ch贝叶斯分类实用教案

1、第二章第二章 贝叶斯决策贝叶斯决策(juc)(juc)理理论论n2.1 引言引言(ynyn)n2.2 基于基于(jy)最小错误率的最小错误率的Bayes决策决策n2.3 基于最小风险的基于最小风险的Bayes决策决策n2.4 正态分布的最小错误率正态分布的最小错误率Bayes决策决策n2.5 Neuman-Pearson 决策决策 n2.6 最小最大决策最小最大决策 第1页/共72页第一页，共73页。2.1 引言第2页/共72页第二页，共73页。 统计(tngj)决策理论根据每一类总体的概率分布决定决策边界。 Bayes决策理论是统计(tngj)决策理论的基本方法每一类出现的先验概率类条件概率

2、密度2.1 引言(ynyn)第3页/共72页第三页，共73页。例：医生要根据病人血液中白细胞的浓度来判断病人 是否患血液病。（两类的识别问题。）根据医学知识和以往的经验医生知道： 患病的人，白细胞的浓度服从均值2000，方差1000的正态分布；未患病的人，白细胞的浓度服从均值7000，方差3000的正态分布；一般人群中，患病的人数比例为0.5%。一个(y )人的白细胞浓度是3100，医生应该做出怎样的判断？2.1 引言(ynyn)第4页/共72页第四页，共73页。医生掌握的知识非常充分，他知道类别的先验分布：先验分布：没有获得观测(gunc)数据（病人白细胞浓度）之前类别的分布。2.1 引言(

3、ynyn)n数学表示：用数学表示：用 表示表示“类别类别”这一随机变量，这一随机变量， 表示患病，表示患病， 表示不患病；表示不患病；X 表示表示“白细胞浓度白细胞浓度”这个随机变量，这个随机变量，x 表示浓度值。表示浓度值。12第5页/共72页第五页，共73页。医生掌握的知识非常充分，他知道(zh do)观测数据白细胞浓度分别在两种情况下的类条件分布：2.1 引言(ynyn)p(x|1)p(x|2)类条件(tiojin)概率密度函数第6页/共72页第六页，共73页。 评价决策有多种标准，对于同一个问题，采用不同的标准会得到不同意义下“最优”的决策。 Bayes 决策是所有识别方法的一个基准。

4、 Bayes 决策常用的准则： 最小错误率； 最小风险(fngxin)； 在限定一类错误率条件下使另一类错误率为最小的准则（N-P准则）； 最小最大决策准则。2.1 引言(ynyn)第7页/共72页第七页，共73页。 以两类分类问题为例：已知先验分布以两类分类问题为例：已知先验分布(fnb)P(i)(fnb)P(i)和观测值的类条件分布和观测值的类条件分布(fnb) p(x|i)(fnb) p(x|i)，i=1,2i=1,2问题：对某个样本问题：对某个样本 x x，x1 or x2x1 or x2？( )(| )iigPxxn以后验概率为判决以后验概率为判决(pnju)函函数：数：n决策规则：

5、决策规则：argmax(| )iijPx2.2 Bayes最小错误率决策(juc)若 P (1 / x) P (2 / x) 则判 x 1 若 P (2 / x) P (1 / x) 则判 x 2第8页/共72页第八页，共73页。后验概率(gil) P(i| x)的计算 BayesBayes公式：假设公式：假设(jish)(jish)已知先验概率已知先验概率P(i)P(i)和和观测值的类条件分布观测值的类条件分布 p(x|i) p(x|i)，i=1,2i=1,2(, )(| )( )() ( |) () ( |)iiiijjjPPpPpPpxxxxx第9页/共72页第九页，共73页。 两类细胞

6、识别问题：正常(1)和异常(2) 根据已有知识和经验，两类的先验概率为： 正常(1)： P(1 异常(2)： P(2 对某一样本观察值x，通过计算( j sun)或查表得到： p(x|1， p(x|2 如何对细胞x进行分类？后验概率(gil) P(i| x)的计算第10页/共72页第十页，共73页。 利用贝叶斯公式计算利用贝叶斯公式计算(j sun)两类的后验概率：两类的后验概率：11121() ( |)0.90.2(| )0.8180.90.20.1 0.4() ( |)jjjPpPPpxxx22221() ( |)0.40.1(| )0.1820.20.90.40.1() ( |)jjjP

