2022年恒成立的不等式

1、精品资料欢迎下载恒成立的不等式一恒成立的不等式的定义不等式恒成立： 不等式对给定区间上的全部的值都成立，就称此不等式在给定区间上恒成立二恒成立的不等式的性质a>fx恒成立a>f maxxafx恒成立af maxx a< fx恒成立a< fminxafx恒成立af minxex1: 已知不等式x1x2a 对一切 xr 的值都成立，求实数a 的取值范畴解：x1x2 x1x23（ x1x2) min=3不等式 x1x2a 对一切 xr 的值都成立a<3实数 a 的取值范畴为（ -， 3）ex2:定义在 r上的函数f x满意：假如对任意x1 , x2r, 都有f x1x

2、2 21 f2x1f x2 ，就称函数f x是 r 上的凹函数 .已知二次函数f x = ax 2x ar, a0.（）求证：当 a0 时，函数f x 是凹函数；（）假如 x 0,1时， |f x| 1，试求实数 a 的范畴 .解：（）对任意x1, x2r,a0, f x1 f x 2 2 f x1x2 22ax 221xax 2x2 a x1x 2 222x 1x2 2112= ax 22ax21 a x 21222x 1x 2 1 a x12x 2 0.xf x1x2 1 f x1 f x2.函数 f x是凹函数 .2 由|2f x |11f x11ax 2x1.*当x0时，ar;当 x0

3、,1 时，（* ）即ax2x1, 恒成立，ax2x112即ax1ax 21x11xx 1x1 221 221414 , 恒成立 .x0,1,11.x当 11时， x 11 2x21 取得最大值是 2，当 14x1时， 1x1 221 取得最小值是 0.42a0, 结合 a0, 得2a0.综上 , a 的范畴是 2,0.说明：在此题 中，求 a 的范畴的方法是分别参数法，即将参数a 放在不等式的一边， 而将关于 x 的函数式放在另一边， 再求出关于 x 的函数的最大值 （和最小值），最终利用恒成立的不等式的性质求出a 的范畴分别变量法 ：如关于 x 的不等式fx,0 （或 fx,0 ）在区间 d

4、 上恒成立，求参数的取值范畴，假如能将原不等式化为fg x （或 fg x ）的形式，而且可以求出g x 在区间 d 上的最大（最小）值，那么原不等式在区间d上恒成立的充要条件是：fg x m ax （或 fg x m in ）；在题目中分别出参数，化成a>fx（a<fx ）型恒成立问题，再利用a>fmaxx（ a<f minx ）求出参数范畴；练习 1：1. 已知 a>0，函数 fx=x3-ax 在 1,上是单调增函数， 就 a 的最大值是 （）（ a） 0b1c2d32. 已知函数 f x=log a ax2 x+ 1 在1 ， 3 上恒正， 就实数 a 的取

5、值范畴是 （）22a 1 ， 8 b（3 ， +） c.1 ， 8 （ 3 ， +） d 1 ，+293. 设函数 f xx2 122922ax ，其中 a0 ；(i) 解不等式 f x 1；(ii) 求 a 的取值范畴，使函数f x 在区间 0,上是单调函数；4. 如定义在 r上的函数 fx为奇函数，且在0, 上是增函数； 求证： fx在 ,0 上也是增函数； 对任意r ，求实数 m，使不等式f cos23) f 2msin0 恒成立；5. 已知不等式11n1n2112n12log a a12 对于大于 1 的正整数 n 恒成立，试确32定 a 的取值范畴 .6. 设命题p：函数f xlg

6、axx1 a16的定义域为r；命题 q ：不等式2x11ax 对一切正实数均成立 . 假如命题 p 或 q 为真命题，命题p且 q 为假命题，求实数a 的取值范畴 .7. 设函数 f x 是定义在 r 上的函数， 对任意实数 m、n，都有f mf nf mn,且当 x0 时 ,f x 1 .（）证明（ 1） f 0=1;（ 2）当 x0时,0f x1; （ 3）f x 是 r 上的减函数；（）假如对任意实数x 、 y, 有f x2 f y2 f axy 恒成立，求实数 a 的取值范畴 .8. 设 ar, f x 为奇函数，且f 2 xa 4 xa2.x（ i ）试求f x 的反函数4f1 （

7、x）的解析式及1f1 x 的定义域；（ ii ）设g xlog1x ,如x2k 1 ,22时, f31 xg x 恒成立，求实数 k 的取值范畴 .9. 、已知函数f x的图象与函数h xx12 的图象关于点 a（0， 1）对称 .x（ 1）求 f x 的解析式；（ 2）如 g x =f x +a ，且xg x 在区间（ 0， 2 上为减函数， 求实数 a 的取值范畴 .10. 某城市 2001 年末汽车保有量为30 万辆， 估计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6% ，并且每年新增汽车数量相同；为爱护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过 60 万量，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？11.

