本科高数题库

1、、选择题卜面四个函数中，与 yln x eB.2.卜列函数中是偶函数的是3.1f( 1)x12x 14.5.6.7.8.9.f (x) xsin x,周期函数x不同的是(B.则函数B.卜列计算正确的的是1A. lim (1 x)xx 0C. lim xsin 1_x x设 f(x) 2 3 2,f(x)f (x)在(偶函数则当x0时,A. f (x)与x是等价无穷小C. f(x)是比x高阶的无穷小数列有界是数列收敛的(当x 0时，jx 1 1是x的(A .高阶无穷小C.同阶但非等价无穷小卜列函数中是偶函数的是B . y 4cos2x第一章C.C.C.)内为C.B.D.B.D.4 x4cosx单

2、调函数lim(11)x xsin xlim 1x xD.D.D.y xsgn xy lnx有界函数f (x)与x是同阶但非等价无穷小f(x)是比x低阶的无穷小必要条件无关条件B.D.C.低阶无穷小等价无穷小3y x cos xD. y sin x cosx110.下列计算正确的是()1)xx19. lim (1x3lim (1x1x)x e1B. lim(1 -)C. lim x2 sin1D.f(x),f(x) 22x,则函数(x)是log2 2xxB.2C.210g 2 xD.12.设函数f (x)1e'ex0是f (x)的(A.可去间断点B.跳跃间断点C.第二类间断点13.设 f

3、 (x),则1 xf(f(x)14.C.12 x卜列各式计算正确的是sin xB.D.)C.15.A .C.16.17.18.lim -xx1 lim xsin 一设函数f (x)可去间断点无穷间断点B.D.设函数极限limX Xq(A)(C)叫 f(x)lim f(x)x x01 lim xsin - x 0 x11li叫 一 sin 一 xx1是f (x)的(B.跳跃间断点D.连续点)f(x)存在，而lim g(x)不存在，则x Xqg(x)可能存在g (x)必不存在0时，以下不是无穷小量的是一一 2sin x(A)x(B) ln(1 x)(B)(D)(C)(11)A.无穷小量1一，则当n

4、nB.无穷大量时，An是叫 f(x)lim f (x)x Xq1x)2 1C.有界数列.sinx d lim 1x xD.连续点g (x)可能存在g(x)可能存在2(D) (1 x)xD.无界数列D. 1B. 1e20.下列四个极限中不存在的是lim xsin 一x 0B. lim xsin 一 xVC.lim 1s”.1D. lim sinxx x设lim f(x)及lim g(x)均存在，则limx xox xox xof(x) g(x)7A .存在 B. 不存在 C. 不一定存在D . 存在但不等于22 .设冈 表示不超过x的最大整数，则 y x x是()A .无界函数 B .周期为1的

5、周期函数C 单调函数D .偶函数X,则 fg(x) 1 123 .当 x0 时，xsin 一 是xA.无穷大量BC .有界变量D5，124 .设 f (x) -, g(x) 1 x 1. 1A.1 B.1 -xx-1一 x25 .f x (1- -) x,则当 xxAC 1A . eB.一e26 .下列函数中是偶函数的是(无穷小量.无界变量()C.D. x1 x时，f x的极限是().C .不存在D. 1)x(A) y e 1.(B) y 4 cos2x.3(C) y x cosx .(D) y sin x cosx .27.设 f(x) 2x 3x 2,则当 x 0时，有().(A) f (

6、x)与x是等价无穷小.(B) f(x)与x是同阶但非等价无穷小.(C) f(x)是比x高阶的无穷小.(D) f(x)是比x低阶的无穷小.二、判断题1 . 10 30是无穷小量。()2 .若数列 xn和 yn的极限都不存在，则数列 xn Yn 的极限一定不存在。3 . 一切初等函数在其定义区间内都有原函数。4 .若数列 xn和 yn的极限都不存在，则数列 xn yn 的极限一定不存在。5 .无穷小量是一个非常小的数.一 一 26 .若f （x）在点X0处连续，则f（x）也在X0处连续.（）7 .若f （X）在点处连续，则f （X）也在处连续.（）8 . sin x和x是等价的无穷小量.（）9 .