7、pPPpxxxargmax(| )1iijPx1x后验概率(gil) P(i| x)的计算第11页/共72页第十一页，共73页。p(x|1)p(x|2)p(1|x)p(2|x)类条件(tiojin)概率密度函数后验概率(gil)2.2 Bayes最小错误率决策(juc)第12页/共72页第十二页，共73页。等价的判别(pnbi)规则 第13页/共72页第十三页，共73页。2.2 Bayes最小错误率决策(juc) 决策域: 对于m类分类(fn li)问题，按照判别规则可以把特征向量空间(或称模式空间)分成m个互不相交的区域Ri ,i=1,2,m 决策边界: 划分决策域的边界，在数学上用解析形式

8、可以表示成决策边界方程。 判别函数: 用于表达决策规则的某些函数。判别函数与决策边界方程是密切相关的，而且它们都由相应的判别规则所确定。第14页/共72页第十四页，共73页。第15页/共72页第十五页，共73页。 不同的判别方法有不同的判别函数。确定不同的判别方法有不同的判别函数。确定(qudng)(qudng)了判别函数，决策边界也就确定了判别函数，决策边界也就确定(qudng)(qudng)下来了下来了, ,相邻的两个决策域在决策边界相邻的两个决策域在决策边界上其判别函数值是相等的。上其判别函数值是相等的。 如果决策域如果决策域 R i R i与与 Rj Rj 是相邻的是相邻的, ,则分割

9、这两个决则分割这两个决策域的决策边界方程应满足：策域的决策边界方程应满足： 二维时，决策(juc)边界为一曲线；三维时，决策边界为一曲面；d维(d3)时，决策边界为一超曲面。一维时，决策边界为一分界点； ( )( )ijg xgx 第16页/共72页第十六页，共73页。分类器设计(shj) 分类器是某种由硬件或软件(run jin)组成的“机器”： 计算c个判别函数gi(x) 最大值选择.x1x2xna(x)n多类识别问题的多类识别问题的Bayes最小错误率决策：最小错误率决策：gi(x) = P (i |x)第17页/共72页第十七页，共73页。决策(juc)的错误率 条件条件(tiojin

10、)(tiojin)错误错误率：率：( | )P e x( )( ( | )( | ) ( )P eE P eP epdxxxx（平均）错误率是条件错误率的数学期望n（平均）错误率：（平均）错误率：第18页/共72页第十八页，共73页。决策(juc)的错误率n条件条件(tiojin)错误率错误率P(e|x)的计算的计算:以两类问题为例，当获得观测值以两类问题为例，当获得观测值x后，有两种决后，有两种决策可能：判定策可能：判定 x1 ，或者，或者x2。n条件条件(tiojin)错误率为：错误率为：211122(| )1(| )( | )(| )1(| ) min (| ) xxxxxxxxiiPP

11、P ePPP 若决定若决定第19页/共72页第十九页，共73页。决策(juc)的错误率 设t为两类的分界面，则在特征向量x是一维时，t为x轴上的一点(y din)。两个决策区域:R1(-，t)和R2(t，+)1221( )(,)(,)P eP xRP xR212121() (|)() (|)PP xRPP xR1222112211() ( |)() ( |)()( )()( )RRPp xdxPp xdxPP ePP e第20页/共72页第二十页，共73页。决策(juc)的错误率t第21页/共72页第二十一页，共73页。决策(juc)的错误率nBayesBayes最小错误率决策最小错误率决策(

12、juc)(juc)使得每个使得每个观测值下的条件错误率最小因而保证了观测值下的条件错误率最小因而保证了（平均）错误率最小。（平均）错误率最小。nBayesBayes决策决策(juc)(juc)是一致最优决策是一致最优决策(juc)(juc)。第22页/共72页第二十二页，共73页。多类决策(juc)过程决策(juc)规则(| )argmax(| )xxijjPP如果 ，则xi错误率特种空间分割成 个区域，平均错误率由c(c-1)项组成。12,c 第23页/共72页第二十三页，共73页。多类决策(juc)过程决策(juc)规则(| )argmax(| )xxijjPP如果 ，则xi错误率特种空间

