定义与定积分定义进行(

15、jnxng)比较，找出它们的相同之处与不同之处比较，找出它们的相同之处与不同之处.第35页/共39页第三十五页，共40页。 定积分与二重积分都表示某个定积分与二重积分都表示某个(mu )和式的和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数数思考题解答思考题解答(jid)第36页/共39页第三十六页，共40页。思考题思考题2证明证明(zhngmng):其中其中(qzhng)D 为为第37页/共39页第三十七页，共40页。证明证明(zhngmng):, 2d)cossin(122Dyx其中其中(qzhng)D 为为.10, 10yx解解: 利用利用(lyng)题中题中 x , y 位置的对称位置的对称性性, 有有又又 D 的面积为的面积为 1 , 故结论成立故结论成立 .yOx1D1第38页/共39页第三十八页，共40页。感谢您的欣赏(xnshn