2022年广州市学大教育技术有限公司佛山分公司高中数学《第一章解三角形》基础知识和经典例题详解新人教A版必修

1、学大教育广州技术有限公司佛山分公司高中数学必修5第一章解三角形基础知识和经典例题详解1、正弦定理： 在c中，a、b、c分别为角、c的对边，r为c的外接圆的半径，则有2sinsinsinabcrc2、正弦定理的变形公式：2sinar，2sinbr，2sincrc；sin2ar，sin2br，sin2ccr；:sin:sin:sina b cc；sinsinsinsinsinsinabcabccc3、三角形面积公式：111sinsinsin222csbcabcac4、余弦定理：在c中，有2222cosabcbc，2222cosbacac，2222coscababc5、余弦定理的推论：222cos2

2、bcabc，222cos2acbac，222cos2abccab6、简单的判断三角形设a、b、c是c的角、c的对边，则：若222abc，则90c；若222abc，则90c；若222abc，则90c7解三角形 ：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - -个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题

3、：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角. 第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 8三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在 abc中， a+b+c= ， 所以 sin(a+b)=sinc； cos(a+b)= cosc； tan(a+b)= tanc。2sin2cos,2cos2sincbacba；（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 9. 讨

4、论三角形解的情况分析：先由sinsinbaba可进一步求出b；则0180()cab从而sinacca1当 a为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。2当 a为锐角时，如果ab，那么只有一解；如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sinaba，则有两解；（2）若sinaba，则只有一解；（3）若sinaba，则无解。（以上解答过程详见课本第910 页）评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当a为锐角且sinba ab时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。 随堂练习1 （1）在abc中，已知80a，100b，045a， 试判断此三角形的解的情况。精品学

5、习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - -（2）在abc中，若1a，12c，040c，则符合题意的b 的值有 _个。（3）在abc中，axcm，2bcm，045b，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。（答案：（1）有两解；（2）0； （3）22 2x）二、典例解析题型 1：正、余弦定理例 1 （1）在abc中，已知032.0a，081.8b，42.9acm，解三角形；解析： （1）根据三角形内角和定理，0180()cab000180(32.081.8 )066.2；根据正弦定理，0

6、0sin42.9sin81.880.1()sinsin32.0abbcma；根据正弦定理，00sin42.9sin66.274.1().sinsin32.0acccma（2）在abc中，已知20acm，28bcm，040a，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm） 。根据正弦定理，0sin28sin40sin0.8999.20baba因为00b0180，所以064b，或0116 .b当064b时，00000180() 180(4064 )76cab，00sin20sin7630().sinsin40acccma当0116b时，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - -

7、- - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - -00000180() 180(40116 ) 24ca b，00sin20sin2413().sinsin40acccma点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器例 2 （1）在abc中，已知2 3a，62c，060b，求 b 及 a；解析： （1）2222cosbacacb=22(2 3)( 62)2 2 3 ( 62)cos045=212 ( 62)4 3( 3 1)=822.b求a可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

8、解法一： cos222222(2 2)(62 )(2 3)1,222 2 2 ( 62)bcaabc060 .a解法二： sin02 3sinsin45 ,2 2aabb又622.4 1.4 3.8, 2 32 1.83.6,ac，即00a090 ,060 .a（2）在abc中，已知134.6acm，87.8bcm，161.7ccm，解三角形解析：由余弦定理的推论得：cos2222bcaabc22287.8161.7134.62 87.8 161.70.5543,精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - -

9、 - - - -056 20a；cos2222cabbca222134.6161.787.82 134.6 161.70.8398,032 53b；0000180() 180(56 2032 53)cab090 47.点评：应用正弦定理时解法二应注意确定a的取值范围。* 20xx 年高考题（2010上海文数）18.若abc的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13abc，则abc（a）一定是锐角三角形. （b）一定是直角三角形. （c）一定是钝角三角形. (d)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由sin:sin:sin5:11:13abc及正弦定理得a:b:c=5:11:1

10、3 由余弦定理得0115213115cos222c，所以角 c为钝角（2010 湖南文数） 7. 在 abc中，角a，b， c 所对的边长分别为a，b， c，若 c=120 ，c=2a，则a.ab b.a b c. a b d.a与 b 的大小关系不能确定【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法, 属中档题（ 2010 天 津 理 数 ） （ 7 ） 在 abc 中 ， 内 角a,b,c的 对 边 分 别 是a,b,c， 若精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - -

11、- -223abbc，sin2 3sincb，则 a= （a）030（b）060（c）0120（d）0150【答案】 a 【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。由由正弦定理得2 32 322cbcbrr，所以 cosa=2222+c -a322bbccbcbc=32 3322bcbcbc，所以 a=300 【温馨提示】 解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。（2010 湖北理数） 3. 在abc中， a=15,b=10,a=60 ，则cosb= a 2 23 b 2 23 c 63 d 633 【答案】 d 【解析】根据正弦定理sinsi

12、nabab可得1510sin60sinb解得3sin3b，又因为ba，则ba，故 b为锐角， 所以26cos1sin3bb，故 d正确 . （2010 山东理数）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - -（2010 广东理数） 11. 已知 a,b,c分别是 abc的三个内角a,b,c 所对的边， 若 a=1,b=3, a+c=2b,则 sinc= . 解：由a+c=2b及a+ b+ c=180知，b =60 由正弦定理知，13sinsin60a，即1sin2a由ab知，60ab，则30a

