特征值与特征向量ppt课件

1、从本节开场，我们主要讨论，如何选择一组适当从本节开场，我们主要讨论，如何选择一组适当的基，使的基，使V的某个线性变换在这组基下的矩阵就是的某个线性变换在这组基下的矩阵就是 一个对角矩阵一个对角矩阵?有限维线性空间有限维线性空间V中取定一组基后，中取定一组基后，V的任一线性的任一线性希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵. 变换都可以用矩阵来表示变换都可以用矩阵来表示. 为了研讨线性变换性质，为了研讨线性变换性质，设是数域设是数域P上线性空间上线性空间V的一个线性变换，的一个线性变换， A那么称为那么称为 的一个特征值，称为的属于特征值的一个特征值，称为的属于特征值

2、0 AA 0( ), A假设对于假设对于P中的一个数存在一个中的一个数存在一个V的非零向量的非零向量, 0, 使得使得的特征向量的特征向量. 0 几何意义：特征向量经线性变换后方向坚持几何意义：特征向量经线性变换后方向坚持由此知，特征向量不是被特征值所独一确定的，由此知，特征向量不是被特征值所独一确定的， 00()( )()()kkkk AA一样一样 或相反或相反0(0) 0(0). 0( )0,0. A时时 假设假设 是是 的属于特征值的特征向量，那么的属于特征值的特征向量，那么 A0 也是也是 的属于的特征向量的属于的特征向量.A(,0)kkP k 0 但是特征值却是被特征向量所独一确定的

3、，即但是特征值却是被特征向量所独一确定的，即假设且，那么假设且，那么( )( ) AA. 设设 是是V的一组基，的一组基，12dim,nVn 线性变换在这组基下的矩阵为线性变换在这组基下的矩阵为A. A12,n 下的坐标志为下的坐标志为 010,nxx 设是的特征值，它的一个特征向量在基设是的特征值，它的一个特征向量在基0 A 那么那么 在基下的坐标为在基下的坐标为( ) A010,nxAx 12,n 而而 的坐标是的坐标是0 0100,nxx 0010100,nnxxAxx 于是于是0( ) A又又0010()0.nxEAx 从而从而 0100,0,nxx 又又即即 是线性方程组是线性方程组

4、 的解，的解，010nxx 0()0EA X 有非零解有非零解. . 0()0EA X 所以它的系数行列式所以它的系数行列式 00.EA 以上分析阐明：以上分析阐明：假设是的特征值，那么假设是的特征值，那么00.EA 0 A反之，假设满足反之，假设满足0P 00,EA 那么齐次线性方程组有非零解那么齐次线性方程组有非零解. 0()0EA X 假设是一个非零解，假设是一个非零解，0()0EA X 01020(,)nxxx 特征向量特征向量.那么向量就是的属于的一个那么向量就是的属于的一个0110 nnxxA0 设设 是一个文字，矩阵称为是一个文字，矩阵称为,n nAP EA 1112121222

5、12.( )nnnnnnAaaaaaaEAaaaf 称为称为A的特征多项式的特征多项式. A的特征矩阵，它的行列式的特征矩阵，它的行列式 是数域是数域P上的一个上的一个n次多项式次多项式( )Af 矩阵矩阵A A的特征多项式的根有时也称为的特征多项式的根有时也称为A A的特征值的特征值, , 假设矩阵假设矩阵A A是线性变换关于是线性变换关于V V的一组基的矩阵，的一组基的矩阵，A而是的一个特征值，那么是特征多项式而是的一个特征值，那么是特征多项式0 A( )Af 0 的根，即的根，即0()0.Af 的一个特征值的一个特征值.反之，假设是反之，假设是A的特征多项式的根，那么就是的特征多项式的根

6、，那么就是0 0 A所以，特征值也称特征根所以，特征值也称特征根.而相应的线性方程组而相应的线性方程组 的非零解也就的非零解也就()0EA X 称为称为A A的属于这个特征值的特征向量的属于这个特征值的特征向量. . i) 在在V中任取一组基中任取一组基 写出写出 在这组基下在这组基下A12,n 就是的全部特征值就是的全部特征值.Aii) 求求A的特征多项式的特征多项式 在在P上的全部根它们上的全部根它们EA 的矩阵的矩阵A .iii) 把所求得的特征值逐个代入方程组把所求得的特征值逐个代入方程组()0EA X 的全部线性无关的特征向量在基的全部线性无关的特征向量在基 下的坐标下的坐标.) 并

7、求出它的一组根底解系并求出它的一组根底解系.(它们就是属于这个特征值它们就是属于这个特征值12,n 1,1,2,niijjjcir 那么那么就是属于这个特征值就是属于这个特征值 的全部线性无关的特征向量的全部线性无关的特征向量. 0 而而1122,rrkkk 其中，不全为零其中，不全为零 12,rk kkP 就是的属于就是的属于 的全部特征向量的全部特征向量.0 A111212122212(,),(,),(,)nnrrrnccccccccc假设特征值假设特征值 对应方程组的根底解系为：对应方程组的根底解系为：0 对皆有对皆有(0),V ( ).Kk () .nEkEk 所以，所以，V中任一非零