7、数列收敛是数列有界的必要非充分条件.（）10 .若数列4的极限存在，且每一项都是正数，则其极限也为正数.（）11 .初等函数在它们的定义域内都是连续的.（）12 .有界函数与无穷小的乘积是无穷小.（）13 .定义在闭区间上的连续函数的值域是一个单点集或者是一个闭区间.（）三.填空题1 .已知函数f （x）2(cos x) xa,x 0,在x 0连续，则ax 02,函数y 粤X=2的定义域是；3 x3.limXsinx 2 xe , x 0,八4 .已知函数f（x）在x 0连续，则aa x, x 0o 1 ,1 一5 .当n 时，若sin21与4是等价无穷小，则kn n6 .要使函数f（x）ex

8、1x0e 1,x0连续，则aax,x021+x2- ex当x 0时是x的 阶无穷小量.（填数字）8. f x在点a连续是f x在点a处连续的 条件.一 x22 M9. x=1 是 y= 的x 1间断点.10.数列Xn与yn的极限都不存在，则 Xn yn的极限 存在.11.当x0时，x-sinx是x2的（同.等.图）阶无穷小量.12. x=1 是 y间断点.13.14.设f(x)处处连续，且f(2) 3,则limx 0当x0时，x-sinx是x2的(同.等.高sin3x sin 2xf()=x x阶无穷小量.15.lim0(12x)16.lim(Lx x 1ax b) 0 ,则 a17.Jm n

9、(Vn 1n)=18.f(x)0的第类间断点.19.函数y20.设 f(x)22.23.24.25.26.四.0,x 0arcsin . 11，、j 的7E乂域1 x2lim n( . n2 1n设函数f (x)已知f (x)已知函数f(x)x 0是函数x 0是函数计算题/ 1求lim(n 1 3求limxsin1,xx, xn)=1; r心，则x 1是f (x)的间断点.a x,(cosx)a,x21 cosxf(x)f (x)=)内连续，则a0,02 xa,1ex1ex315L0,在x 0连续，则a0间断点.间断点.(2n 1) (2n 1)求 lim (nx arcsin x4 求 li

10、m3x 0 sin x5.求limxsin x3.2cos x xx96.求 “m( 11、-).7.求 lim2nxx sin xcosxv n sin n8. limn 0 n 19.lim (1xx 1tan xx1 cost) dt10. lim 3x 0 sin xtan x sin xlim3x 0 sin x12.2xlim ()x 2x 1何xim0(x sin x3)xx a x14. lim()x x a15.x b a a lim x b x b16.求极限lim nL (n 1)2 nt2dt17.求极限limx 0 xx 2 ,cost dt18.求极限lim x 0

11、 x119. 求极限lim n 1 2(n 1) n20 求极限xim0x0 (t sint) dtB.C.D.2.3.、选择题卜列说法正确的是若函数若函数若函数若函数f (x)在 xf (x)在 xf (x)在 xf (x)在 x设f(u)二阶可导，A. f ln x1 ,C.2 f ln xxx0连续,则f (x)在xx0不可导,xo不可微,xo不连续,y f ln xf ln x第二章则f (x)在x则f (x)在x则f(x)在xx0可导xo不连续xo极限不存在x0不可导D.ln已知函数f (x)在x0的导数为a ,则lim "x0 h 0h)2hB.C. 2aD.2a4.下列

12、说法正确的是ln xf ln xf (x0h)17A .若f(x)在x Xo连续，则f(x)在x Xo可导B.若f(x)在xx0不可导,则f (x)在xxo不连续C.若f(x)在xx0不可微,则f (x)在xx0极限不存在D.若f(x)在xxo不连续,则f (x)在xx0不可导5. 若f (u)可导，且yf (ex),则有 dyA.f ex dxB. f_ x xe deC.f ex dexD.f ex exdx6.设函数f (x)在点x1的某个邻域内有定义，且limh 0f (1) f (1 2h)1,则有 f (1)()(A)未必存在(B)存在且等于 一(C)存在且等于一(D)22存在且等

13、于27.若函数f (x)的导数是e x,则以下函数不是 f (x)的原函数的是(A)_ x(B) e x(C) e x 2x 1_x(D) e8.设f (x)在x a的某个邻域内有定义，则f (x)在x a处可导的一个充分条件是().，八1(A) lim h f(a )f(a)存在.h +hB)眄。f(a 2h) f(a h)存在.9.(Wof(a h) f(a h)存在.2hD) lhmof(a) f(a h)存在.10.若函数f(x)的导数是e x,则以下函数不是f (x)的原函数的是(A)_ x(B) e x(C) e x2x(D)=1，则极限lhmof h f 0等于3hB. 0C.f

