ch数值的机器运算乘法实用实用教案

1、1 设n位被乘数和乘数用定点(dn din)小数表示 被乘数 x原xf . xn1 x1x0 乘数 y原yf . yn1 y1y0 则乘积 z原(xf yf)(0. xn1 x1x0)(0. yn1 y1y0) 式中，xf为被乘数符号，yf为乘数符号。 1. 1. 乘法的手工(shugng)(shugng)算法4.4.1原码(yun m)一位乘法第1页/共28页第一页，共29页。2(2) 手工(shugng)运算过程： 设0.1101,0.10110 0. 1 1 0 1 (x) 0. 1 0 1 1 0 (y) 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0+ 1 1 0 1

2、0. 1 0 0 0 1 1 1 1 (z) (1) (1)乘积(chngj)(chngj)符号的运算规则：同号相乘为正，异号相乘为负。4.4.1原码(yun m)一位乘法 0. 1 1 0 1 (x) 0. 1 0 1 1 0 (y) 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 1 1 0 1 0. 0 0 0 1 1 0 1 0. 0 0 0 0 0 0+ 0. 0 1 1 0 1 0. 1 0 0 0 1 1 1 1 (z)第2页/共28页第二页，共29页。3一般而言，设被乘数(chn sh)x,(chn sh)x,乘数(chn sh)y(chn sh)y都是小于1 1的

3、n n位定点正数： x=0.x1x2.xn 1 x=0.x1x2.xn 1 y=0.y1y2.yn 1 y=0.y1y2.yn 1 其乘积(chngj)(chngj)为：xy=x(0.y1y2.yn )xy=x(0.y1y2.yn ) =x(y12-1 +y22-2 + yn2-n ) =x(y12-1 +y22-2 + yn2-n ) = xy12-1+xy22-2 +xyn2-n = xy12-1+xy22-2 +xyn2-n = 2-1(y1x+2-1(y2x+2-1(+2-1(yn-1x+2-1(ynx+0) = 2-1(y1x+2-1(y2x+2-1(+2-1(yn-1x+2-1(y

4、nx+0)4.4.1原码(yun m)一位乘法niiiyx12第3页/共28页第三页，共29页。4形成(xngchng)递推公式 令zizi表示第i i次部分(b fen)(b fen)积，则根据从内到外的原则有： z0 = 0, z0 = 0, z1 = 2-1(ynx+z0) z1 = 2-1(ynx+z0) z2 = 2-1(yn-1x+z1) z2 = 2-1(yn-1x+z1) zi = 2-1(yn-i+1x+zi-1) zi = 2-1(yn-i+1x+zi-1) zn = x zn = xy = 2-1(y1x+ zn-1)y = 2-1(y1x+ zn-1)4.4.1原码(y

5、un m)一位乘法2-1(y1x+2-1(y2x+2-1(+2-1(yn-1x+2-1(ynx+0)优点：1、每次只有两个数相加。2、相加的的位数为n。3、容易确定加数。第4页/共28页第四页，共29页。54.4.1 原码(yun m)一位乘原码一位乘法的规则为： 参加运算的操作数取其绝对值,且用两位符号(fho)； 令乘数的最低位为判断位，若为“1”，加被乘数，若为“0”，不加被乘数（加0）； 累加后的部分积右移一位； 重复n次和； 符号(fho)位单独处理，同号为正，异号为负。 第5页/共28页第五页，共29页。6 开始 zi = 0, i=0 yn= 1 ? z zi i + 0 z z

6、i i+ x zi , y右移一位，i = i+1 i = n ? 结束yynn4.4.1原码(yun m)一位乘法第6页/共28页第六页，共29页。7部分(b fen)积乘数(chn sh)说明(shumng)最后结果 ： x y=0.10001111 0 0.0 0 0 0 yf 1 0 1 1 z0=0 + 0 0.1 1 0 1 y4=1, +x 0 0.1 1 0 1 0 0.0 1 1 0 1 yf 1 0 1 右移，得z1 + 0 0.1 1 0 1 y3=1, +x 0 1.0 0 1 1 0 0.1 0 0 1 1 1 yf 1 0 右移，得z2 + 0 0.0 0 0 0

