2022年数学分析教案(华东师大版)第十四章幂级数

1、学习必备欢迎下载第十四章幂级数教学目的： 1.懂得幂级数的有关概念，把握其收敛性的有关问题；2.懂得幂级数的运算，把握函数的幂级数绽开式并熟悉余项在确定函数能否展为幂级数时的重 要性；教学重点难点： 本章的重点是幂级数的收敛区间、收敛半径、绽开式；难点是收敛区间端点处敛散性的判别；教学时数： 12 学时§ 1幂级数（ 4 时 ）幂级数的一般概念 .型如和的幂级数 .幂级数由系数数列唯独确定 .幂级数至少有一个收敛点 .以下只争论型如的幂级数 .幂级数是最简洁的函数项级数之一 .一.幂级数的收敛域 :1. 收敛半径 、收敛区间和收敛域：th 1（ abel） 如幂级数在点收敛 ， 就对

2、满意不等式的任何，幂级数收敛而且肯定收敛 ；如在点发散 ， 就对满意不等式的任何，幂级数发散.证收敛,有界.设|,有|,其中.定理的其次部分系第一部分的逆否命题 .幂级数和的收敛域的结构 .定义幂级数的收敛半径 r.收敛半径 r 的求法.th 2对于幂级数, 如,就>时,;>时; >时.证, 强调开方次数与的次数是一致的.由于,因此亦可用比值法求收敛半径.幂级数的收敛区间 :.幂级数的收敛域 : 一般来说 , 收敛区间收敛域. 幂级数的收敛域是区间、或之一.例 1求幂级数的收敛域 .例 2求幂级数的收敛域 .例 3求以下幂级数的收敛域 :;.2. 复合幂级数: 令, 就化为幂

3、级数.设该幂级数的收敛区间为，就级数的收敛区间由不等式确定.可相应考虑收敛域 .特称幂级数为正整数 为缺项幂级数 . 其中. 应留意为第项的系数 .并应留意缺项幂级数并不是复合幂级数 , 该级数中,为第项的系数 .例 4求幂级数的收敛域 .解是缺项幂级数 . 收敛区间为.时,通项.因此 ,该幂级数的收敛域为.例 5求级数的收敛域 .解令, 所论级数成为幂级数.由几何级数的敛散性结果 , 当且仅当时级数收敛. 因此当且仅当, 即时级数收敛. 所以所论级数的收敛域为.例 6求幂级数的收敛半径 .解.二 幂级数的一样收敛性：th 3如幂级数的收敛半径为，就该幂级数在区间内闭一样收敛 .证, 设, 就

4、对,有,级数肯定收敛 ,由优级数判别法 ,幂级数 在上一样收敛 .因此 ,幂级数在区间内闭一样收敛 .th 4设幂级数的收敛半径为,且在点 或收敛,就幂级数在区间 或上一样收敛 .证.收敛 ,函数列在区间上递减且一样有界 ,由 abel 判别法,幂级数在区间上一样收敛 .易见 , 当幂级数的收敛域为时 , 该幂级数即在区间上一样收敛 .三.幂级数的性质 :1. 逐项求导和积分后的级数 :设,* 和 *仍为幂级数 . 我们有命题 1* 和 *与有相同的收敛半径 . 简证 值得留意的是， * 和 *与虽有相同的收敛半径 （ 因而有相同的收敛区间），但未必有相同的收敛域， 例如级数.2. 幂级数的运

5、算性质 :定义两个幂级数和在点的某邻域内相等是指： 它们在该邻域内收敛且有相同的和函数 .命题 2,.由以下命题 4 系 2命题3设幂级数和的收敛半径分别为和,>, 就, const，.>+,.>,.3. 和函数的性质 :命题 4设在内. 就>在内连续;>如级数或收敛, 就在点 或是左 或右 连续的;>对,在点可微且有;>对,在区间上可积, 且.当级数收敛时, 无论级数在点收敛与否 ,均有.这是由于 :由级数收敛,得函数在点左连续, 因此有.推论 1和函数在区间内任意次可导 ,且有,.由系 1 可见,是幂级数的和函数的必要条件是任意次可导 .推论 2如

6、, 就有例 7验证函数满意微分方程.验证 所给幂级数的收敛域为., 代入,.§ 2函数的幂级数绽开一.函数的幂级数绽开 :1. taylor 级数:设函数在点有任意阶导数 .taylor 公式和 maclaurin 公式 .taylor 公式：.余项的形式:peano 型余项:,（ 只要求在点的某邻域内有阶导数 ，存在 ）lagrange 型余项:在与之间.或.积分型余项 :当函数在点的某邻域内有阶连续导数时 , 有.cauchy 余项:在上述积分型余项的条件下 ,有 cauchy 余项.特殊地，时， cauchy 余项为在与之间.taylor 级数:taylor 公式仅有有限项 ,