13、分割成 个区域，平均错误率由c(c-1)项组成。12,c 此时(c sh)，可以计算平均正确分类概率 p(c), 则p(e) =1- p(c)第24页/共72页第二十四页，共73页。决策的风险：做决策要考虑决策可能引起的损失。以医生(yshng)根据白细胞浓度判断一个人是否患血液病为例：没病(1)被判为有病(2) ，还可以做进一步检查，损失不大；有病(2)被判为无病(1) ，损失严重。2.3 基于最小风险(fngxin)的Bayes决策第25页/共72页第二十五页，共73页。损失(snsh)矩阵n损失的定义：(N类问题)做出决策 D(x) = ，但实际上 xj，受到的损失定义为：(,) 1,2

14、, ,1,2,ijia jc i第26页/共72页第二十六页，共73页。argmin(| )argmin(,) (| )xxijjjijjjRP 决策(juc)规则：2.3 基于(jy)最小风险的Bayes决策风险R（期望损失）：对x采取一个判决(pnju)行动所付出的代价。条件风险（也叫条件期望损失）：11 2()()() (), ,., .ciijijjjRxEPx ia 第27页/共72页第二十七页，共73页。 基于最小风险的Bayes决策：决策带来的损失(snsh)的（平均）风险最小。 Bayes最小风险决策通过保证每个观测值下的条件风险最小，使得它的期望风险最小，是一致最优决策。2.

15、3 基于最小风险(fngxin)的Bayes决策第28页/共72页第二十八页，共73页。两类问题最小风险(fngxin)Bayes决策决策规则(guz)为 若 R(1 | x) (12- 22) p(x|2) p(2) ，则选择 1 11111222211222(| )(| )(| )(| )(| )(| )RxPxPxRxPxPx第29页/共72页第二十九页，共73页。Bayes最小风险(fngxin)决策例解 两类细胞识别问题：正常(1)和异常(2) 根据已有知识和经验，两类的先验概率为： 正常(1)： P(1 异常(2)： P(2 对某一样本观察值x，通过(tnggu)计算或查表得到：

16、p(x|1， p(x|2 11=0， 12=6， 21=1， 22=0， 按最小风险决策如何对细胞x进行分类？第30页/共72页第三十页，共73页。Bayes最小风险(fngxin)决策例解（2） 后验概率(gil)： P(1， P(221112212222111(| )(| )(| )1.092(| )(| )(| )0.818xxxxxxjjjjjjRPPRPPargmin(| )2xiijR第31页/共72页第三十一页，共73页。两类判别(pnbi)法的联系 基于最小错误率的Bayes决策可作为最小风险Bayes决策的一种特殊情形。 只需要(xyo)定义损失为：,1( , ) ,1,2,

17、1( , ) 0i ji ji jNiji jij 决策正确时，损失为0决策错误时，损失为1第32页/共72页第三十二页，共73页。2.4 正态分布的最小错误率Bayes决策(juc) Bayes决策中，类条件概率密度的选择要求(yoqi)： 模型合理性 计算可行性 常用概率密度模型：正态分布 观测值通常是很多种因素共同作用的结果，根据中心极限定理，服从正态分布。 计算、分析最为简单的模型。第33页/共72页第三十三页，共73页。一元(y yun)正态分布 222221()( )exp()22( )()()( )xp xE xxp x dxExxp x dx 一元(y yun)正态分布及其两个

18、重要参数： 均值（中心） 方差（分散度）第34页/共72页第三十四页，共73页。多元(du yun)正态分布1121/2/212121( )exp()()(2 )(,.,)( )(,.,) ,()()()()()()TnTnTniiTijn nijiijjpx xxEE xEExx xxxxxx x 观测向量：实际应用中，可以同时(tngsh)观测多个值，用向量表示。多元正态分布：第35页/共72页第三十五页，共73页。多元(du yun)正态分布的性质 参数和完全决定分布(fnb) 不相关性等价于独立性 边缘分布(fnb)和条件分布(fnb)的正态性 线性变换的正态性:线性变换的正态性Y=A

19、X，A为线性变换矩阵。若X为正态分布(fnb)，则Y也是正态分布(fnb)。 线性组合的正态性第36页/共72页第三十六页，共73页。 观测向量的类条件分布服从(fcng)正态分布： 判别函数的计算：( |)(,)1,2,.,iiipNicx11122( )ln( ( |) ()()()lnln ()ln22iiiTiiiiigpPdP xxxx判别函数中与类别(libi)i无关的项，对于类别(libi)的决策没有影响，可以忽略。2.4 正态分布的最小错误率Bayes决策(juc)第37页/共72页第三十七页，共73页。2.5 正态分布的最小错误率Bayes决策(juc) 决策( juc)面第

