2022年数列与不等式

1、精品资料欢迎下载专题测试数列与不等式数列与不等式均是高中数学中的重要内容，所以在高考中占有重要的位置. 高考对这两部分的考查比较全面， 在近年来的全国各地高考试题中，常常综合在一起考查这两部分学问，特别是在解答题中较为明显. 在高考试题中， 数列与不等式这部分学问所占分值大约是20 分. 解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维才能，解决问题的才能， 试题有较好的区分度 . 有关数列的综合题，常常把数列学问与不等式的学问综合起来，其中仍包蕴着丰富的数学思想，通常要用到放缩法以及函数思想（求函数的最值等） . 这就要求考生能够敏捷地运用相关数列的性质与不等式的方法去解决相关问题 . 估量

2、 2021 年全国各地的高考试题中仍会显现数列与不等式的综合问题，因此考生在复习过程中应当留意把握数列与不等式中的常见方法，并留意积存一些特别的方法，从而做到敏捷处理相关的问题 .本试卷分第一卷（挑选题）和第二卷（非挑选题）两部分. 满分为 150 分，考试时间为120 分钟 .第一卷（挑选题共 60 分）一、挑选题：本大题共12 小题，每道题 5 分，共 60 分. 在每道题给出的四个选项中， 只有哪一项符合题目要求的.1. 在数列 an 中， a1=14 ， 3an=3an+1+2，就使 anan+2<0 成立的 n 值是（）a.21b.22c.23d.242. 已知数列 an 的前

3、 n 项和 sn=n2-9n+2021 ，就满意 5<ak <8 的 k=（）a.9b.8c.7d.62007 n3.（理） 已知数列 an 的通项公式是（）an（其中 nn * ），那么数列 an 的最大项是n.a. a2006b. a2007c. a2006 或 a2007d. a2021（文） 已知数列 an 的通项公式是 an=-n2+n（其中 n n* ）是一个单调递减数列，就常数的取值范畴（）a.3 ，+ b.（-， 3）c., 3d. 3,4. 数列 an 的通项公式是关于x 的不等式 an 的前 n 项和 sn=（）2x -x<nx（ n n* ）的解集中的整

4、数个数，就数列a. n2b. nn+1c.nn12d. n+1 n+21n2021n5. 如数列 an 、 bn 的通项公式分别是an=-1 n+2007 ·a， b2，且 an <bn，对n任意 n n * 恒成立，就常数 a 的取值范畴是（）33a. （-2， 1）b.2,2c.2, 1d.（ -2，）26. 在等差数列 an 中， a10<0 ， a11>0 且 a11>|a10|， sn 是数列 an 的前 n 项和，就使 sn>0 的 n的最小值是（）a.21b.20c.10d.117（理） 已知首项为a、公比为 q（ 0<|q|<

5、1）的无穷等比数列 an 的各项和是s，其前 n 项和是 sn，且1lim sn-qn2s=q，就 a 的取值范畴是（）1a. , 2b. ,2c. , 00, 1 2d. , 00, 12（文） 无穷数列 1，1 ， 1 ，1 ， 1 ， 1 ，1 ， 1 ， 1 ，的前（）项和开头大于103335（）5555a.99b.100c.101d.1028. 已知数列 an 的通项公式是 an=-n2+12n-32，其前 n 项和是 sn，就对任意的 n>m（其中 n、m n* ）， sn- sm 的最大值是（）a.5b.10c.15d.209. 已知等差数列 an 的前 n 项和是 sn，

6、且 a1=2021 ，且存在自然数 p10，使得 sp=ap，就当 n>p 时， sn 与 an 的大小关系是（）a. an snb. an>snc.an snd.an< sn10. 已知等差数列 an 的前 n 项和是 snn=（）1 n22a8n ，就使 an<-2006 成立的最小正整数2a.2021b.2021c.2021d.2021a111. 已知集合 m=0 ，2 ，无穷数列 an 满意 an m，且 p=3肯定不属于区间（）a 2a 32333a1001003，就 pa. 0, 1b.0, 1c.1 , 233d.1 , 23312已知某企业 2006 年