13、，180180306090cab，sinsin901c题型 2：三角形面积例 3 在abc中，sincosaa22，ac2，ab3， 求atan的值和abc的面积。解法一：先解三角方程，求出角a的值。.21)45cos(,22)45cos(2cossinaaaa又0180a, 4560 ,105.aa精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - -13tantan(4560 )2313a, .46260sin45cos60cos45sin)6045sin(105sinsinasacabaabc1

14、212232643426sin()。解法二：由sincosaa计算它的对偶关系式sincosaa的值。sincosaa2221(sincos )212sincos20180 ,sin0,cos0.1(sin2)2aaaaaaaa另解23cossin21)cos(sin2aaaa, sincosaa62+得sin a264。 得cosa264。从而sin264tan23cos426aaa。以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - -

15、- - - - - - -算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？例 4 （2009 湖南卷文） 在锐角abc中，1,2 ,bcba则cosaca的值等于，ac的取值范围为. 解析设,2 .ab由正弦定理得,12.sin 2sin2coscosacbcacac由锐角abc得0290045，又01803903060，故233045cos22，2cos(2,3).ac例 5 （2009 全国卷理）在abc中，内角a、b、 c的对边长分别为a、b、c，已知222acb，且sincos3cossin,acac求 b 分析： : 此题事实上比较简单, 但考生反应不知从

16、何入手. 对已知条件(1)222acb左侧是二次的右侧是一次的, 学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件 (2) sincos3cossin,acac过多 的关注两角和与差的正弦公式 , 甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差, 导致找不到突破口而失分. 解法： 在abc中则sincos3cossin,acac由正弦定理及余弦定理有 :2222223,22abcbcaacabbc（角化边）化简并整理得：2222()acb. 又由已知222acb24bb. 解得40(bb或舍）. 题型 3：三角形中的三角恒等变换问题精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - -

17、- - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - -例 6在abc中，a、b、c分别是a、b、c的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2c2=acbc，求a的大小及cbbsin的值。分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求a，需找a与三边的关系，故可用余弦定理。由b2=ac可变形为cb2=a，再用正弦定理可求cbbsin的值。解法一：a、b、c成等比数列，b2=ac。又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc。在abc中，由余弦定理得：cosa=bcacb2222=bcbc2=21，a=60。在abc中，由正弦定理得sinb=aabsin，b2=ac，a=60，

18、acbcbb60sinsin2=sin60 =23。解法二：在abc中，由面积公式得21bcsina=21acsinb。b2=ac，a=60，bcsina=b2s inb。cbbsin=sina=23。评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。例 7在abc中，已知a、b、c成等差数列，求2tan2tan32tan2tancaca的值。解析：因为a、b、c成等差数列，又abc 180，所以ac 120，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - -

19、从 而2ca 60 ， 故tan32ca. 由 两 角 和 的 正 切 公 式 ， 得32tan2tan12tan2tancaca。所以,2tan2tan332tan2tancaca32tan2tan32tan2tancaca。点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解，同时结合三角变换公式的逆用。题型 4：正、余弦定理判断三角形形状例 8在abc中，若 2cosbsinasinc ，则abc的形状一定是（）a.等腰直角三角形b.直角三角形c.等腰三角形d.等边三角形答案： c 解析： 2sinacosbsinc =sin （ab）=sinacosb+c

20、osasinb sin （ab） 0，ab另解：角化边点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径例 9 （2009 四川卷文）在abc中，ab、为锐角，角abc、 、所对的边分别为abc、 、，且510sin,sin510ab（ i ）求ab的值；（ii ）若21ab，求abc、 、的值。解（ i ）ab、为锐角，510sin,sin510ab精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 222 53 10cos1sin,cos1sin5

21、10aabb2 53 105102cos()coscossinsin.5105102ababab 0ab, 4ab（ii ）由（ i ）知34c， 2sin2c由sinsinsinabcabc得5102abc，即2 ,5ab cb又 21ab 221bb 1b 2,5ac题型 5：正余弦定理的实际应用例 10 （ 2009 辽宁卷文，理）如图，a,b,c,d 都在同一个与水平面垂直的平面内，b，d为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面a处测得 b点和 d点的仰角分别为075，030，于水面 c处测得 b点和 d点的仰角均为060，ac=0.1km。试探究图中b，d间距离与另外哪两点间距离相等，

22、然后求b，d的距离（计算结果精确到0.01km，21.414 ，62.449 ）解: 在abc中， dac=30 , adc=60 dac=30,精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - -所以 cd=ac=0.1 又bcd=1806060=60，故 cb是cad底边 ad的中垂线，所以bd=ba ，在abc中，,abcsincbcasinaab即 ab=,2062315sinacsin60因此， bd=。km33. 020623故 b，d的距离约为0.33km。点评：解三角形等内容提到高

23、中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低， 对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难， 只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。* 20xx 年高考题（2010 陕西文数） 17. （本小题满分12 分）在 abc中，已知b=45,d 是 bc边上的一点，ad=10,ac=14,dc=6 ，求 ab的长 . 解在 adc中， ad=10,ac=14,dc=6, 由余弦定理得cos2222addcacad dc=10036 19612 10 62, adc=120 ,adb=60 在 abd中， ad=10,b=45,adb=60 ，由正弦定理得

24、sinsinabadadbb, ab=310sin10sin 6025 6sinsin4522adadbb. （2010 辽宁文数）（17） （本小题满分12 分 ）在abc中，abc、 、分别为内角abc、 、的对边，且2 sin(2)sin(2)sinaabcbcbc（）求a的大小；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - -（）若sinsin1bc，试判断abc的形状 . 解： （）由已知，根据正弦定理得cbcbcba)2()2(22即bccba222由余弦定理得abccbacos2222故120,21cosaa（）由（）得.sinsinsinsinsin222cbcba又1sinsin