2022年微分方程例题选解

1、1 微分方程例题选解1.求解微分方程3ln(ln)0 ,|2xexxdyyx dxy。解：原方程化为xyxxdxdy1ln1，通解为1ln1ln1cdxexeydxxxdxxxlnln1cdxxxxln21ln12cxx由ex，23y，得1c，所求特解为11lnln2yxx。2.求解微分方程220 x yxyy。解：令uxy，uxuy，原方程化为2uuuxu，分离变量得dxxudu12，积分得cxuln1，原方程的通解为lnxyxc。3.求解微分方程dyyyxdxxyx)()(3223。解：此题为全微分方程。下面利用“凑微分”的方法求解。原方程化为03223dyyydyxdxxydxx，由dy

2、yydyxdxxydxx322342222441)(2141dydyxdxydx)2(414224yyxxd，得0)2(4224yyxxd，原方程的通解为cyyxx42242。注：此题也为齐次方程。4.求解微分方程21( )yy。解：设yp，则dxdpy，原方程化为21pdxdp，分离变量得dxpdp21，积分得1arctancxp，于是)tan(1cxpy， 积分得通解为12ln cos()yxcc。5.求解微分方程2 20yyy。解：特征方程为0222rr，特征根为ir1，通解为12(cossin)xyecxcx。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - -

3、- - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - -2 6.求解微分方程2(21)xyyxe。解：对应齐次方程的特征方程为02rr，特征根为01r，12r，齐次通解为xeccy21。可设待定特解xebaxy2)(*，代入原方程得12)(23xbaxa，比较系数得1a，1b，从而xexy2)1(*，原方程的通解为212(1)xxycc exe。7.求解微分方程4xyyxe。解：对应齐次方程的特征方程为012r，特征根为11r，12r，

4、齐次通解为xxececy21。可设待定特解xebaxxy)(*，代入原方程得xbaxa4)2(22，比较系数得1a，1b，从而xexxy)(*2，原方程的通解为212()xxxyc ec exx e。8.求解微分方程3 6 9(62)xyyyex。解：对应齐次方程的特征方程为0962rr，特征根为321rr，齐次通解为xexccy321)(。可设待定特解xebaxxy32)(*，代入原方程得2626xbax，比较系数得1a，1b，从而xexxy323)(*，原方程的通解为332312()()xxycc x exxe。9.利用“凑微分”的方法求解微分方程0)cos()sin(dyyxdxyyxy

5、。解：由dyyxdxyyxy)cos()sin(ydyxdyydxydxxydxcossinydxdyydxydxxydxsin)(sin)sin()sin(yxyddxyxy，原方程化为dxyxyyxydsin)sin(，积分得cxyxyln)sinln(，从而通解为xceyxysin。10. 选择适当的变量代换求解微分方程xyxyyxtan)1(22。解：设22yxu，则uyyxu，原方程化为xuuutan)1(，分离变量得xdxduutan)111 (，积分得cxuucosln) 1ln(，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页

6、，共 5 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - -3 原方程的通解为cxyxyxcosln)1ln(2222。11. 利用代换xuycos将方程xexyxyxycos3sin2cos化简，并求出原方程的通解。解：由xyucos，得xyxyusincos，xyxyxyucossin2cos。原方程化为xeuu4，其通解为52sin2cos21xexcxcu，原方程的通解为xexcxxcyxcos5sin2cos2cos21。12. 设二阶常系数线性微分方

7、程xcebyyay的一个特解为xxexey)1(2。 试确定常数cba,，并求该方程的通解。解：由题设特解知原方程的特征根为1 和 2，所以特征方程为0)2)(1(rr，即0232rr，于是3a，2b。将xxey1代入方程，得xxxxcexeexex2)1(3)2(，1c。原方程的通解为xxxxeececy221。13. 已知xxexey21，xxexey2，xxxeexey23是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，求此微分方程。解：由题设特解知原方程的通解为xxxxeececy221，特征根为1和 2，所以特征方程为0)2)(1(rr，即022rr，故可设此微分方程为)(2xfyyy，将

8、xxey代入方程，得xexxf)21 ()(，故所求方程为yyy2xex)21 (。14. 设)(rfu满足方程42222yuxu，其中22yxr，求)(rf。解：)(rfrxxu，)()(322222rfryrfrxxu，)()(322222rfrxrfryyu，4)(1)(2222rfrrfyuxu，4)(111cdreerfdrrdrr)2(112crr，drcrrrf)2(1)(12212lncrcr。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - -

9、- - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - -4 15. 设函数)(tf在),0上连续，且满足方程22224224)21()(tyxtdxdyyxfetf求)(tf。解：由于222422)21(tyxdxdyyxf2020)21(trdrrfdtdrrrf20)21(2所以drrrfetftt)21(2)(2042，求导得)(88)(24tfttetft，8)(8482cdteetetftdtttdt)4(242ctet，由1)0(f，得1c，因此242)14()(tettf。16. 设)(xf连续可微，1)0(f，确定)(xf，使曲

10、线积分ldyxfydxxfx)()(与路径无关，并计算)1, 1()0,0()()(dyxfydxxfxi。解：由曲线积分与路径无关，得)()(xfxxf，)()(cdxxeexfdxdxxcex)1(，由1)0(f，得2c，从而)(xfxex21，于是)1, 1()0,0()21()21 (dyexydxeixxedye22101。17. 假定物体在空气中的冷却速度是正比于该物体的温度和它周围的空气温度之差，若室温为c020时，一物体由c0100冷却到c060须经过20分钟，问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始时的c0100降低到c030。解：设在时刻t物体的温度为)(tt，则有)20(

11、tkdtdt，且100)0(t，60)20(t分离变量得kdttdt20，积分得ckttln)20ln(，即ktcet20，由100)0(t得80c，ktet8020，再由60)20(t得kte802060，202lnk，故tet202ln8020，令30)(tt，得te202ln802030，60t。共经过 60 分钟方可使此物体的温度从开始时的c0100降低到c030。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - -

12、 - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - -5 18. 设物体a从点)1,0(出发， 以速度大小为常数v沿y轴正向运动。 物体b从点)0, 1(与a同时出发，其速度大小为v2，方向始终指向a。试建立物体b的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件。解：设在时刻t，b位于点),(yx处，则xyvtdxdy)1(，两边对x求导，得dxdtvdxydx22，（1）由于dtdxdxdydtdsv212，2121dxdyvdxdt，代入（ 1）式得所求微分方程为0)(121222dxdydxydx，其初始条件为1|,0|11xxyy。19. 在xoy面的第一象限内有一曲线过点)1

13、, 1(，曲线上任一点p处的切线与x轴及线段op所围三角形的面积为常数k，求此曲线的方程。解：设),(yxp处的切线方程为)(xxdxdyyy，在x轴上的截距为dyydxxa，由题设知kydyydxx2)(，化为221ykxydydx，其通解为)2(121cdyeykexdyydyycyyk，由1x，1y， 得kc1， 所求曲线方程为ykykx)1(， 即kykxy2)1(。20. 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量为kg9000的飞机，着陆时的水平速度为hkm/700。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为6100.6k） 。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？解：由题设，飞机的质量kgm9000，着陆时的水平速度hkmv/7000。从飞机触地时开始计时，设t时刻飞机的滑行距离为)(tx，速度为)(tv。根据牛顿第二定律，得kvdtdvm，由于dtdxdxdvdtdvdxdvv，因此有dvkmdx，积分得ctvkmtx)()(，由0)0(vv，0)0(x，得0vkmc，从而)(