7、的生产利润逐月增加，为了更好地进展企业，该企业也同时在改造建设 . 其中一月份投入的建设资金恰好一月份的利润相等，且与每月增加的利润相同. 随着投入的建设资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到十二月份投入的建设资 金又恰与十二月份的生产利润相同. 就该企业在 2006 年的总利润 m 与总投入资金n 的大小关系是a. m>nb. m<ncm=nd. m、n 的大小关系不确定第二卷（非挑选题）共 90 分）二、填空题：本大题共4 小题，每道题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上.13（理） 在正项等比数列 an 中， a2a8= k+1 ，就整数 k=.1， a1+

8、a9 的最小值是 m，且 3a25=m，其中 ak，（文） 在正项等比数列 an 中， a2a8=25 ， a1+a9 的最小值是 m=.14（理） 一张厚度为 0.1 mm 的矩形纸片，每次将此纸片沿一组对边的中点连线对折，就经过次这样的折叠后其厚度开头大于100 m（假设这样的折叠是可以实现的，参考数据：lg 2=0.3010 ） .（文） 一种机械设备的价格为200000 元，假设保护费第一年为1000 元，以后每年增加1000 元，当此设备的平均费用为最小时为正确更新年限，那么此设备的正确更新年限为.15在 abc 中，内角 a、b、c 的对边分别是 a、b、c，且 a2，b2，c2

9、成等差数列，就 sinb的最大值是.16（理）设正数数列 an 的前 n 项之和是 bn，数列 bn 前 n 项之积是 cn，且 bn+cn=1，就数列1中最接近 108 的项是第项.an（文） 在等比数列 a 中，a =1 ，公比 q=2 ，其前 n 项之和是 s ，x=ss +s ，n1102n10203010s20y= s22 ，就 x， y 的大小关系是.三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分 10 分）已知数列 an 是递增等差数列，前n 项和为 sn， a1=2 ，且 a1， a2， a4 成等比数列 .（ 1）求 a

10、n 的通项公式；sn（ 2）令 tnn ，2当 n 为何正整数时， tn>tn+1 ？如对一切正整数n，总有 tn m，求 m 的取值范畴 .18（本小题满分 12 分）（理） 已知数列 an 是首项为q、公比为q 的等比数列（其中q>0 且 q 1），设bnanlog 2 an （其中 n n* ） .（ 1）当 q=2 时，求数列 bn 的前 n 项和为 sn；sn（ 2）在（ 1）的条件下，求2007lim的值；nnan（ 3）当q时，在数列 bn 中，是否存在最小的自然数n，使得对任意的m>n（m2021 n* ），都有 bm>bn？证明你的结论 .n（文） 数

11、列 an 的通项公式是an = c1n2c2n3c3ncn （其中 n n* ），前 n 项和n为 sn.（ 1）化简数列 an 的通项公式 an；（ 2）求证： 11s1s211.sn19（本小题满分 12 分）医学上为了确定某种传染病在传播过程病毒细胞的生长规律及其预防方法，通常将这种病毒细胞 m 个注入一只小白鼠的体内进行试验.1234567m2m4m8m16m32m64m在试验过程中，将病毒细胞的数量（个）与时间（h）的关系记录如下表： 时间（ h）病毒细胞总数（个）已知该种病毒细胞在小白鼠体内的数量超过m× 106 个时，小白鼠将死亡，但有一种药物对杀死此种病毒有肯定的成效

12、，在最初使用此药物的几天内，每次用药可杀死其体内该病毒细胞的 98%.（ 1）为了使小白鼠在试验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（ 2）其次次最迟应在何时注射该种药物，才能保护小白鼠的生命？（答案精确到小时， 参考数据： lg 2=0.301 0 ）20（本小题满分 12 分）已知函数 f x=x+1 ，点 n1, an1 n* 在-1上，且 a=a =1.n y = fan x12（ 1）求数列 an 的通项公式；a1a 2an（ 2）设sn，如 sn>m 恒成立，求常数 m 的取值范畴 .2.3.n1.21（本小题满分 12 分）已知数列 an 满意： a1=2 ， a

