2022年必修二立体几何复习+经典例题2

1、1 一、判定两线平行的方法1、 平行于同一直线的两条直线互相平行2、 垂直于同一平面的两条直线互相平行3、 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、 在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、 判定线面平行的方法1、 据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点2、 如 果 平 面 外 的 一 条 直 线 和 这 个 平 面 内 的 一 条 直 线 平 行 ， 则 这 条 直 线 和 这 个平面平行3、 两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面4、 平面外的两条平行直

2、线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面5、 平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法1、定义：没有公共点2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行3 垂直于同一直线的两个平面平行4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、 垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法1、 定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直2、 如果一条直线和一个平面内的

3、两条相交线垂直，则线面垂直3、 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面4、 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面5、 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面6、 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法1、 定义：成90角2、 直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直3、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直4、 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直5、 一条直线如果和两条平行直线中的

4、一条垂直，它也和另一条垂直七、判定面面垂直的方法1、 定义：两面成直二面角,则两面垂直2、 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面八、面面垂直的性质1、 二面角的平面角为90精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - -2 2、 在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、 相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面九

5、、各种角的范围1、异面直线所成的角的取值范围是：90090,02、直线与平面所成的角的取值范围是：90090,03、斜线与平面所成的角的取值范围是：90090,04、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：1800180,0十、三角形的心1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点3、重心：中线的交点4、垂心：高的交点【例题分析】例 2在四棱锥pabcd 中，底面abcd 是平行四边形，m，n 分别是 ab，pc 的中点，求证： mn平面 pad【分析】 要证明“线面平行” ，可通过“线线平行”或“面面平行”进行转化；题目中出现了中点的条件，因此可考虑构造

6、(添加 )中位线辅助证明证明： 方法一，取pd 中点 e，连接 ae，ne底面 abcd 是平行四边形，m，n 分别是 ab，pc 的中点，macd，.21cdmae 是 pd 的中点，necd，.21cdnemane，且 mane，aenm 是平行四边形，mn ae又 ae平面 pad， mn 平面 p ad，mn平面 pad方法二取 cd 中点 f，连接 mf ，nf精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - -

7、- - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - -3 mfad，nfpd，平面 mnf 平面 pad，mn平面 pad【评述】 关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线平行：ac，bc，a ，a a ，b b a， babababa b(2)证明线面平行：a ab b ，aaaaa(3)证明面面平行： a ，ba ，a ， a，b ，a b a 例 3在直三棱柱abca1b1c1中， aa1ac，abac，求证： a1cbc1【分析】 要证明“线线垂直” ，可通过“线面垂直”进行转化，因此设法证明a1c 垂直于经过 bc1的平面即可证明： 连接 ac1abca1

8、b1c1是直三棱柱，aa1平面 abc，abaa1又 ab ac，ab平面 a1acc1，a1cab又 aa1ac，侧面 a1acc1是正方形，a1cac1由，得a1c平面 abc1，a1cbc1【评述】 空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直”为核心展开的如本题已知条件中出现的“直三棱柱”及“abac”都要将其向“线面垂直”进行转化精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 8

9、页 - - - - - - - - -4 例 4在三棱锥pabc 中，平面 p ab平面 abc，abbc，ap pb， 求证：平面 pac平面 pbc【分析】 要证明 “面面垂直” ，可通过 “线面垂直” 进行转化， 而“线面垂直” 又可以通过“线线垂直”进行转化证明：平面 pab平面 abc，平面 pab平面 abcab，且 abbc，bc平面 pab，apbc又 ap pb，ap平面 pbc，又 ap平面 pac，平面 pac平面 pbc【评述】 关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法：(1)证明线线垂直：ac，bc，aba bab(1)证明线面垂直：a m，anab，b ，a ， l

10、m，n ，m naa ，alaaaa(1)证明面面垂直：a ，a 例 5如图，在斜三棱柱abc a1b1c1中，侧面a1abb1是菱形，且垂直于底面abc，a1ab60， e，f 分别是 ab1，bc 的中点()求证：直线ef平面 a1acc1；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - -5 ()在线段 ab 上确定一点g，使平面efg平面 abc，

