竞赛静电场-学生用

1、静电场如果把静电场的问题分为两部分，那就是电场本身的问题、和对场中带电体的研究，高考考纲比 较注重第二部分中带电粒子的运动问题，而奥赛考纲更注重第一部分和第二部分中的静态问题。也就 是说，奥赛关注的是电场中更本质的内容，关注的是纵向的深化和而非横向的综合。一、电场强度1、实验定律a、库仑定律内容；条件：点电荷，真空，点电荷静止或相对静止。事实上，条件和均不能视为对库仑 定律的限制，因为叠加原理可以将点电荷之间的静电力应用到一般带电体，非真空介质可以通过介电 常数将k进行修正（如果介质分布是均匀和“充分宽广”的，一般认为k'二k/£r b只有条件，它才是 静电学的基本前提和出发

2、点（但这一点又是常常被忽视和被不恰当地“综合应用”的）bb、电荷守恒定律加原理2、电场强度a、电场强度的定义电场的概念；试探电荷（检验电荷）；定义意味着一种适用于任何电场的对电场的检测手段；电 场线是抽象而直观地描述电场有效工具（电场线的基本属性'图7-1b、不同电场中场强的计算决定电场强弱的因素有两个：场源（带电量和带电体的形状）和空间位置。这可以从不同电场的场强决定式看出点电荷：e二kg 结合点电荷的场强和叠加原理，我们可以求岀任何电场的场强，如均匀带电环，垂直环面轴线上的某点p:e =中i和r的意义见图7-1 o均匀带电球壳外部：e外二,其中r指考察点到球心的距离内部：e内二0如

3、果球壳是有厚度的的（内径ri、外径r2）,在壳体中（ri<r<r2 ）:e=纟ttpk口1 ，其中p为电荷体密度。这个式子的物理意义可以参照万有引力定律当中（条 3 l件部分）的“剥皮法则”理解p-k（r3-r?）即为图7-2中虚线以内部分的总电量。无限长均匀带电直线（电荷线密度为入）：e二 无限大均匀带电平面（电荷面密度为o ）: e = 2tika二. 电势k电势：把一电荷从p点移到参考点po时电场力所做的功w与该电荷电最q的比值，即参考点即电势为零的点,通常取无穷远或大地为参考点。和场强一样，电势是属于场本身的物理量。w则为电荷的电势能。2、典型电场的电势a .点电荷以无穷远

4、为参考点，u二 rb、均匀带电球壳以无穷远为参考点，u外二k。，u内二rr3、电势的叠加由于电势的是标量，所以电势的叠加服从代数加法。很显然，有了点电荷电势的表达式和叠加原 理，我们可以求出任何电场的电势分布。4、电场力对电荷做功wab = q ( ua - ub ) = quab三、静电场中的导体静电感应一静电平衡-静电屏蔽1静电平衡的特征可以总结为以下三层含义a、导体内部的合场强为零；表面的合场强不为零且一般各处不等，表面的合场强方向总是垂直 导体表面。b、导体是等势体，表面是等势面。c、导体内部没有净电荷；孤立导体的净电荷在表面的分布情况取决于导体表面的曲率。2、静电屏蔽导体壳（网罩）不

5、接地时，可以实现外部对内部的屏蔽，但不能实现内部对外部的屏蔽；导体壳 （网罩）接地后，既可实现外部对内部的屏蔽，也可实现内部对外部的屏蔽。四、电容1、电容器孤立导体电容器-一般电容器2、电容a、定义式c二晋b、决定式。决定电容器电容的因素是：导体的形状和位置关系、绝缘介质的种类，所以不同电 容器有不同的电容平行板电容器c二 仝二竺，其中£为绝对介电常数（真空中£0二 丄 ，其它介质中£ 4kkd d4nk二丄）£则为相对介电常数，£=三。4nk£0柱形电容器：c二2kln 球形电容器：c二9、八 2k(r?-rj3、电容器的连接b.并