7、y2=0, +0 0 0.1 0 0 1 0 0.0 1 0 0 1 1 1 yf 1 右移，得z3 + 0 0.1 1 0 1 y1=1, +x 0 1.0 0 0 1 0 0.1 0 0 0 1 1 1 1 yf 右移，得z4=x y例：x=0.1101 , y=0.1011 , 求 x xy y 。4.4.1原码一位乘法尾数尾数第7页/共28页第七页，共29页。8 设x补 = x= x0 0.x.x1 1x x2 2x xn n 当x x 0 0时, , x x0 0=0=0， niiix12x补=0.x=0.x1 1x x2 2x xn n = = x = = xniiix12= -1

8、+ 0.x= -1+ 0.x1 1x x2 2x xn n= -1+= -1+ niiix12x = -xx = -x0 0 + +真值与补码(b m)(b m)的关系： 当x x 0 0时, , x x0 0=1=1， x补=1.x=1.x1 1x x2 2x xn n = 2 + x = 2 + x x=1.x x=1.x1 1x x2 2x xn n-2-2(1)(1)真值和补码(b m)(b m)之间的关系4.4.2 补码(b m)一位乘法第8页/共28页第八页，共29页。9 设被乘数 x x补 = x0.x1x2xn = x0.x1x2xn 乘数 y y补 = y0.y1y2yn =

9、 y0.y1y2yn 均为任意符号，则有补码(b m)(b m)乘法算式： xy 补 = x补 y或： xy 补 = x补 niiiyy102(2) (2) 补码(b m)(b m)乘法规则( (校正法) )原码(yun m)(yun m)乘法：xy=x(y12-1 +y22-2 + yn2-n )xy=x(y12-1 +y22-2 + yn2-n ) = xy12-1+xy22-2 +xyn2-n = xy12-1+xy22-2 +xyn2-n = 2-1(y1x+2-1(y2x+2-1(+2-1(yn-1x+2-1(ynx+0) = 2-1(y1x+2-1(y2x+2-1(+2-1(yn-

10、1x+2-1(ynx+0)与原码乘法运算规则的区别： 1、操作数用补码表示。 2、被乘数的符号位参与运算。 3、乘数的符号位决定最后是否修正，修正不移位。第9页/共28页第九页，共29页。10部分(b fen)积乘数(chn sh)说明(shumng)最后结果 ： x y补=1.01110001 0 0.0 0 0 0 yf 0 1 0 1 1 z0=0 + 1 1.0 0 1 1 y4=1, +x 1 1.0 0 1 1 1 1.1 0 0 1 1 yf 01 0 1 右移，得z1 + 1 1.0 0 1 1 y3=1, +x 1 0.1 1 0 0 1 1.0 1 1 0 0 1 yf 0

11、 1 0 右移，得z2 + 0 0.0 0 0 0 y2=0, +0 1 1.0 1 1 0 1 1.1 0 1 1 0 0 1 yf 0 1 右移，得z3 + 1 1.0 0 1 1 y1=1, +x 1 0.1 1 1 0 1 1.0 1 1 1 0 0 0 1 yf 右移，得z4=x y例：x=-0.1101 , y=0.1011 , 求 x xy y 。X补=11.0011，Y补=Y=0.1011第10页/共28页第十页，共29页。11部分(b fen)积乘数(chn sh)说明(shumng) 0 0.0 0 0 0 yf 1 0 1 0 1 z0=0 + 0 0.1 1 0 1 y

12、4=1, +x 0 0.1 1 0 1 0 0.0 1 1 0 1 yf 1 0 1 0 右移，得z1 + 0 0.0 0 0 0 y3=1, +x 0 0.0 1 1 0 0 0.0 0 1 1 0 1 yf 1 0 1 右移，得z2 + 0 0.1 1 0 1 y2=0, +0 0 1.0 0 0 0 0 0.1 0 0 0 0 0 1 yf 1 0 右移，得z3 + 0 0.0 0 0 0 y1=1, +x 0 0.1 0 0 0 0 0.0 1 0 0 0 0 0 1 yf 右移，得z4=x y 1 1.0 0 1 1 y0 1，-x 1 1.0 1 1 1 0 0 0 1 不移位例：