7、 是用多项式靠近函数 .项数无限增多时, 得,称此级数为函数在点的 taylor 级数.只要函数在点无限次可导, 就可写出其 taylor 级数.称=时的 taylor 级数为 maclaurin 级数,即级数.自然会有以下问题 :对于在点无限次可导的函数, 在的定义域内或在点的某邻域内 , 函数和其 taylor 级数是否相等呢 .2. 函数与其 taylor 级数的关系：例 1函数在点无限次可微 .求得.其 taylor 级数为.该幂级数的收敛域为. 仅在区间内有=. 而在其他点并不相等 , 由于级数发散 .那么, 在 taylor 级数的收敛点 , 是否必有和其 taylor 级数相等呢

8、 .回答也是否定的 .例 2函数在点无限次可导且有因此其taylor 级数，在内到处收敛 .但除了点外, 函数和其 taylor 级数并不相等 .另一方面 , 由本章§1 命题 4 推论 2（和函数的性质）知：在点的某邻域内倘有,就在点无限次可导且级数必为函数在点的 taylor 级数.综上 , 我们有如下结论 :对于在点无限次可导的函数, 其 taylor 级数可能除点外均发散 ,即便在点的某邻域内其 taylor 级数收敛 , 和函数也未必就是. 由此可见 , 不同的函数可能会有完全相同的taylor级数. 如幂级数在点的某邻域内收敛于函数, 就该幂级数就是函数在点的 taylo

9、r 级数.于是 , 为把函数在点的某邻域内表示为关于的幂级数， 我们只能考虑其 taylor 级数.3. 函数的 taylor 绽开式：如在点的某邻域内函数的 taylor 级数收敛且和恰为，就称函数在点可绽开成 taylor 级数自然要附带绽开区间 . 称此时的 taylor 级数为函数在点的 taylor 绽开式或幂级数绽开式 .简称函数在点可展为幂级数 .当= 0 时,称taylor 绽开式为 maclaurin 绽开式.通常多考虑的是 maclaurin 绽开式.4. 可展条件 :th 1 必要条件 函数在点可展 ,在点有任意阶导数 .th 2 充要条件 设函数在点有任意阶导数 .就在

10、区间内等于其 taylor 级数 即可展 的充要条件是 : 对,有. 其中是 taylor 公式中的余项 .证把函数绽开为阶 taylor 公式, 有.th 3 充分条件 设函数在点有任意阶导数 , 且导函数所成函数列一样有界 , 就函数可展.证利用 lagrange 型余项 ,设, 就有.例 3绽开函数> 按 幂; > 按幂.解,.所以 , >.可见 ,的多项式的 maclaurin 绽开式就是其本身 .>.二.初等函数的幂级数绽开式 :初等函数的幂级数绽开式才是其本质上的解析表达式.为得到初等函数的幂级数绽开式,或直接绽开 ,或间接绽开 .1. 验证对r ，在区间

11、或上有界,得一样有界 .因此可展 .2.,.,.可展是由于在内一样有界 .3.二项式的绽开式 :为正整数时 ,为多项式 ,绽开式为其自身 ;为不是正整数时 , 可在区间内绽开为对余项的争论可利用 cauchy 余项. 详细争论参阅 1p56.时, 收敛域为;时, 收敛域为;时, 收敛域为.利用二项式的绽开式 , 可得到许多函数的绽开式 . 例如取,得，.时,.间接绽开 :利用已知绽开式 , 进行变量代换、四就运算以及微积运算 ,可得到一些函数的绽开式 .利用微积运算时 , 要求一样收敛 . 幂级数在其收敛区间内闭一样收敛 ,总可保证这些运算畅通无阻 .4.事实上 ,利用上述的绽开式 , 两端积

12、分 , 就有,.验证知绽开式在点收敛,因此 , 在区间上该绽开式成立 .5.由.两端积分 ,有验证知上述绽开式在点收敛, 因此该绽开式在区间上成立.这里应用了习题中第 2 题的结果 ,例 4绽开函数.解.例 5绽开函数.解.习题课一.求收敛区间或收敛域 :例 1求幂级数的收敛区间 .例 2求幂级数的收敛域 .解 设, 留意到, 有.时,收敛域为.二.函数绽开 :例 3把函数绽开成的幂级数 .解,;,.与的绽开式比较.例 4绽开函数.解,.因此,，.例 5绽开函数.解,;因此,.例 6把函数绽开成的幂级数 .解,.而=,.三.函数绽开式应用举例 :1. 做近似运算 :例 7运算积分, 精确到.解

13、.因此,.上式最终是 leibniz 型级数 , 其余和的肯定值不超过余和首项的肯定值.为使,可取.故从第项到第项这前 7 项之和达到要求的精度.于是.2. 利用绽开式求高阶导数 :原理.例 8设证明对存在并求其值 .解,.时,直接验证可知上式当时也成立 .因此在内有,.函数作为的幂级数的和函数 , 对存在 , 且即四. 幂级数求和 :原理:对某些幂级数 , 有可能利用初等运算或微积运算以及变量代换化为已知的函数绽开式 特殊是化为函数和的绽开式 ,借以求和 .例 9 求幂级数的和函数并求级数和 leibniz 级数的和.解幂级数的 收敛域为, 设和函数为,就在内有,留意到, 就对有.又在点连续 , 于是在区间内上式成立 . 即有,.取, 有.取, 有.例 10求幂级数的和函数