13、2 =3， 2an+1=3 an-an-1n 2.（ 1）求数列 an 的通项公式 an；（ 2）求使不等式anman 1m2 成立的全部正整数m、 n 的值 .322（本小题满分 12 分）已知点 p1、p2、 p3、 pn、顺次为曲线 xy=3 （ x>0）上的点（如下列图） ， 点 q1、q2、q3 、 qn、顺次为 x 轴上的点，且 op1q1、 op 2q2、 qn-1pnqn、均为等边三角形 .记点 qncn， 0， pnan， bn 其中 nn * .*（ 1）求数列 cn n n 的通项公式；*（ 2）（理） 求数列 an n n值；的通项公式及anlim的ncn*（文）

14、 求数列 an n n 的通项公式 .11（ 3）（理） 求证：1222122422 其中 n n * .a2 a2a2 a3an an 1cc44（文） 求证： 161612162 其中 n n* .c4n参考答案1. a由已知得 an +1-an=2 ， an=14+ n-13244=332n ， anan+2=442n ·3402n<0 ，3 n-20 n-22<0 ， 20<n<22 ，因此 n=21 ，选 a.s12. b由题意得 an=2000, n1，由 5<ak<8 得snsn 115102n, n25<-10+2 k<

15、8，<k<9，又 k n ，所以 k=8，选 b.2an 13（理） c由题意得 an>0 ，2007，当 n<2006 时， an1 >1，an+1> an 且 a2007=a2006；ann1an当 n 2007 时，an 1 <1， an+1< an. 综上所述，数列 an 的最大项是 a2007=a2006.an（文）ban+1- an2= - n+12+ n+1+ n -n=-2n-1<0 得<2n+1，其中 n n* ，因此<3.4. c由 x2-x<nx 得 0<x<n+1， n n* ，因此 a

16、n1=n， sn=n n21 ，选 c.15. c当 n 是奇数时，由 an<bn 得 a<2-，a<1；当 n 是偶数时，由an<bn 得-a<2+n， -an2， a -2，因此常数 a 的取值范畴是2, 1 .6 b设数列 an 的公差是d，由已知得a11>-a10， a11+a10>0 ， 2a1+19 d>0 ， 2a1>-19 d. 令sn=na1+nn21d=n·2a1n n 21d>0 即 2a1+n-1d>0，而 2a1+ n-1 d>-19d+n-1 d=n-20 d，需 n-20 d0，又

17、d>0，因此 n 20，选 b.7（ 理）由题意得 sa1-q21qs=1- q2· a1q=a1+ q=q，q1a=1-1q1q，又 0<|q |<1， 0<1+q<2 且 1+q 1， a< 12且 a 0，选 c.（ 文） c由题意得该数列有1+3+ +2 n-1= n2 项的和是 n，因此其前101 项和开头大于10，选 c.8b由 an=-n2+12 n-32=- nn-4 n-8>0 得 4<n<8，即在数列 an 中，前三项以及从第9 项起后的各项均为负且a4 =a8=0 ，因此 sn-sm=am+1+am+2+ +

18、an 的最大值是 a5 +a6+a7 =3+4+3=10. p9. b由 sp=ap 得 a1+a2 + +ap-1=1a12a p 1 0， a1+p-1=0.又 a1=2021>0 ，因此 ap-1<0，数列 an 的公差小于零 . 当 n>p 时，sn-1=a1+a2+ +an-1<sp-1=0， sn=sn-1+an< sp-1+an=an，即 an >sn.10. b设数列 an 的公差是 d，就 snna1nn21 dd n 22a1d n 21 n22a8 n ， d 221且a1d22a8a17d 22， d=-1且a1=2，an=2- n-

19、1=3- n<-2006 ，n>2021，因此使 an<-2006 成立的最小正整数n=2021 ，选 b.a 2a311 c由题意得当a1=0 时， 0 p= 3233a100 310022 3233231001131003< 1 ；3222当 a1=2 时，3323323100 p 2 ，即 1>13131002 p.3因此结合各选项知选c.n 12 a设一月份投入的建设资金与一月份的利润均为a，每月增加投入的百分率为r，就各月的利润依次组成一个数列 an ，其中 an=na1 n12，n * ，各月的建设资金依次组成一个数列 bn ，其中 bn=a1+ r