11、并给出证明证明： ( )连接 a1c， a1e侧面 a1abb1是菱形，e 是 ab1的中点，e 也是 a1b 的中点，又 f 是 bc 的中点， efa1ca1c平面 a1acc1，ef平面 a1acc1，直线 ef平面 a1acc1(2)解：当31gabg时，平面efg平面 abc，证明如下：连接 eg，fg侧面 a1abb1是菱形，且a1ab60， a1ab 是等边三角形e 是 a1b 的中点，31gabg， egab平面 a1abb1平面 abc，且平面a1abb1平面 abcab，eg平面 abc又 eg平面 efg ，平面efg平面 abc例 6如图，正三棱柱abca1b1c1中，

12、 e 是 ac 的中点()求证：平面bec1平面 acc1a1； ()求证： ab1平面 bec1【分析】 本题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身的性质，适当添加辅助线帮助思考证明： ( )abca1b1c1是正三棱柱，aa1平面 abc，beaa1 abc 是正三角形，e 是 ac 的中点， beac， be平面 acc1a1，又 be平面 bec1，平面 bec1平面 acc1a1()证明：连接b1c，设 bc1b1cdbcc1b1是矩形， d 是 b1c 的中点，de ab1又 de平面 bec1，ab1平面 bec1，ab1平

13、面 bec1例 7在四棱锥pabcd 中，平面pad平面 abcd， abdc， pad 是等边三角形，已知 bd 2ad8，542dcab精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - -6 ()设 m 是 pc 上的一点，证明：平面mbd 平面 pad；()求四棱锥pabcd 的体积【分析】 本题中的数量关系较多，可考虑从“算”的角度入手分析，如从m

14、是 pc 上的动点分析知，mb，md 随点 m 的变动而运动，因此可考虑平面mbd 内“不动”的直线bd 是否垂直平面pad证明： ( )在 abd 中，由于 ad 4， bd8，54ab，所以 ad2bd2ab2故 adbd又平面 pad平面 abcd，平面 pad平面 abcdad，bd平面 abcd，所以 bd 平面 pad，又 bd平面 mbd ，故平面mbd平面 pad()解：过 p 作 poad 交 ad 于 o，由于平面 pad平面 abcd，所以 po平面 abcd因此 po 为四棱锥pabcd 的高，又 p ad 是边长为4 的等边三角形因此.32423po在底面四边形abc

15、d 中， abdc， ab2dc，所以四边形abcd 是梯形，在rtadb 中，斜边ab 边上的高为5585484，即为梯形 abcd 的高，所以四边形abcd 的面积为.2455825452s故.316322431abcdpv9.如图 4, 在边长为1 的等边三角形abc中,d e分别是,ab ac边上的点 ,adae,f是bc的中点 ,af与de交于点g,将abf沿af折起 ,得到如图5 所示的三棱锥abcf, 其中22bc. (1) 证明 :de/ 平面bcf; 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - -

16、 - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - -7 图 5dgbfcae图 4gefabcd(2) 证明 :cf平面abf; (3) 当23ad时, 求三棱锥fdeg的体积fdegv. 形abc中,adae9.【答案】(1) 在等边三角adaedbec,在折叠后的三棱锥abcf中也成立 ,/ /debc ,de平面bcf, bc平面bcf,/ /de平面bcf; (2) 在等边三角形abc中,f是bc的中点 , 所以afbc,12bfcf. 在三棱锥abcf中,22bc,222

17、bcbfcfcfbfbfcffcfabf平面; (3) 由(1) 可知/ /gecf, 结合 (2) 可得gedfg平面. 1 11 1 113133 23 2 3323324fdegedfgvvdg fg gf4. 如图，四棱锥pabcd 中， abcd 为矩形， pad 为等腰直角三角形，apd=90 ，面 pad面 abcd ，且 ab=1 ，ad=2 ，e、f 分别为 pc 和 bd 的中点（1）证明： ef面 pad；（2）证明：面pdc面 pad；（3）求四棱锥pabcd 的体积4. 如图，连接ac ，abcd 为矩形且 f 是 bd 的中点，ac 必经过 f 1 分精品学习资料

18、可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - -8 又 e 是 pc 的中点，所以， efap 2 分ef 在面 pad 外， pa 在面内， ef面 pad （2）面 pad面 abcd ，cdad ，面 pad面 abcd=ad ， cd面 pad，又 ap面 pad， ap cd 又 appd，pd 和 cd 是相交直线，ap面 pcd 又 ad面 pad，所以，面pdc面 pad （3）取 ad 中点为 o，连接 p