20、38页/共72页第三十八页，共73页。最小距离(jl)分类器与线性分类器2, ()(), ,1,2,.,iijI PPi jc n判别函数的简化判别函数的简化(jinhu)计算：计算：22211( )() ()22Tiiiig xxxx020221( )(2)211,2TTTiiiiiiTiiiiigww x x w xw 第一种特例：协方差相等且具有相同的方差第39页/共72页第三十九页，共73页。0()0Twxx1()ij w01()2ijx最小距离(jl)分类器与线性分类器2, ()(), ,1,2,.,iijI PPi jc 第一种特例(tl)：协方差相等且具有相同的方差第40页/共7

21、2页第四十页，共73页。最小距离(jl)分类器与线性分类器 第一种特例(tl)：2, ()(), ,1,2,.,iijI PPi jc 协方差相等且具有相同的方差12WH时决策面)()(21PP124334H23H14H12H1121x2xHW20 x第41页/共72页第四十一页，共73页。最小距离(jl)分类器与线性分类器 第二种特例(tl)：,()(), ,1,2,.,iijPPi jc 协方差阵相等0()0Twxx1()ij w01()2ijx第42页/共72页第四十二页，共73页。最小距离(jl)分类器与线性分类器 第二种特例(tl)：,()(), ,1,2,.,iijPPi jc n

22、判别函数的简化判别函数的简化(jinhu)计算：计算：12( )()()( ,)Tiiiigm xxxx 0110( )1,2TiiiTiiiiigww xw xw协方差阵相等第43页/共72页第四十三页，共73页。正态模型(mxng)的Bayes决策面 两类问题正态模型的决策( juc)面： 决策( juc)面方程：g1(x)=g2(x) 两类的协方差矩阵相等，决策( juc)面是超平面。 两类的协方差矩阵不等，决策( juc)面是超二次曲面。1122ln( ( |) ()ln( ( |) ()pPpPxx11111211221()()02TTxxx第44页/共72页第四十四页，共73页。正

23、态分布下的几种(j zhn)决策面的形式0( )TTiiiigWwxxxw x第45页/共72页第四十五页，共73页。第46页/共72页第四十六页，共73页。第47页/共72页第四十七页，共73页。正态分布的Bayes决策(juc)例解 两类的识别问题：医生要根据病人血液中白细胞的浓度来判断病人是否患血液病。 根据医学知识和以往的经验(jngyn)，医生知道： 患病的人，白细胞的浓度服从均值2000，方差1000的正态分布；未患病的人，白细胞的浓度服从均值7000，方差3000的正态分布； 一般人群中，患病的人数比例为0.5%。 一个人的白细胞浓度是3100，医生应该做出怎样的判断？第48页/

24、共72页第四十八页，共73页。数学表示：用表示“类别”这一随机变量，1表示患病， 2表示不患病；x表示“白细胞浓度”这个随机变量。例子中，医生掌握的知识(zh shi)非常充分，他知道：1) 类别的先验分布：P(1) = 0.5%P(2) = 99.5%先验分布：没有获得观测数据（病人白细胞浓度）之前类别的分布正态分布的Bayes决策(juc)例解第49页/共72页第四十九页，共73页。2) 观测数据白细胞浓度分别在两种情况下的类条件分布(fnb)： P(x|1) N(2000,1000) P(x|2) N(7000,3000)P(3100|14P(3100|25P(1|3100)=1.9%P

25、(2|3100)=98.1%医生的判断：正常正态分布的Bayes决策(juc)例解第50页/共72页第五十页，共73页。n1.输入输入(shr)类数类数M；特征数；特征数n，待分样本数，待分样本数m.n2.输入输入(shr)训练样本数训练样本数N和训练集资料矩阵和训练集资料矩阵X(Nn)。并计算有关参数。并计算有关参数。n3.计算矩阵计算矩阵y中各类的后验概率。中各类的后验概率。n4.若按最小错误率原则分类，则可根据若按最小错误率原则分类，则可根据 3 的结果判的结果判定定y中各类样本的类别。中各类样本的类别。n5.若按最小风险原则分类，则输入若按最小风险原则分类，则输入(shr)各值，并各值