6、联 c = ci + c2 + c3 + + c4、电容器的能最用图73表征电容器的充电过程：搬运”电荷做功w就是图中阴 山影的面积，这也就是电容器的储能e ,所以e 二 *qouo 二 *cu；二* 罟电场的能量。电容器储存的能量究竟是属于电荷还是属于电场？正确答案是后者，因此，我们可以将电容器的能量用场强e表示。对平行板电容器e总=:sd £2871k认为电场能均匀分布在电场中，则单位体积的电场储能w = 丄e2。而且，这以结论适用于 8nk非匀强电场。五、电介质的极化1、电介质的极化a、电介质分为两类：无极分子和有极分子，前者是指在没有外电场时每个分子的正、负电荷“重 心”彼此

7、重合（如气态的出、02、2和c02 ）,后者则反之（如气态的h20、so2和液态的水硝 基笨）b、电介质的极化：当介质中存在外电场时，无极分子会变为有极分子，有极分子会由原来的杂乱排列变成规则排列，如图74所示。ft) ftic=)（ez+）（e±）图7-42、束缚电荷、自由电荷、极化电荷与宏观过剩电荷a、束缚电荷与自由电荷：在图74中，电介质左右两端分别显现负电和正电，但这些电荷并不能自由移动，因此称为束缚电荷，除了电介质，导体中的原子核和内层电子也是束缚电荷；反之，能够自由移动的电荷称为 自由电荷。事实上，导体中存在束缚电荷与自由电荷，绝缘体中也存在束缚电荷和自由电荷，只是它 们

8、的比例差异较大而已。b、极化电荷是更严格意义上的束缚电荷，就是指图74中电介质两端显现的电荷。而宏观过剩 电荷是相对极化电荷来说的，它是指可以自由移动的净电荷。宏观过剩电荷与极化电荷的重要区别是： 前者能够用来冲放电，也能用仪表测量，但后者却不能。第二讲重要模型与专题一、场强和电场力【物理情形1】试证明：均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。图7-6【模型变换】半径为r的均匀带电半球面，电荷的面密度为。，试求球心处的电场强度。【答案】e = ktto，方向垂直边界线所在的平面。思考h如果这个半球面在yoz平面的两边均匀带有异种电荷，面密度仍为。，那么，球心处的 场强又是多少？图7-7答案大小为

9、ktto ,方向沿x轴方向（由带正电的一方指向带负电的一方b【物理情形2有一个均匀的带电球体，球心在0点，半径为r，电荷体密度为p，球体内有一个球形空腔，空腔球心在。点，半径为ft,而二a，如图77所示，试求空腔中各点的场强。【答案】恒为ykpira，方向均沿o - 0',空腔里的电场是匀强电场。k思考)1如果在模型2中的00连线上0'侧距离0为b(b>r)的地方放一个电量为q的点电荷，它受到的电场力将为多大？亠匚。(b-a)2二、电势、电量与电场力的功无穷远为参考点，试求p点的电势up o【答案】up =2nkxrvr2+f2【物理情形1如图78所示，半径为r的圆环均匀

10、带电，电荷线密 度为入，圆心在0点，过圆心跟环面垂直的轴线上有p点，函=，以k思考如果上题中知道的是环的总电量q，则up的结论为多少？如果这个总电量的分布不是 均匀的，结论会改变吗？答）up=;结论不会改变。jd2 一2k再思考h将环换成半径为r的薄球壳，总电量仍为q，试问:（1 ）当电量均匀分布时，球心 电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？（ 2）当电量不均匀分布时，球心电势为多少？球 内（包括表面）各点电势为多少？答3（1）球心、球内任一点的电势均为;（2）球心电势仍为，但其它各点的电势将 rr随电量的分布情况的不同而不同（内部不再是等势体，球面不再是等势【相关应用】如图79所示,