14、 (1) f (1 x)设f(x)是可导函数，且lim-(J-() x 0 2x1,则曲线yf (x)在点(1, f(1)处的切线斜率为()C.0D. 112.函数f(x)在点xo可f(x)在点xo可微的条件.A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要13.设函数f(u)可导，且y f(ex)则有(A. dy f (ex)dx B. dy f (ex)dexC.dy f(ex)dexD.dy f (ex) exdx14.f(x)1 e x0,xx2,x°,则f'(0)为C. -1D. 115.f(x)2ch 1x sin 一,x x0,x 00，- 一，、

15、,f(x)在 x=0 处()A.不连续也不可导B.连续但不可导 C.连续且可导，D,可导但导函数不连续16 .若函数y f (x)满足f (x0) g ,则当 x 0时，dy x x0是()A .与x等价的无穷小B.与x同阶的无穷小,xC.比x低阶的无穷小D.比x高阶的无穷小17 . f (x)0,x 0A. 0 B .1 C . -1 D. 1218.设f(x)在x a的某个邻域内有定义，则f (x)在x a处可导的一个充分条件是(,1,A.limhf(a-)f(a)存在hhf (a h) f (a h)入广C. lim -存在h 0h f (a 2h) f (a h)七十B. lim -L

16、 存在h 0hf(a) f (a h)行尸D. lim 存在h 0 hx2sin -, x 0 一一19.设函数 f (x)x , f (x)在 x 0 处().0,x 0A.不连续也不可导B.连续但不可导 C.连续且可导，D,可导但导函数不连续.判断题1 . f (x)在点X0的左导数及右导数都存在是f (x)在点X0可导的充分必要条件. (2 .若函数f(x)在某点处不连续，则f(x)在该点处不可微.4.3 .若函数在点x。连续，则该函数在点 小可导.可导的周期函数的导函数仍为具有相同周期的周期函数.5 .可导的奇函数的导数仍为奇函数.6 .若函数f (x)在某点处不连续,则f (x)在该

17、点处不可微.()7 .若函数f(x)在某点处不连续,则f(x)在该点处可能可导.()三.选择题 - .38 .曲线y x 4在(1, 5)处的切线方程为 .x 1 t2 .-、 一9 .曲线 ° 在t 2处的切线方程为 . y t310曲线y x 1在点(1, 2)处的切线万程为 .11函数 y y(x)由方程 y 1 xey确定，则 dy=. dx3312 已知 x y 3axy 0 ,则隐函数 y的导数为.13 .曲线y x4 2在(1, 1)处的法线方程为 .1.1. 函数f x在点xo可导是f x在在点xo可微的 条件.15 .曲线y ln x在点(e, 1)处的切线方程为

18、.x 1 t216 .曲线，在t=2的切线万程为 .y t3117 . d( )=-jdxx18 .过点(1,2)且切线斜率为2x的曲线方程为 .x2 2x 3,x 0;19 .当a , b 时，函数f (x)在(，)内连续.可导.ax b, x 020 .曲线y ln x在点(e, 1)处的切线方程为 .21 . 曲线y x5 x 1在点(1,3)处的切线方程为 22 .设 f(x) x(x 1)(x 2)L (x n)(n 2),则 f (0) .23 .设 y y(x)由方程 y 1 xey所确定，贝U dy24 . f (x)在点孔可导是f (x)在点可微的 条件.25 . 曲线y e

19、x在点(0,1)处的切线方程为 26.2728.29.30.31 .32.33.34.35.36.37.一、1 .2.3.4.四、计算题讨论函数讨论函数y1xsin ,x0,21x sin-, x0,0,在x=0处的连续性和可导性.00,在x=0处的连续性和可导性.0dy求y=tan(x+y)的导数 dxx , dy设 y ln cos(e )，求 dxaxy e(sin bx)求dy设参数方程X f'(t) y tf'(t) f(t)确定函数y y(x),其中d 2vf (t)具有二阶连续导数，且f''(t) 0,求空 dx求由方程x1”一，y -siny0所

