可分离变量课件

1、可分离变量PPT课件1第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程第三节第三节 齐次方程齐次方程第四节第四节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程第六节第六节 高阶线性微分方程高阶线性微分方程第七节第七节 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程第八节第八节 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程第五节第五节 可降阶的微分方程可降阶的微分方程可分离变量PPT课件2（一）引言（二）基本概念第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念可分离变量PPT课件3函数函数变量间的联系变量间的联系实际问题实际问题含有未知函数含有未知

2、函数及其导数的等式及其导数的等式求解求解微分方程微分方程u例例1一曲线通过点一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点在该曲线上任意点M(x,y)处的切线的斜率处的切线的斜率为为2x，求该曲线的方程，求该曲线的方程 . 分析：分析：)(xfy 设设所所求求曲曲线线为为xdxdy2 xdxy22,1 yx时时其其中中,2Cxy 即即, 1 C求得求得.12 xy所求曲线方程为所求曲线方程为可分离变量PPT课件4 表示未知函数、未知函数的导数与自变量表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程之间关系的方程. .例例,xyy , 0 xdxxdt,3xeyy 微分方程微分方程: : 微分方程

3、中所出现的未知函数的最微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数高阶导数的阶数微分方程的阶：微分方程的阶：,)( 23xeyy 0),()( nyyyxF),()1()( nnyyyxfy( n 阶阶显式显式微分方程微分方程)一般地一般地, , n阶常微分方程的形式是阶常微分方程的形式是或或常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程未知函数未知函数一元函数一元函数多元函数多元函数可分离变量PPT课件5微分方程的解微分方程的解:例例, xy 22xy 特解特解:x=0,=0,y=0=0初始条件初始条件 微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程

4、的阶数相同个数与微分方程的阶数相同. .确定了通解中任意常数后的解确定了通解中任意常数后的解. .通解：通解：cxy 22通解通解特解特解代入微分方程使方程恒成立的函数代入微分方程使方程恒成立的函数. . 00),(yyyxfyxx一阶一阶:二阶二阶:0000( , ,),x xx xyf x y yyyyy 求微分方程满足初始条件的特解的问题求微分方程满足初始条件的特解的问题. .初值问题初值问题:可分离变量PPT课件6解解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的表达式代入原方程的表达式代入原方程和和将将xdtxd. 0)sin

5、cos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk0,00 ttdtdxAx0222 xkdtxd例例2 2 验证函数验证函数 是微分方程是微分方程的解的解. .的特解的特解并求满足初始条件并求满足初始条件.sincos21是是原原方方程程的的通通解解故故ktCktCx ktCktCxsincos21 , 0,00 ttdtdxAx. 0,21 CAC所求特解为所求特解为.cosktAx 可分离变量PPT课件7一阶微分方程：一阶微分方程：)1(),(yxfy 或或)2(0),(),( dyyxQdxyxP-对称形式对称形式 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.转转化化 解

6、分离变量方程解分离变量方程 xxfyygd)(d)()()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22可分离变量PPT课件8可分离变量方程可分离变量方程解法解法积分积分yygd)(xxfd)()(yG)(xFCxFyG)()(显式显式)通解通解 隐式通解隐式通解 初始条件初始条件特解特解 )1(d)(d)(xxfyyg 设设 y (x) 是方程是方程(1)的解的解, xxfxxxgd)(d)()( 则有恒等式则有恒等式 积积 分分 xxfxxxgd)(d)()( 可分离变量PPT课件9例例1. 求微分方程求微分方程yxxy23dd的通解的通解.解解: 分离变量

7、得分离变量得xxyyd3d2两边积分两边积分xxyyd3d2 得得13lnCxy Cxylnln3即即13eCxy 31eexC 3exCy 1eCC 令令( C 为任意常数为任意常数 )或或说明说明: 在求解过程中在求解过程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解变形变形, 因此可能增、因此可能增、减解减解.( 此式含分离变量时丢失的解此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )可分离变量PPT课件10例例2. 解初值问题解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得分离变量得xxxyyd1d2两边积分得两边积分得Cxyln11lnln2即即Cxy12由初始条件得由初始条件得 C = 1,1

8、12xy( C 为任意常数为任意常数 )故所求特解为故所求特解为 1)0(y可分离变量PPT课件11解解,dtdM衰变速度衰变速度由题设条件由题设条件)0(衰衰变变系系数数 MdtdMdtMdM , dtMdM00MMt 代入代入)0(lnln cctM ,tceM 即即00ceM 得得, c teMM 0衰变规律衰变规律,0tMM 0M 技巧技巧可分离变量PPT课件12例例4. 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解: :) 1(sin2yxy解解: 令 , 1yxu则yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 为任意常数 )所求通解:可分离变量

9、PPT课件13练习练习：.edd的通解的通解求方程求方程yxxy 解法解法 1 分离变量xyxydedeCxyee即即01e)e(yxC( C 0 )解法解法 2, yxu令yu1则故有uue1积分Cxuue1dCxuu)e1 (ln( C 为任意常数 )所求通解:Cyyx)e1(lnuuuude1e)e1 (积分积分可分离变量PPT课件14思思 考考 求下列方程的通解 :0d)(d)() 1(22yyyxxyxx提示提示:xxxyyyd1d122)sin()sin()2(yxyxy(1) 分离变量(2) 方程变形为yxysincos2Cxysin22tanln可分离变量PPT课件15内容小结内容小结1. 微分方程的概念微分方程;2. 可分离变量方程的求解方法:说明说明: 通解不一定是方程的全部解 .0)(