8、n 2. 假如fx当x - ,1 时有意义 , 求a的取值范畴 ;13. 已知向量ax 2, x1, b1x, t , 如函数f xa b 在区间（ 1 ， 1 ）上是增函数，求t 的取值范畴 .14. 已知 x范畴；0,1时，不等式 1 3 ax 1221 1 ax x2 1 a22 恒成立， 求实数 a 的取值15. 已知 x 2最大值；y 22 x2 y10 ，如不论x, y为何实数均有xyk0 ，求 k的16. 如不等式 2x23xyaxy 对一切正数 x、 y 恒成立，求实数 a 的取值范畴 .17. 定义在 r上的奇函数 fx是减函数 , 是否存在这样的实数m,使2fcos+2ms

9、in+f-2m-2>f0对全部的 0, 均成立 .如存在 , 就2求出全部适合条件的实数m;如不存在 , 试说明理由 .三；一次不等式恒成立的解法（ 1） fx=kx+b>0在, 上恒成立（ 2） fx=kx+b0在, 上恒成立（ 3） fx=kx+b0在, 上恒成立（ 4） fx=kx+b0在, 上恒成立f 0f 0f 0f 0f 0f 0f 0f 0ex3.1函数f x3x2b2, x1,1, 如f x1 恒成立，就 b 的最小值为解：函数f x3x2b2, x1,1, 如f x1恒成立其充要条件是：f 11f 11由f-1=2b-51, 得b3由f1=2b+11, 得b0综合

10、得 b3即b的最小值为 32 已知关于 x 的函数 ylog 2 x1 log2 b6 log 2x log a blog 2 x1 ，其中aa0,a1, b0，如当 x 在区间1,2内任意取值时， y 的值恒为正，求 b 的2取值范畴；解： ylog 2 b6 log a b1log 2 xlog ab1 ，令 ulog 2x ，就 u0,1 ，a就有 yfu2log ab6 log a b1 u2log ab1 ，于是问题转化为：当 u0,1 时， yf u0 恒成立，求 b 的取值范畴；由于 yf u 是关于 u 的一次函数， 就当 u0,1时， yf u0 恒成立的12f0logb10

11、充要条件是a，解得1log a b；f 16 log a b203所以当 a练习 2：1 时， 1ab3 a； 当 0a1时， 3ab1 ；a1设奇函数f x在1,1 上是增函数， 且 f 11, 如函数f xt 22at1对全部的 x1,1 都成立，当 a1,1 时，就 t 的取值范畴是ac t2t22或t2或t0bd t1t1221 或t21 或t022已知 f x 是定义在 1， 1上的函数，且 f 1=1,如 a, b 1,1 , a- b0 时，有f aaf b 0.b(1) 判定函数 f x 在 1， 1上是增函数，仍是减函数，并证明你的结论；（ 2）解不等式： f x+ 1 f

12、21;x123 如 f x m 2pm+1 对全部 x 1,1 , p 1,1 p 是常数 恒成立，求实数 m的取值范畴 .3、对任意 a1,1 , 函数f xx 2a4) x42a 的值总大于 0, 就 x 的取值范畴是a. x |1x3b. x | x1或x3c. x | 1x2d. x | x1或x2四二次不等式恒成立的解法(1) ax2+bx+c>0 在 r上恒成立2(2) ax +bx+c<0 在 r上恒成立a0 或a0b0c0a0b0c00a0 或02(3) ax +bx+c0 在 r上恒成立a0 或 a00b02c0(4) fx= ax+bx+c>0 在, 上恒

13、成立a0a0a0 或b或ba0或 f 002a2 af 0f 0f 0ex5:设函数 fx=x , gx=x+a.(1) 点（ fx， gx ）到直线 x+y-1=0 的距离的最小值为2 ，求实数 a 的值(2) a>0时，如不等式f xag x1在 x1,4上恒成立，求实数a 的取值范畴；f x解：（ 1）由题意得点 m到直线 xy11 20的距离 d5|xxa 21 | , 令tx, 就t0 .| t 2dta1| 2| ta|242| a1| ; 2当tx0时, d最小| a1 | 22 , 解得a1舍, a32 由f xagx1f x1ag x1得 : 0agx2axa2f xf