20、确定的隐函数的二阶导数d2y dx2设 y ln cos(ex),求dydx设 f (t)lim t(Xx-)x求 f (t)X t求方程2te2et1dxxey所确定的隐函数的微分dy.第三章判断题若函数f (x)在某点处的二阶导数为零，则该点是拐点。函数的极大值一定比极小值大。若函数f (X)在某点处的二阶导数为零，则该点是拐点。函数的极值点一定是驻点。5.连续函数的拐点一定是二阶导数为零的点.6.可微函数的极值点都是驻点.二、选择题1.若点（0,1）是曲线3,2ax bxc的拐点，则有（）A . a 1, b 3, cB.a 1, b 0, c为任意值C.a为任意值，b0, cD.a,

21、b为任意值,c2.若在开区间（a, b）内恒有f (x)f (x)0,则（a, b）内曲线弧yf(x)为(A.上升的上凸弧B.上升的上凹弧C.下降的上凸弧D.下降的上凹弧3.若在开区间（a, b）内恒有f （x）0,f (x)0,则（a, b）内曲线弧yf（x）为（A.上升的上凸弧B.上升的上凹弧C.下降的上凸弧D.下降的上凹弧4.若在区间（a, b）内恒有f （x） 0,(x) 0,则曲线弧y "*）为（A .递增的凸弧B.递增的凹弧C.递减的凸弧D.递减的凹弧5.设 lim f(x) f(a) x a (x a)1,则 f (x)在 xa处有（）不可导B.可导，但f （a）0 C

22、.取得极大值D.取得极小值6.，在(0, +8)内 f x >0, f x >0,则x 在（-oo, 0）内（f x <0,x >0C.f x >0,D.不定7.函数在点x0处取得极大值，则必有f (x0)0B.f (x0)0C.f(x0)0 且 f (x0)0D.f （x。）0或者不存在8.若在区间（a,b）内恒有f （x） <0,f （x）0则在（a,b）内曲线弧y=f（x）为（）A.上升的凸弧C.上升的凹弧.下降的凸弧.下降的凹弧9.若 f(x)=f(-x)，在(0,+ OO）内(x) >0, f (x) 0 ,则 f(x)在(-8, 0)内()

23、19A . f (x) <0, f (x) V 0B . f (x)< 0, f (x) 0C.f (x) >0, f (x) V 0D.不定10.曲线yx2A.没有渐近线 B().仅有水平渐近线C仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线2312 .设在闭区间0,1上f (x)0,(A)f f (0) f(1) f(0).(C)f(1) f(0) f (1) f (0).13 .若在开区间(a, b)内恒有f (x)为().A .向上凸的上升弧C.向上凸的下降弧11.设yf(x)定义在(，)内， 0是函数f(x)的极大值点，则()A.x0必是 f( x)的极小值点B .

24、对于一切的x都有f(x) f(x0)C.x0是 f (x)的驻点 D .当 x x0 时，f (x) 0 ；当 x x0 时 f (x) 0 .).则f (0). f (1)及f (1) f(0)三个数的大小顺序为(B) f (1) f(1) f(0) f (0).(D) f (0) f (1) f(1) f(0).0, f (x) 0,则(a, b)内曲线弧 y f (x)B.向上凹的上升弧D.向上凹的下降弧三、填空题1. 曲线y x2 x在坐标原点处的曲率半径为 .2x 12,曲线y12的水平渐近线是 .x 1x23. 曲线y 的斜渐近线为 .1 x4函数f(x) e2x的带有拉格朗日型余

25、项的2阶麦克劳林公式为 X25. y e 的渐近线是2x6.曲线y 的斜渐近线方程为 .1 x一，-一 3 一 2 一一，一7. 函数f(x) 2x 3x 12x 14的拐点是.8. 函数y=x2x的极小值点是9. 曲线 y=lnx的上凸区间 10. 函数f(x) 2x2 lnx的单调增加区间是 11. 函数f(x) x 2cosx在区间0,万最大值是.- .312. 曲线y x的上凸区间213. 函数f(x) 2xlnx的单倜增加区间是 14. 函数 f(x) x 2cosx在区间0,万最大值是.x15. 设常数k 0,函数f(x) lnx k在(0,)内零点的个数为 .e16. 函数y l

26、n(1 x)的带皮亚诺余项的 3阶麦克劳林公式为 四、计算题1.设f x在开区间(a,b)内可导，且存在有限的极限F(x)f (x), a x bA, x a, blim f x lim f x Ax ax b试证：至少存在一点a, b ,使得 f2 .要造一有盖圆柱形油罐，体积为V，问底半径r和高h各等于多少时 与高的比是多少？.一 h3 .设 h 0,证明2 arctanh h .1 h24 .设b a 0,证明 ba ln b ba .b a a才能使表面积最小？这时底直径3 一 25 .试决te曲线y ax bx cx d中的a. b . c. d ,使得在x2处曲线有水平切线，(1,