20、n-1 1 n 12， n n* ，由于 a1=b1， a12=b12，结合函数y=ax 与 y=az1+ r x-1 的图象可知 a2>b2， a3>b3， a11>b11，因此 m>n.13（理） -1由题意得 a1+a9 2a1a92m， 3-1a<3=52<1=350， -1< a<0， k=-1.（文） 10由题意得 a1+a9> 2a1a910m.14（理） 20由题意得，经过n 次这样的折叠后其厚度是0.1× 2n mm，令 0.1× 2n>100 ×103=10 5 得，2n>106

21、，n>6lg 260.3010，因此经过 20 次这样的折叠后其厚度开头大于100m.（文） 20当此设备使用了n 年时，此设备的平均费用是1000nn12000002n500等号 .400nn1 500· 2400nn1 =20500 ，当且仅当400n=n，即 n=20 时取得3222a2c2b2a2c2ac222a 2c215 2由已知 得 2b=a +c， cosb=2ac2ac4ac2ac 4ac1，因此 sinb=21cos2 b 3 .216（理） 10依题意得bcnnccnn 2，又 bn+cn=1，就c1+cn=1，c1=1，由cn 1n 1nn 1b =c，

22、b +c=1 得 b=c =1 ，就 c =1，b =n，所以 a1=b -b=1,=nn+1 ，111111nn2n1n1nnn-1nn1) an因此数列1中最接近 108 的项是第 10 项.2an（文） x=y由等比数列的性质知 s20-s102ss2=s10s30-s20，即 10202s20s10s10s30-ss1020s10s20，也即22 =s10 s20+s30，就 x=y.217（ 1）设公差为 d（ d>0），就有因此 an=2+2 n-1=2 n；a 2 =a1a4，2+ d2=22+3 d，由此解得 d=0（舍去）或 d=2，n22n（ 2）由（ 1）得snnn

23、+1 ，2snnn1n1 n2* tnn2ntn 122 n 1，即 n>2 n n ； ts1=1，t=t =3 ，又 n>2 时， t >t，各项中数值最大值为3 ，对一切12232nn+12正整数 n，总有 tnm 恒成立，因此m 3 .2命题动向 近年来的全国各地的高考试题中， 有关等差、 等比数列的定义、 通项公式以及前 n 项和公式的基本考查常有显现， 这就要求考生对于这方面的学问比较熟识， 做到敏捷地使用，同时留意与其他学问间的联系 .18（理）（ 1）当 q=2 时， an=2n， bn=2n· log22n=n· 2n， sn=1

24、3; 21+2· 22+ +n·2n，2sn=1· 22+2 · 23 +n-1 ·2n+n· 2n+1，由 -得， -sn =21+22+2n-n· 2n+1= 2n 12-n· 2n+1=2n+1- n·2n+1+2，snn2n 12n 12；sn1n2n 122n 1222（ 2）由（ 1）得limnnanlimnn2nlim 2nnn2n 2 ；（ 3）当 q=2007 时，存在最小的自然数n=2021 ，使得对任意的 m>n（ m n* ），都有 b>bn.m证明如下：2021nn当

25、 q=2007 且 n 2021 时， an=20212007， b2021n=n·2007log 220212007，bn +1-bn2021= n+12007n 1log22007-n·n2007log22007=n2007·2007n·2021202120212021202120212021log 220072021>0，由于 1>20072021n>0，log220072021<0，20072021n-2021<0，因此 bn+1-bn>0，即bn+1>bn，数列 bn 从第 2021 项开头各项随着 n

26、 的增大而增大，故存在最小的自然数n=2021，使得对任意的 m>n（ m n*），都有 bm>bn.n（文）（ 1）由 an= c12c23c3ncn，nnnnan= ncnnan= nc0n1c nnnn1c11 nn2) cn 2nn2c2c1 ，即cnn 1n，ncn由 +得 2an= nc01cn n· 2n，n就 an=n· 2n-1 ；（ 2）由 an=n· 2n-1 得 sn=1·02 +2·122 +3·2 +n-1 +n·2，2sn=1· 21+2 · 22+3·

27、 23+ +（ n-1）2n-1+n· 2n，12 n由 -得 -sn=1+2 1+22+2n-1-n· 2n=n · 2n， sn=n-1 · 2n+1，121snn11s1s21n1211sn1n ，21122211122n 1n2112111,2n11因此s1s211 .sn规律总结有关数列前 n 项和的求解问题，详细问题应当进行详细分析. 当一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积所构成，就此时可采纳错位相减法. 把其前 n 项和的表示式两边同时乘以公比，然后两式相减，从而求解. 当一个数列 an 满意： a1+an=a2+an-