14、 xf x2即2 在 xx1,4上恒成立，也就是axa2 x在x1,4 上恒成立 .令 tx,就t0 且 xt 2.依题意at 22ta 20, 在t1,2上恒成立22设 t at2ta ，就要使上述条件成立，只需：(1) a 2a20(2) a 24a40解得： 0a221) ，即满意题意的a 的取值范畴是 0a221ex6:设对全部实数 x, 不等式恒成立 , 求 a 的取值范畴 .解: 由题意得化简为z6-z<0,解得z>6, 或z<0.式变形为 log 28-z>0,z<3, 综合 , 得 z<0,解，得 a的取值范畴： 0<a<1.例

15、7、关于 x 的不等式 x2xa2a0在区间1,2上恒成立，求参数a 的取值范畴；解：原不等式可以得到xaxa10 ，1当 a时, a12a , 从而不等式的解集为a1, a ,所以 a11a2 ；a2当 a1 时,2aa1 , 从而不等式的解集为a, a1 ,所以a1a1 ；a12综上所述知道 a,21,；解集包含法 ：如关于 x 的不等式f x,0 在区间m, n上恒成立， 假如能够解出练习：原不等式的解集 xu,vu m，就有；v n1. 已知函数f x x 22 x1 , 如存在实数t , 当 x 1 , m 时, f xt x 恒成立，就实数m的最大值为（） ca 2b 3c 4d

16、52. 已知 y2log 2 ax a1 x1 的定义域是一切实数 , 就实数 a 的取值范畴4a0, 352b 35 ,12c, 35 3225 ,d 35 , 35223. 已知 x,1 时，不等式 12 xaa 2 4 x0 恒成立， 就 a 的取值范畴是a. 2, 1 4b. 1 , 3 22c. , 1 4d. ,64. 已知函数f x2 x2 m3xm ，定义域为 d；（ 1）假如 x0d ，使f x0x0 ，那么称 x0 , x0 为函数f x 图象上的不动点，求当 m0 时，函数 yf x 图象上的不动点；（ 2）当 x1, 时，函数 yf x 的图象恒在直线 yx 的上方，求

17、实数 m 的取值范畴；5. 给定以下两个命题：p：函数 ylog a 12x 在定义域上单调递增；q：不等式 a2) x 22 a2 x40 的解集为 , 如 p、q有且只有一个正确，求实数a 的取值范畴6、已知二次函数f xax 2bxca , b,c 均为实数，满意ab+c=0,对于任意实数 x 都有f x x0 , 并且当x 0, 2 时 , 有 f x x1 2 .2（）求 f 1 的值；（）证明： ac1 ；16（）当 x 2，2 且 a+c 取得最小值时，函数f（x） =f （ x） mx（m为实数）是单调的，求证：m1 或 m3 .227 、 设 函 数f x xa , g x

18、2xx44a的 定 义 域 是 x>0 ， 如 函 数xf x 1 f x ag x 有最小值 m，且 m>2+ 7 , 求 a 的取值范畴 .8. 如函数 f x2mx2mx221 的定义域为 r，就 m 的取值范畴是 29. 如不等式 x值范畴-m4xy-y +4m y0 对一切非负实数 x、y 恒成立，试求实数 m的取10. 如函数f xsin2 x2a sin x1a 的定义域为 r，求实数 a 的取值范畴 .211. 已知|x-5/2|a 时，不等式 |x五利用函数的图象，数形结合-5| 4 恒成立，求正数 a 的取值范畴 .利用某些代数式的几何含义，结合图形讨论；ex7

19、.1设 函 数f xax24 x , g x4 x13， 已 知 x4,0， 时 恒 有f xg x ，求 a 的取值范畴 .讲解 :由f xg x实施移项技巧 , 得y1=x-1 2x24x43 x1a,令c :yx 24 x, l :y4 x1a, ,y3y2=log ax从而只要求直线l 不在半圆 c 下方时 ,直线 l 的 y 截距1的最小值 .当直线与半圆相切时，易求得a5a5 舍去） .o2x3故 a5时,f xgx .2 当 x1,2时，不等式 x-1 2<log ax 恒成立，求 a 的取值范畴；分析：如将不等号两边分别设成两个函数，就左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解； 解：设 y 1=x-1 2,y2=log ax,就 y 1 的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x1,2,y 1<y