26、，并计算计算y中各样本属于各类时的风险并判定各样本类中各样本属于各类时的风险并判定各样本类别。别。Bayes分类(fn li)的算法（假定各类样本服从正态分布）第51页/共72页第五十一页，共73页。v 例1、有训练集资料(zlio)矩阵如下表所示，现已知，N=9、N1=5、N2=4、n=2、M=2，试问，X=(0,0)T应属于哪一类？1112131 1 0 1 1055(),XX 训练样本号训练样本号k1 2 3 4 5 1 2 3 4 特征特征 x1特征特征 x21 1 0 -1 -1 0 1 0 -1 0 1 1 1 0-1 -2 -2 -2类别类别1 2 111122212211121

27、1212122370054210033100104,( , ) ,( ,) .:,(TTTTXXXXXXCCCC 协协方方差差矩矩阵阵为为请请看看协协方方差差的的计计算算方方法法）解1、假定二类协方差矩阵(j zhn)不等（12） 则均值:第52页/共72页第五十二页，共73页。51111111112222251112121212211512122222112151110100010101410413410210033100104() ()()()()()()()(), ()(),TkkkTkkkTkkkCxxxxCxxxxCCCxxxx 协协方方差差矩矩阵阵为为(计计算算方方法法同同上上）1

28、111212211221030310 592101060043540 22399,ln.():(),(),ln.()PPPP 先先验验概概率率第53页/共72页第五十三页，共73页。21111122121112221122102( )( )( )(xx )(xx )(xx )(xx )()lnln()TTg xgxg xPxP 利利用用公公式式：121221222212220 010 9100 01201810 9102313 5114 8112 88x(,)( , )( )., ( , )( ).(. ).TTTx xg xXg xxxxxx 将将代代入入得得：所所以以判判属属于于类类。令令

29、得得分分界界线线方方程程为为：这这是是一一个个非非线线性性椭椭圆圆方方程程：1162. 0-1-1-2x2分类线1 2 待测样本x1第54页/共72页第五十四页，共73页。111121112212112 68020 0()( )(xx )x(xxxx )ln.()x( , )TTTTPg xP 故故应应把把判判为为类类，得：所以代入Tx0 , 0,11200053,20110035121 v解解2、假定、假定(jidng)两类协方差矩阵相等两类协方差矩阵相等=1+222472 680110 61( ).g xxx 分分界界线线方方程程为为从从而而得得为为一一直直线线，如如图图中中虚虚线线所所示

30、示1162. 0-1-1-2x2分类线1 2 待测样本x1第55页/共72页第五十五页，共73页。 采用最小错误率贝叶斯决策需要知道先验概率. P ( i ) ，但有时P (i ) 难以确定。采用最小风险贝叶斯决策需要确定恰当的损失值，这也并非易事. 在两类问题决策中，有时要求 P2 ( e ) 不得大于某个常数，即取 P2 ( e ) ， 是一个很小的常数，在这个条件下再要求 P1( e )尽可能小. 在这种情况下, 奈曼(nai mn)-皮尔逊决策为此提供了一种决策方案.2.5 Neyman-Pearson 决策决策(juc) 0 0 第56页/共72页第五十六页，共73页。2.5 Ney

31、man-Pearson 决策决策(juc) n 这种决策可看成是在这种决策可看成是在 条件下，求条件下，求 的条件极小值问题的条件极小值问题. 可采用拉格朗日乘数法求解可采用拉格朗日乘数法求解.20( )P e 1( )P eF = P1 ( e ) +(P2 ( e ) -0 )211( )()RP ep xdx 122( )()RP ep xdx 111()Rp xdx 10211 ()()()RFp xp xdx 11()()PP x 22()()PP x 1R2X1X12R第57页/共72页第五十七页，共73页。2.5 Neyman-Pearson 决策决策(juc) n 这种决策可看

32、成是在这种决策可看成是在 条件下，求条件下，求 的条件极小值问题的条件极小值问题. 可采用拉格朗日乘数法求解可采用拉格朗日乘数法求解.20( )P e 1( )P e10211 ()()()RFp xp xdx 121,. FRPxPx 要要使使最最小小 应应使使积积分分为为负负因因此此在在区区域域内内应应使使， 1121112(,P xxRxP x 即即l l在在区区域域属属于于类类）第58页/共72页第五十八页，共73页。2.5 Neyman-Pearson 决策决策(juc) n 这种决策可看成是在这种决策可看成是在 条件下，求条件下，求 的条件极小值问题的条件极小值问题. 可采用拉格朗