11、球形导体空腔内.外壁的半径分别为 &和r2 ,带有净电量+q ,现在其内部距球心为r的地方放一个电量 为+q的点电荷,试求球心处的电势。【答案】r -唱+k迸。l b+k反馈练习如图710所示，两个极薄的同心导体球壳a和b ,半径分别为ra和rb，现让a壳接地，而在b壳的外部距球心d的地方放一个电量为+q的点电荷。试求:(1 ) a球壳的感应电荷量；(2)外球壳的电势。k 答 3 ( 1 ) qa =【物理情形2】图7们中，三根实线表示三根首尾相 连的等长绝缘细棒，每根棒上的电荷分布情况与绝缘棒都换 成导体棒时完全相同。点a是aabc的中心，点b则与a 相对be棒对称，且已测得它们的电

12、势分别为ua和ub o 试问：若将ab棒取走，a、b两点的电势将变为多少？【答案】ua'二-ua ； ubz=丄ua+ -ub o362图 7-11模型变换正四面体盒子由彼此绝缘的四块导体板构成 各导体板带电且电势分别为6 ,u2 .u3和u4，则盒子中心点o的电势u等于多少？讨论：刚才的这种解题思想是否适用于“物理情形2”？（答：不行，因为三角形各边上电势虽然相等，但中点的电势和边上的并不相等。）k反馈练习电荷q均匀分布在半球面acb上，球面 半径为r , cd为通过半球顶点c和球心0的轴线，如图 7-12所示。p、q为cd轴线上相对0点对称的两点，已 知p点的电势为up，试求q点的

13、电势uq。闿uq二k寻up o图 7-12【物理情形3】如图713所示 4 b两点相距2lm ocd是以b为圆心、l为半径的半圆。图 7-13d点，电场力对它做了多少功？（ 2）将单位负电荷a处放有电最为q的电荷，b处放有电最为q的点电荷。试问:（1 ）将单位正电荷从0点沿ocd移到从d点沿ab的延长线移到无穷远处去，电场力对它做多少功？【相关应用】在不计重力空间，有a、b两个带电小球，电量分别为qi和q2 ,质量分别为mi 和m2，被固定在相距l的两点。试问:（1 ）若解除a球的固定，它能获得的最大动能是多少？（ 2 ） 若同时解除两球的固定，它们各自的获得的最大动能是多少？（3）未解除固定

14、时，这个系统的静电 势能是多少？【答】（1）k骚;（2 ） eki =, ek2=昭；（3 ） k蚯。rm, +m7 rm. +nr rr思考设三个点电荷的电量分别为5、q2和q3，两两相距为门2、23和31 ，则这个点电荷 系统的静电势能是多少？r23图 7-14k（血+业+业lk反馈应用如图7-14所示，三个带同种电荷的相同金属小球，每个球的质量均为m、电量均为q，用长度为l的三根绝缘轻绳连接着，系统放在光滑.绝缘的水平面上。现将其中的一根绳子剪断,三个球将开始运动起来，试求中间这个 小球的最大速度。答h三、电场中的导体和电介质图t a【物理情形】两块平行放置的很大的金属薄板a和b,面积都

15、是s ; 间距为d （d远小于金属板的线度），已知a板带净电量+ch , b板带尽 电量+q2 ,fiq2<qi ,<（1 ）两板内外表面的电量分别是多少;（2 ）空间各处的场强;（3）两板间的电势差。电量一时、b板外侧电量穿（2冲板外侧空间场强2ttk3【答案】（1 ） a板外侧电量笔乞、a板内侧电量苦乞，b板内侧方向垂直a板向外，a、b板之间空间场强2ttkq|& ,方向由a垂直指向b , b板外侧空间场强2 戒誉,方向垂直b板向外；（3 ） a、b两板的电势差为2“kd守，a板电势高。k思考h如果两板带等量异号的净电荷，两板的外侧空间场强等于多少？（答：为零。）k讨论

16、h（原模型中）作为一个电容器，它的“电量”是多少（答：）?如果在板间充满相对介电常数为&的电介质，是否会影响四个面的电荷分布（答：不会）？是否会影响三个空间的场强（答： 只会影响ii空间的场强）？讨论h （原模型中）我们是否可以求出a、b两板之间的静电力？答：可 以；以a为对象，外侧受力q塑旦（方向相左）,内侧受力321.旦l（方向 2 2 2 2向右），它们合成即可，结论为f二 型qich，排斥力。s【模型变换】如图7/6所示,一平行板电容器，极板面积为s ,其上半部为 真空,而下半部充满相对介电常数为&的均匀电介质，当两极板分别带上+q和-q的电量后,试求：（1 ）板上自由