28、1=时，可考虑采纳倒序相加法来求其前n 项和 .19.（ 1）设第一次最迟在第n（ h）时注射药物由病毒细胞的生长规律可知，第n（ h）时病毒细胞的数量是2n-1· m 个.因此为了使小白鼠在试验过程中不死亡，应有2n-1·mm× 106，即 2n-1 106，n-1lg2 6， n 1+6 20.9，第一次最迟应在第20（ h）时注射该种药物；lg 2220（ 2）第 20（ h）时的小白鼠体内的病毒细胞数是210· m1-98%=m 个.100220设第一次注射药物后的第t 小时必需注射药物，就m · 2t m×106，即 2t+

29、20 108，100 t+20lg2 8，t8lg 2-20 6.57，因此其次次注射药物的时间最迟应在自开头注射该种药物后的第 6（ h），才能保护白鼠的生命.规律总结解决实际应用问题的一般步骤：（ 1）读题：反复读题，领会题目的数学本质，弄清题中显现的每个量及其数学含义；（ 2）建模：恰当地设出关键量，依据题意进行数学化设计，建立目标函数（函数模型）；（ 3）求解：用相关的函数学问进行数学上的运算；（ 4）反馈：把运算获得的结果返回到实际问题中，写出答案.20（ 1） f x=x+1 的反函数是 f -1 x=x-1，点 n+1，an 1an （n n*）在反函数图象上，an 1an=n，

30、而 a1=1，a2 · a3 a1a2 an an 1=1 · 2· 3 n-1 ， an= n-1 ！；（ 2）ann1.n1.n1.1nn1.11,nn1 sn= 11 11223 11nn111,n1又 s 随 n 的增大而增大，s s = 1 ，由 s >m 得， m< 1 ，即常数 m 的取值范畴是n1- ，.2n1n22思路点拨此题考查了数列的通项公式的求法. 当已知数列 an 的递推公式是an 1an= f n的形式时，通常采纳累乘的方法求解.21（ 1） 2an+1=3an-an-1n 2，得 2an+1-an=an-an-1n2 ，a

31、n 1an1n 2，因此数列 an-an -1 是以 a2-a1 =1，为首项，1 为公比的等比数列，anan 122 a -a1 n 2=，nn -12当 n 2 时， an=an-an-1+ an-1-an-2+ +a2-a1+a11 n 21 n 311 1 n 144221a122241122 n ，又 a1 =2=4- 21 ，4因此 an=4-n2（ 2）由不等式.anman 1m42 ，得344m2n2<，432n 1m4m2n420 ，4m2n23 4m2n8即0 ，3 4m 2n2所以 2<4- m · 2n<8， 2n 为正偶数， 4-m 为整数

32、， 4-m·2n=4，或4-m·2n=6，2 n2，或4m22 n4，或4m12 n2，或4m32n6.4m1n1,解得，或m2,n2,或m 3,n 1,n或m1,mlog 2 6,3.经检验使不等式anman 1m2 成立的全部正整数m、n 的值为（ m，n） =（ 1，1）或3（ 2， 1或3， 2.方法探究求递推公式形如an+2=pan+qan+1（其中 p， q 是常数）的数列的通项公式.已知数列 an 满意： a1=a， a2 =b，且 an+2=pan+qan+1（其中 p， q 是常数），求 an.一般地，设 an+2- x1an+1=x2an+1-x1an，

33、即 an+2= x1+x2an+1-x1 x2an，又an+2=pan+qan+1，所以有x1x2x1 x2q，由此可知， x1、 x2 是二次方程 x2p=qx+p 的两根 .当 x1 x2 时， 就由对称性得an+2-x2an+1=x1an+1-x2an，由此求得数列 an+1-x1an 与 an+1 -x2an的通项公式，从而得出an；当 x1=x2 时，就有 an+2- x1an+1=x1an+1-x1an，求得数列 an+1-x1 an 的通项公式，进而得到an.y22（ 1）由题意得直线 op1 的方程是 y=3 x，由xy3x3 x解得 x=1，就 c1=2.0又直线 qnpn+1的方程