27、 10)为拐点，且点(2, 44)在曲线上.56 .证明方程 x x 10只有一个正实根.1.7 .试问a为何值时，函数f (x) asin x -sin3x在x 一处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此33极值.8 .设函数f (x)在闭区间0,2上二阶可导，且 f(0) 1,f (1)得 f ( ) 0.1 t 1, f (2)-,试证：存在2(0,2)，使9.设函数f (x)在区间0,2上可导，且f(0) 1, f(1)1, f(2) 2 ,试证：存在 (0,2)使得 f ( ) 0 .f(x) f(a).10 .设f(x)在a,+8)上连续，f (x)在(a,+8)内存在且大于手，记

28、F(x) , (x a).证明F(x)x a在(a,+8)内单调增加.11 .证明当 0 x 时，sin x tanx 2x2f (x)12 .设f(x)在0,a可导，f(0) 0.且f (x)在(0,a)内单调增加，证明函数 在(0,a)内单倜增 x加.第四章一、选择题1.下列式子中正确的是().A. f x dx = f x +cB. d f x dx= f xdC.fxdx=fxD.dx2.设f(x)满足足够的连续或可微条件，则下列结论正确的是(一一dA. f (x)dx f(x)B. 一 f(x)dx f (x)dxf x dx = f x)C. df (x) f (x)D. d f(

29、x)dx f(x)3.设函数f(u)可导，且y f(ex)则有(A. dy f (ex)dxB. dy f (ex)dexC. dyf (ex) dexD. dyf(ex) exdx4 .若f(x)的导函数是sinx,则f(x)有一个原函数为().A. 1-sinx B. 1+sinx C. 1+cosxD. 1-cosx5 .设F(x). G(x)是f(x)的两个不同的原函数，且f (x) 0,则有()A. F(x) G(x) 0B. F(x)G(x) CC. F(x) G(x) CD. F(x) CG(x)二、填空题条件.函数在a, b上连续是f x在a, b可积的f arcsin x d

30、x6 .设f x连续可微，则 -2=f arcsin x . 1 x7 .ef(x)f (x)dx 4.一2设sinx为f (x)的一个原函数，则xdf (x)计算题5.求不定积分ln(12x)dx.x6.求不定积分ex dx .7,求不定积分423x 2x .2dx .x2 18.dx1 cosxdx9.-sinx cos x10.已知f(x)的一个原函数是ex2,求 xf(x)dx求不定积分x2cosx dx12.sin x , dx13.求不定积分 x 2cosx dx14.4x 1 dx1 5x215.16.求不定积分cos2 xdx.18.求不定积分ln(1 x)dx.20.求不定积

31、分xln(x1)dx .选择题使积分20kx(1x2)40B.2.连续,1 cosx求不定积分吗见.x17.19.2 .dx 32的常数求不定积分求不定积分40x2f t2 dt ,则 F0xln(x 1)dx .2cos xdx.第五章C. 80D.80).A. f x4x2fD. 2xf3.下列不等式成立的是(A)11(xtanx)dx(B)11(xx、e )dx 0(C)11(xtan x)dx(D)11(xcosx)dx 0二、填空题函数f (x)在a,b上可积是f (x)在a,b上连续的条件.2.设 f(x)12 0f (t)dt,则 f x3.设 f(x)220 f(t)dt,贝U

32、 f x三、判断题291.闭区间上的连续函数一定可积。2.若f(x)在闭区间a, b上可积,f(x)在a, b上必定有界.3.若f(x)在闭区间a, b上无界,f(x)在a, b上必定不可积.4.若f(x)在闭区间a, b上可积,f(x)在a, b上必定有界.四、计算题1xe0xdx2.x在a, b上有连续二阶导数，且 fa f b =0.证明:3.6.9.b1 bf x dx 一 (xa2aa) (x b fx dxln(1 t)dt4.求极限lxm0xcost2dt0求定积分2x ,Jdx,1 x2xx a f(t)dt lim -x a x a7.求定积分2 x cosxdx.08.limx 0sin 2x0 ln(1 t)dt4xx(1 cost) dtlim 2x 0 sinx10.(1 2x2) ,1dx2x