33、日乘数法求解可采用拉格朗日乘数法求解.20( )P e 1( )P e01212() ()-()RFp xp xdx 第59页/共72页第五十九页，共73页。2.5 Neyman-Pearson 决策决策(juc) n 这种决策可看成是在这种决策可看成是在 条件下，求条件下，求 的条件极小值问题的条件极小值问题. 可采用拉格朗日乘数法求解可采用拉格朗日乘数法求解.20( )P e 1( )P e01212() ()-()RFp xp xdx 的求法:利用(lyng)约束条件20 202122, (|)P ldl 第60页/共72页第六十页，共73页。例：两类的模式分布为二维正态例：两类的模式分

34、布为二维正态 协方差矩阵协方差矩阵(j zhn)为单位矩阵为单位矩阵(j zhn)1=2=I，设，设2 求求 N-P 准则准则 . 121 01 0,TT 22121112212222111()expexp2222111()expexp2222TTxxxxP xxxxxP x因为是两类正态所以同理：2.5 Neyman-Pearson 决策决策(juc) 解：第61页/共72页第六十一页，共73页。 1121112222:() exp()expexpP xxP xxxx 如如右右图图所所示示 判判别别边边界界为为： 判判别别式式为为：2.5 Neyman-Pearson 决策决策(juc) 1

35、12212ln, xxx 即即有有了了判判别别边边界界和和判判别别形形式式对对于于不不同同判判别别边边界界是是平平行行于于 的的不不同同直直线线。111x122x4212141345. 07 . 0345. 07 . 0第62页/共72页第六十二页，共73页。2.5 Neyman-Pearson 决策决策(juc) n 于是得与2的关系(gun x)表如下： 4 2 1 20.04 0.09 0.16 0.25 0.38 2111 20 510 512/. lnexp. () d()xx 由已知,可计算(j sun)得在 2中 x 1 N( 1, 1 ), 进一步可得第63页/共72页第六十三

36、页，共73页。2.5 Neyman-Pearson 决策决策(juc) n 所以(suy)此时N-P分类器的分界线为：112120 3452ln.xx 所所以以0112122010 09220 09.(),.()P xxP x 给给定定由由表表查查得得判判别别式式为为：此此时时上上式式使使 最最小小这这就就是是在在给给定定 时时使使 最最小小的的判判别别规规则则。第64页/共72页第六十四页，共73页。2.6 最小最大决策最小最大决策(juc) n从最小错误率和最小风险的贝叶斯决策中可以看出从最小错误率和最小风险的贝叶斯决策中可以看出,其决策都其决策都是与先验概率是与先验概率P(i)有关的有关

37、的,当先验概率已知时当先验概率已知时,按照贝叶斯决策按照贝叶斯决策规则规则,可以使错误率或风险最小可以使错误率或风险最小,如果如果P(i)是可变的或事先对先是可变的或事先对先验概率毫无所知验概率毫无所知,就无法用贝叶斯决策就无法用贝叶斯决策.n本节介绍一种本节介绍一种(y zhn)最小化最大风险的决策方法最小化最大风险的决策方法,也就是在也就是在最差的条件下最差的条件下,争取最好的结果争取最好的结果,我们将此方法简称最小最大决我们将此方法简称最小最大决策策.第65页/共72页第六十五页，共73页。2.6 最小最大决策最小最大决策(juc) 1212()iRRRPRRxx P x dxRxx P

38、 x dxRxx P x dx 风风险险 与与关关系系： 121111122221112222RRPP xPP xdxPP xPP xdx 21121111RRPPP xdxP xdx 对对二二类类情情况况有有：， 2212212222111222111112222RRRRP xdxPP xdxP xdx 第66页/共72页第六十六页，共73页。2.6 最小最大决策最小最大决策(juc) 121,().R RRP 一一旦旦被被确确定定，风风险险 就就是是的的线线性性函函数数 2211221222211222111112222RabPaP xdxbP xdxP xdx 其其中中：11()()PP x 22()()PP x 1R2X1X12R第67页/共72页第六十七页，共73页。2.6 最小最大决策最小最大决策(j