13、x=0.1101 , y=0.1011 , 求 x xy y 。X补=00.1101 Y补=11.0101 -X补=11.0011 最后结果 ： x y补=1.01110001第11页/共28页第十一页，共29页。12( yn+1是增加(zngji)的附加位，初值为0 )补补yx )(nnyyyyx 22222110补补)()()()(nnnnyyyyyyyx 22222122121110补补2)0 (2)(2)()() 1(111201nnnnnyyyyyyyx补 niiiiyyx012)(补补Booth算法(sun f)()()(nnnyyyyyyx 22111201补补第12页/共28页

14、第十二页，共29页。13 将上式改为接近于分步运算(yn sun)逻辑实现的递推关系。补z00 补补补x)yy(zznn12112 补补补x)yy(zzininii12112 补补补x)yy(zznn11122 补补补x)yy(zznn 10112 递推公式递推公式(gngsh)补补补补x)yy(zzyxnn011 最后(zuhu)(zuhu)一步不移位第13页/共28页第十三页，共29页。14由此可见： 每次都是在前次部分积的基础(jch)上，由（yi+1-yi ) 决定对x补的操作，然后再右移一位，得到新的部分积；重复进行。yn+1，yn的作用： 开始操作时，补充(bchng)一位yn+1

15、 , 使其初始为0。由yn+1 yn 判断进行什么操作；然后再由ynyn-1 判断第二步进行什么操作 。若 yn yn yn yn1 =1 =1 1 则 yi yi1-yi =1 1-yi =1 做加xx补运算(yn sun)(yn sun)；yn nyn n1 1 = = 则 yi1 1- -yi= - - 做加-x-x补运算；yn nyn n1 1 = =1 1yn nyn n1 1= 0= 0则 yi1 1- -yi= 0 zzi i 加0 0，即保持不变第14页/共28页第十四页，共29页。15补码补码BOOTHBOOTH一位乘的运算一位乘的运算(yn sun)(yn sun)规则规则

16、(1) 如果(rgu) yn=yn+1 ，则部分积 zi 加0，再右移一位；(2) 如果 yn yn+1=01 ，则部分(b fen)积 zi 加x补，再右移一位；(3) 如果 yn yn+1=10 ，则部分积 zi 加-x补, 再右移一位； 如此重复n + 1n + 1步，但最后一步不移位。 包括一位符号位，所得乘积为2n+12n+1位，其中n n为尾数位数。(4) 数值用补码表示，被乘数和部分积取两位符号位，乘数取一位符号，符号也参加运算。第15页/共28页第十五页，共29页。16BOOTH法流程图 开始结束zi补+x补zi补zi补+- -x补zi补 z补=0, i=0 yn yn+1=?

17、 zi补不变i=n+1？ zi补, y右移一位，i=i+1 011000或11YN第16页/共28页第十六页，共29页。17 0 0.0 0 0 0 1. 0 0 1 1 0 yn+1=0+ 0 0.1 0 1 1 ynyn+1=10, 加-x补 0 0.1 0 1 1 0 0.0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 右移一位+ 0 0.0 0 0 0 ynyn+1=11, 加0 0 0.0 1 0 1 0 0.0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 右移一位+ 1 1.0 1 0 1 ynyn+1=01, 加x补 1 1.0 1 1 1 1 1.1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 右移一

18、位+ 0 0.0 0 0 0 ynyn+1=00, 加0 1 1.1 0 1 1 1 1.1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 右移一位+ 0 0.1 0 1 1 ynyn+1=10, 加-x补 0 0.1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 最后(zuhu)一位不移位例：x补=1.0101，y补=1.0011, 求xy补=？ -x补=0.1011xy补=0.10001111部分(b fen)积乘数(chn sh) yn yn+1说明第17页/共28页第十七页，共29页。18 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 yn+1=0+ 1 1 0 0 1 1 ynyn+1=10, 1 1