17、电荷的分布；（2）两板之间的场强；（3）介质表面的极化电荷。【答案1（1）真空部分的电量为 q，介质部分的电量为旦 q ;（2）整个空间的场强均为 i +£rl+£r- ;（ 3 ） gq ok思考应用一个带电量为q的金属小球，周围充满相对介电常数为&的均匀电介质，试求与导体表面接触的介质表面的极化电荷最。答q'二 口 q o (补充知识)四、电容器的相关计算图 7-17【物理情形1由许多个电容为c的电容 器组成一个如图7-17所示的多级网络，试问： (1莊最后一级的右边并联一个多大电容c, 可使整个网络的a、b两端电容也为c'? ( 2 )不接c&

18、#39;，但无限地增加网络的级数，整个网络a、b两端的总电容是多少？pf ,试求a. b之间的等效电容。图 7-18【答案】(1)牛1c ;(2)牛【相关模型】在图7-18所示的电路中，已知g二c2c3 = cg = 1 pf , c4 = c5 = c6 = c7 = 2pf , c8 = cio =【解说】对于既非串联也非并联的电路，需要用到一种“-y型变换”，参见图7-19 ,根据三个端点之间的电容等效，容易得出定式a-y 型：ca 二c)c2 + c2c3 + cjcjccr + c2c3 + c3cgcc° +c2c3 +c3cc.»y t 型：cic“cb c3

19、 二 gccca +cb +gca +cb +cc有了这样的定式后，我们便可以进行如图720所示的四步电路简化（为了方便，电容不宜引进新的符号表达，而是直接将变换后的量值标示在图中）图 7-21图 7-20【答】约2.23pf 0【物理情形21如图7-21所示的电路中，三个电容器完全相同， 电源电动势£i = 3.0v ,£2 = 4.5v,开关ki和&接通前电容器均未带【答】uao = 3.5v , ubo = 0.5v , uco = -4.0v o【伸展应用】如图7-22所示，由n个单 元组成的电容器网络，每一个单元由三个电 容器连接而成，其中有两个的电容为3

20、c , 另一个的电容为2c。以a、b为网络的输ii_2cii_2c1 ii_2c3c-ii_3c_ii_1 3cii_3c3cbo图 7-22br入端,a b为输出端，今在a. b间加一个恒定电压u ,而在ab间接一个电容为c的电容器，试 求（1）从第k单元输入端算起,后面所有电容器储存的总电能;（2）若把第一单元输出端与后面断开,再除去电源,并把它的输入端短路,则这个单元的三个电容器储存的总电能是多少？【答】（1 ） ek二cu22>32k；（2）乎历年复赛真题（13届复赛）四、（25分）在一个半 径为r的导体球外，有一个半径为r的细 圆环，圆环的圆心与导体球心的连线长为 a （a&g

21、t;r）,且与环面垂直,如图复134所图复13 - 4示。已知环上均匀带电，总电虽为q,试问：1、当导体球接地时，球上感应电荷总电量是多少？2、当导体球不接地而所带总电量为零时，它的电势如何？3、当导体球的电势为v。时，球上总电荷又是多少？4、情况3与情况1相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何？5、情况2与情况1相比，圆环受导体球的作用力改变量的大小和方向如何？注）已知：装置不变吋，不同的静电平衡带电状态可以叠加，叠加后仍为静电平衡状态。i i i=3ai-czfek7v（15届复赛）六、（15分）在图复15-6所示的 网络中，仅知道部分支路上电流值及其方向、某些 元件参数和支路交