8、向量皆为数乘变换中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量的特征向量.例例1.在线性空间在线性空间V中，数乘变换中，数乘变换K在恣意一组基在恣意一组基下下的矩阵都是数量矩阵的矩阵都是数量矩阵kE，它的特征多项式是，它的特征多项式是故数乘法变换故数乘法变换K的特征值只需数的特征值只需数k，且，且1 2 22 1 2 ,2 2 1A 解：解：A的特征多项式的特征多项式 122212221EA 2(1) (5) 例例2.2.设线性变换在基设线性变换在基 下的下的矩阵是矩阵是A123, 求特征值与特征向量求特征值与特征向量.A故的特征值为：二重故的特征值为：二重 121,5 A 把把 代入齐次方程组代入齐

9、次方程组 得得 1 ()0,EA X 123123123222022202220 xxxxxxxxx 即即 1230 xxx它的一个根底解系为：它的一个根底解系为： (1,0, 1), (0,1, 1)因此，属于因此，属于 的两个线性无关的特征向量为的两个线性无关的特征向量为1 113223, 而属于而属于 的全部特征向量为的全部特征向量为1 1 12212,(,)kkk kP 不全为零不全为零 因此，属于因此，属于5的一个线性无关的特征向量为的一个线性无关的特征向量为 把把 代入齐次方程组代入齐次方程组 得得 5 ()0,EA X 解得它的一个根底解系为：解得它的一个根底解系为： (1,1,

10、1)3123而属于而属于5的全部特征向量为的全部特征向量为3333,(,)kkPk 0 0 123123123422024202240 xxxxxxxxx 00V A再添上零向量所成的集合，即再添上零向量所成的集合，即000()( )( )() AAA设设 为为n维线性空间维线性空间V的线性变换，为的线性变换，为0 AA的一个特征值，令的一个特征值，令 为的属于的全部特征向量为的属于的全部特征向量0V A0 那么那么 是是V的一个子空间的一个子空间, 称之为的一个特征子空间称之为的一个特征子空间.A0V 00()( )()()kkkk AA00,VkV的解空间的维数，且由方程组的解空间的维数，

11、且由方程组(*)得到的属于的得到的属于的0 假设在假设在n维线性空间维线性空间V的某组基下的矩阵为的某组基下的矩阵为A，那么，那么A00dim()VnEA 秩秩即特征子空间即特征子空间 的维数等于齐次线性方程组的维数等于齐次线性方程组0V 0()0EA X (*)全部线性无关的特征向量就是全部线性无关的特征向量就是 的一组基的一组基.0V 1. 设设 那么那么A的特征多项式的特征多项式 ,n nijAaP 111212122212.nnnnnnaaaaaaEAaaa 11221()( 1)nnnnnaaaA 由多项式根与系数的关系还可得由多项式根与系数的关系还可得 A的全体特征值的积的全体特征

12、值的积.A A的全体特征值的和的全体特征值的和1122.nnaaa 称之为称之为A的迹的迹,记作记作trA.证证:设设 那么存在可逆矩阵那么存在可逆矩阵X，使得，使得,AB1BXAX 11XEXXAX 1()XEA X 1XEA X 1EBEXAX 于是，于是，EA 有一样特征多项式的矩阵未必类似有一样特征多项式的矩阵未必类似. .成是矩阵成是矩阵A的特征值与特征向量的特征值与特征向量.它们的特征多项式都是，但它们的特征多项式都是，但A、B不类似不类似.2(1) 多项式；而线性变换的特征值与特征向量有时也说多项式；而线性变换的特征值与特征向量有时也说A因此因此,矩阵矩阵A的特征多项式也说成是线

13、性变换的特征的特征多项式也说成是线性变换的特征A 由定理由定理6 6线性变换的特征值与基的选择无关线性变换的特征值与基的选择无关. .A如如 1 01 1,0 10 1AB设设 为为A A的特征多项式的特征多项式, , 那么那么,( )n nAPfEA 11221()()( 1)0.nnnnnf AAaaaAA E 证证: 设设 是是 的伴随矩阵，那么的伴随矩阵，那么( )BEA ( )()( )BEAEA EfE 都是都是的多项式，且其次数不超越的多项式，且其次数不超越n1. 又的元素是的各个代数余子式，它们又的元素是的各个代数余子式，它们( )B EA 因此，可写成因此，可写成( )B 零

14、矩阵零矩阵120121( )nnnnBBBBB 其中，都是其中，都是 的数字矩阵的数字矩阵.011,nB BB nn 再设再设111( )nnnnfaaa 那么，那么，111( )nnnnfEEaEaEa E 而而1201021( )()()()nnnBEABBB ABB A 121()nnnBBABA 比较、两式，得比较、两式，得01012121211nnnnnBEBB Aa EBB Aa EBBAaEBAa E 以依次右乘的第一式、第二式、以依次右乘的第一式、第二式、1,nnAAA E 、第、第n n式、第式、第n n1 1式，得式，得01110121221221211nnnnnnnnnn

15、nnnB AAB AB Aa AB AB Aa ABABAaABAa E 把的把的n n1 1个式子加起来，即得个式子加起来，即得121120nnnnnAa Aa AaAa E ( )0.f A 4. 设为有限维线性空间设为有限维线性空间V的线性变换，是的线性变换，是( )f AA()0.f A的特征多项式，那么的特征多项式，那么零变换零变换例例3. 设求设求10201 1 ,0 10A8542234.AAAAE 3( )21fEA 解：解：A A的特征多项式的特征多项式用去除得用去除得( )f 8542234( ),g 532( )( )(245914)gf 2(243710) ( )0,f A 85422234243710AAAAEAAE 3 4826