19、 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 右移一位+ 0 0 0 0 0 0 ynyn+1=11 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 右移一位+ 0 0 0 0 0 0 ynyn+1=11, 加0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 右移一位+ 0 0 1 1 0 1 ynyn+1=01, 加x补 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 右移一位+ 1 1 0 0 1 1 ynyn+1=10, 加-x补 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 最后(zuhu)

20、一位不移位x补=001101，y补=10111, -x补=110011xy补=110001011部分(b fen)积乘数(chn sh) yn yn+1说明例：x=13, y=-9 求xy=？ xy = -0111 0101=-117第18页/共28页第十八页，共29页。19)0(2(2(2(22)(2)(2)(2)()000. 000. 00 . 0. 0(24131211144332211432141yxyxyxyxyxyxyxyxyyyyxyxniniiyi或yi与yi+1组合控制变量，决定每次加法(jif)的加数！移位相加相加移位Z1Z2Z3Z411131412231132104102

21、22220iiniZyxZZyxZZyxZZyxZZyxZZ第19页/共28页第十九页，共29页。20补码一位乘法(chngf)比较 开始 z = 0, i=0 yn= 1 ? z z + 0 z z+ x z , y右移一位，i = i+1 i = n ? 结束yynn 开始结束z补+x补z补z补+- -x补z补 z补=0, i=0 yn yn+1=? z补不变i=n+1？ z补, y右移一位，i=i+1 011000或11YN xy 补 = x补 niiiyy102 niiiiyyx012)(补补第20页/共28页第二十页，共29页。214.4 定点乘法(chngf)运算4.4.3 补码两

22、位乘法 为了提高乘法的执行(zhxng)速度，可以选用两位乘法的方案。所谓两位乘法，就是每次处理乘数中的两位，从而使乘法的速度提高了一倍。 根据前面介绍的Booth乘法方便地推导出补码两位乘法，即把补码两位乘理解为将Booth乘法的两次合并为一次来做。 补码两位乘法可以通过Yi-1YiYi+1三位的不同组合来判断原部分积与X补的运算情况，然后右移两位得到新的部分积。第21页/共28页第二十一页，共29页。224.4 定点乘法(chngf)运算)(2 11补补xyyzzii)2(2)()(22)( 2 112111111补补补补补补补xyyyzxyyxyyzxyyzziiiiiiiii第22页/

23、共28页第二十二页，共29页。234.4 定点乘法(chngf)运算补码两位乘法规则如下： 参加运算的数用补码表示； 符号位参加运算； 乘数最低位后增加一位附加位Yn+1，初值为0； 根据乘数的最低三位Yn-1YnYn+1的值决定每次应执行的操作； 移位按补码右移规则进行。 比较(bjio)结果（Yi+1+Yi-2Yi-1）第23页/共28页第二十三页，共29页。244.4 定点乘法(chngf)运算Yn-1YnYn+10 0 0 +0，右移(yu y)2位0 0 1 +X补，右移(yu y)2位0 1 0 +X补，右移(yu y)2位0 1 1 +2X补，右移(yu y)2位1 0 0 +2

24、-X补，右移(yu y)2位1 0 1 +-X补，右移(yu y)2位1 1 0 +-X补，右移(yu y)2位1 1 1 +0，右移(yu y)2位第24页/共28页第二十四页，共29页。254.4 定点乘法(chngf)运算 被乘数和部分(b fen)积取三符号位，当乘数的数值位n 为偶数时，乘数取两符号位，共需作(n/2)+1次累加，n/2次移位（最后一次不移位）；当n为奇数时，乘数只需一个符号位，共需(n1)/2次累加和移位，但最后一次仅移一位。第25页/共28页第二十五页，共29页。26 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 010，加A补+ 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 算术(sunsh)右移两位+ 0 0 1 1