22、点的电势值（有关数值及参数已 标在图上）。请你利用所给的有关数值及参数求出含 有电阻r”的支路上的电流值ix及其方向。£ i=7vc2=4p f0.2ffe 4 = 2v c 2=1 ov6viczf 6vionm2v（18届复赛）五、（25分）如图复185所示，一薄壁导体球壳（以下简称为球壳）的球心在o点.球壳 通过一细导线与端电压u=90 v的电池的正极相连，电池负极a接地.在球売外a点有一电量为=10xl（r9c的点电荷，beg 18-5点有一电量为q2 =16xl（）t c的点电荷。04 z间的距离dx =20 cm, ob之间的距离j2=40cm.现设想球売的半径 b 从a

23、 = 10cm开始缓慢地增大到50 cm,问：在此过程中的不 ° 同阶段，大地流向球売的电量各是多少？己知静电力恒量r = 9 x " n n? c一2.假设点电荷能穿过球壳壁进入导体球壳内而不j导体壁接触。（20届复赛）-（15分）图中a为一固定放置的半径为r的均匀带电球体，0为其球心.己知取无限远处的电势 为零时，球表而处的电势为u=1000 v.在离球心0很远的0点附近有一质子b,它以fk=2000 ev的动能沿与 |09平行的方向射向a.以/表示b与09线之间的垂直»距离，耍使质子b能够与带电球休a的表血相碰，试求。/的最大值.把质子换成电子，再求/的最大

24、值.图复2"1六、（23分）两个点电荷位丁r轴上，在它们形成的电场中，若取无 限远处的电势为零，则在止x轴上各点的电势如图中曲线所示，当 xto时，电势ut8：当xt8时，电势c/to ；电势为零的 点的朋标兀0，电势为极小值的点的朋标为ox。（ a >2）o试根 据图线提供的信息，确定这两个点电荷所带电荷的符号、电量的大 小以及它们在x轴上的位置.（21届复赛）五、（20分）如图所示，接地的空心导体球壳内半径为r,在空腔内一直径上的p】和p2 处，放置电量分别为qi和q2的点电荷，q、=q2=q，两点电荷到球心的距离均为q.由静电感应与静 电屏蔽可知：导体空腔内表而将出现感应

25、电荷分布，感应电荷电量等于一2q.空腔内部的电场是山6、q2和两者在空腔内表而上的感应电荷共同产生的.由于我们尚不知道这些感应电荷是怎样分布的， 所以很难用场强豆加原理玄接求得腔内的电势或场强.但理论上可以证明，感应电荷对腔内电场的贡 献，可用假想的位于腔外的（等效）点电荷來代替（在本题中假想（等效）点电荷应为两个），只要假想 的（等效）点电荷的位置和电量能满足这样的条件，bu：设想将整个导体壳去掉，由q】在原空腔内 表面的感应电荷的假想（等效）点电荷匕与6共同产生的电场在原空腔内表而所在位置处各点的电势皆为0；由q2在原空腔内表面的感应电荷的假想（等效）点电荷q；与92共同产生的电场在原空腔

26、内表面所在位置处各点的电势皆为0.这样确定的假想电荷叫做感应电荷的等效电荷，而且这样确定的等效电荷是唯一的.等效电荷収代感应电荷后，可用等效电荷q；、q； 和q】、q2来计算原来导体存在时空腔内部任意点的电势或场强.1.试根据上述条件，确定假想等效电荷匕、么的位置及电量.2.密腔内部任意点&的电势血.哎u &点到球心0的距离为厂，oa 与西的夹角为&（22届复赛）二、如图所示，o为半径等于r的原來不带电的导体球的球心，0、。2、os为位于球内的三个半径皆为厂的球形空腔的 r球心，它们与o共面，已知00 =0。2 =0。3 =.在001、0022的连线上距6、02为二的p

27、、p2点处分别放置带电量为和92的2线度很小的导体（视为点电荷），在。3处放置-一带电量为q3的点电荷，设法使qi、q2和不固定不动在 导体球外的p点放一个电量为q的点电荷，p点与01、。2、。3共面，位于的延长线上，到o的 距离0p = 2r.1. 求q3的电势能.2. 将带有电量q】、q2的小导体释放，当重新达到静电平衡时，各表血上的电荷分布有何变化?此时q3的电势能为多少？（23届复赛）m （25分）图1所示的电路具有把输人的交变电压变成直流电压并加以升压、输出的功能，称为整流倍压电路。图屮9和是理想的、点接触型二极管（不考虑二极管的电容），g和c。是理想电容器，它们的电容都为c,初始时

28、都不带电，g点接地。现在a、g间接上一交变电源，其电压你，随吋间t变化的图线如图2所示.试分别在图3和 图4中准确地画出d点的电压“°和b点的电压心在t = 0到t=2t时间间隔内随时间t变化的图线, t为交变电压心的周期。二rh i±z*七（16分）串列静电加速器是加速质子、重离子进 行核物理基础研究以及核技术应用研究的设备，右 图是其构造示意图。s是产牛负离子的装置，称为离 子源；中间部分n为充有氮气的管道，通过高压装置h使其对地佇5.00x106 v的高压。现将氢气通人 离子源s, s的作用是使氢分子变为氢原子，并使氢 原子粘附上一个电子，成为帯有一个电子电量的氢 负

29、离子。氮负离子（其初速度为0）在静电场的作用下，形成高速运动的氮负离子束流，氢负离子束 射入管道n后将与氮气分子发生相互作丿ij,这种作川可使人部分的氢负离子失去粘附在它们上而的多 余的电子而成为氢原子，乂可能进一步剥离掉氢原子的电子使它成为质子。己知氮气与带电粒子的相 互作用不会改变粒子的速度。质子在电场的作用下rhn飞向帝列静电加速器的终端靶子t。试在考虑 相对论效应的情况下，求质子到达t时的速度v。电子电荷量9 = 1.60x10% 质子的静止质量m0 =1.673xw27 kg。（25届复赛）2、（5分）在国际单位制小，库仑定律写成ittiif = k啤,式中静电力常量 厂z:=8.9

30、8xlo97v-m2-c-2,电荷量q】和q?的单位都是库仑，距离r的单位是米，作丿kl力f的单位是牛顿。若把库仑定律写成更简洁的形式f= 啤,式中距离r的单位是米，作用力f的单位是牛顿。 厂若把库仑定律写成更简洁的形式f= 嚳,式屮距离r的单位是米，作用力f的单位是牛顿，由此式 厂可这义一种电荷量q的新单位。当用米、千克、秒表示此新单位吋，电荷新单位乞新单位与库仑的 关系为1新单位乂。（26届复赛）4.在图示的复杂网络中，所有电源的电动势均为所有电阻器的电阻值均为所有电容器的电容均为co,则图示电容器a极板上的电荷量为。图1八（20分）惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形卜，其电子电荷分

31、布是球 对称的。负电荷小心与原子核亜合。但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产牛极化（止 负电荷中心不重合），从而导致有相虫作用力，这称为范徳瓦尔斯相互作用。下而我们采 用一种简化模型来研究此问题。当负电中心与原子核不巫合时，若以x表示负电中心相对止电荷（原子核）的位移，当x为止时，负电中心在正电荷的右侧，当x为负吋，负电中心在正电荷的左侧，如图1所示。这吋，原子核的正电荷对荷外负电荷的作用力f相当于一个劲度系数为k的弹簧的弹性力，w f=_kx,力的方向指向原 子核，核外负电荷的质量全部集中在负电中心，此原子可用一弹簧振子来模拟。图2今有两个相同的惰性气体原子，它们的 原子核固定，相距为r，原子核正电荷的电 荷量为q，核外负电荷的质量为m0因原子 间的静电相互作用，负电中心相对各自原子 核的位移分别为xi和x2,且|xi|利勺|都远小于r,如图2所示。此吋每个原子的负电 荷除受到自c核的正电荷作用外，还受到另一原子的正、负电荷的作用。众所周知，孤立谐振子的能量e=mv2/2+kx2/2是守恒的，式中v为质量m的振子运动的速度，x为振 子相对平衡位置的位移。量子力学证明，在绝对零度时，谐振子的能量为w2,称为零