2022年广东高一数学各章知识点总结

1、学习必备欢迎下载第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义 ：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性。说明： (1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。3

2、、集合的表示 ： 如我校的篮球队员， 太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 。(1)用拉丁字母表示集合： a= 我校的篮球队员,b=1,2,3,4,5 。 (2)集合的表示方法：列举法与描述法。注意： 常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： n ；正整数集 n* 或 n+ ； 整数集 z ； 有理数集q ； 实数集 r 。关于“属于”的概念：集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 a 的元素，就说a 属于集合 a 记作 aa ，相反， a 不属于集合a 记作 aa。集合的表示方法：列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法 ：将集合中的元素的公共属性

3、 描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法 ：例： 不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式x-32 的解集是 x | x-32 且 xr 。4、集合的分类 ：(1)有限集 ：含有有限个元素的集合(2)无限集 ：含有无限个元素的集合(3)空集 ：不含任何元素的集合，例：x|x2=5二、集合间的基本关系1、 “包含”关系子集注意： 有两种可能（ 1）a 是 b 的一部分；（2）a 与 b 是同一集合。反之 : 集合 a 不包含于集合b，或集合b 不包含集合a，记作 a b 或 b a 。2、 “相等”关系 “元素相同”对于两个集合

4、a 与 b，如果集合a 的任何一个元素都是集合b 的元素，同时 ,集合 b 的任何一个元素都是集合a 的元素，我们就说集合a 等于集合 b，即： a=b 。 任何一个集合是它本身的子集。aa 真子集： 如果 ab 且 ab，那就说集合a 是集合 b 的真子集， 记作(或) 如果 ab，bc ，那么 ac 如果 ab ，同时 ba 那么 a=b 3、 不含任何元素的集合叫做空集，记为。 规定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何 非空集合的真子集。三、集合的运算1、交集的定义 ：一般地，由所有属于a 且属于 b 的元素所组成的集合，叫做a 与 b 的交集。记作ab(读作“ a 交 b”)，即 a

5、b=x |x a,且 xb 。2、并集的定义 ：一般地， 由所有属于集合a 或属于集合b 的元素所组成的集合，叫做a 与 b 的并集。记作： ab(读作“ a 并 b”)，即 ab=x |x a,或 xb 。3、交集与并集的性质：aa = a, a= , ab = ba, a a = a, a = a ,a b = b a. 4、全集与补集（1）补集 ：设 s 是一个集合， a 是 s 的一个子集，由s 中所有不属于a 的元素组成的集合，叫做s中子集 a 的补集（或余集）记作：asc， 即asc=x xs 且 xa （2）全集 ：如果集合 s 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可

6、以看作一个全集。通常用 u 来表示。（3）性质： aucuc=a auca= auca=u 。四、函数的有关概念1、函数的概念 ：设 a、b 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合a 中的任意一个数 x，在集合b 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f 为从集合a 到集合 b 的一个函精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载数。记作： y=f(x)，xa。其中， x 叫做自变量， x 的取值范围a 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数

7、值，函数值的集合f(x)| xa 叫做函数的值域。注意 ：如果只给出解析式y=f(x) ，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式。定义域定义 ：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底数必须大于零且不等于 1； (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合； (6)实际问题中的函数的定义域还要

8、保证实际问题有意义。（又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域）2、构成函数的三要素：定义域、对应法则和值域再注意： （1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例2) 值域补充(1)函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域。 (2)应熟悉掌握一次函数、二次函

9、数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3、 函数图象知识归纳(1)定义 ：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x a) 中的 x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点 p(x， y)的集合 c， 叫做函数 y=f(x)， (x a)的图象。c 上每一点的坐标(x , y) 均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x) 的每一组有序实数对x、 y 为坐标的点(x , y)，均在c 上 。即记为c= p(x,y) | y= f(x) , xa 图象 c 一般是一条光滑的连续曲线(或直线 )，也可能是由与任意平行与y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线

10、或离散点组成。(2) 画法 ：a、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y 的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点p(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来。b、图象变换法（请参考必修 4 三角函数）常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换。(3)作用 ：直观的看出函数的性质；利用数形结合的方法分析解题的思路，提高解题的速度，发现解题中的错误。4、区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间； （3）区间的数轴表示5、什么叫做映射一般地，设a、b 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合 a 中的任意一个元素

11、x，在集合 b 中都有唯一确定的元素y 与之对应， 那么就称对应 “f:a b”为从集合a 到集合b 的一个映射。记作“f:a b” ，给定一个集合a 到 b 的映射，如果aa，bb，且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素 b 的原象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合a、 b 及对应法则f 是确定的；对应法则有“方向性” ，即强调从集合a 到集合 b 的对应，它与从b 到 a 的对应关系一般是不同的；对于映射f：ab 来说，则应满足： （）集合a 中的每一个元素，在集合b 中都有象，并且象是唯一的；（）集合a 中不同的元素，在集

12、合b 中对应的象可以是同一个；（）不要求集合b中的每一个元素在集合a 中都有原象。6、常用的函数表示法及各自的优点： 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等， 注意判断一个图形是否是函数图象的依据； 解析法： 必须注明函数的定义域； 图象法：描点法作图要注意： 确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征。注意 ：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值。补充一 ：分段函数（参见课本p24-25）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相

13、应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载取值情况。（ 1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。补充二 ：复合函数如果 y=f(u),(u m),u=g(x),(x a), 则 y=fg(x)=f(x) ，(xa) 称为 f、g 的复合函数。例如 : y=2sinx y=2

14、cos(x2+1) 7、函数单调性（1）增函数设函数y=f(x) 的定义域为i，如果对于定义域i 内的某个区间d 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间 d 上是增函数。区间d 称为 y=f(x) 的单调增区间 （清楚课本单调区间的概念）。 如果对于区间d 上的任意两个自变量的值x1， x2， 当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说f(x) 在这个区间上是减函数。区间d 称为 y=f(x) 的单调减区间。注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间d 内的任意两个自变量x1，x2；当 x

15、1x2时，总有f(x1)f(x2) 或 f(x1)f(x2)。（2） 图象的特点如果函数y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x) 在这一区间上具有 (严格的 )单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。（3）函数单调区间与单调性的判定方法(a) 定义法： 任取 x1，x2d，且 x11，且 *当 是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数此时，的 次方根用符号表示式子 叫做根式 （radical） ，这里 叫做根指数 （radical exponent） ，叫做被开方数 （radicand） 当 是偶数时，正数的次方根

16、有两个，这两个数互为相反数此时，正数的正的 次方根用符号表示，负的 次方根用符号表示正的次方根与负的次方根可以合并成（ 0） 由此可得：负数没有偶次方根； 0 的任何次方根都是0，记作 。注意： 当 是奇数时，当 是偶数时，2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂3实数指数幂的运算性质（1） ?；（2）；（3）（二） 指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数（exponential functio

17、n ） ，其中x 是自变量，函数的定义域为r 注意 ：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a1 0a1 0a1 图象特征函数性质函数图象都在y 轴右侧函数的定义域为（0，）图象关于原点和y 轴不对称非奇非偶函数向 y 轴正负方向无限延伸函数的值域为r 函数图象都过定点（1，0）自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于 0 第一象限的图象纵坐标都大于0 第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于 0 （三） 幂函数1、幂函数定义 ：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的

18、幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1） ；（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸；（3） 时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于 时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴第三章 函数的应用一、 方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使 成立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与 轴交点的横坐标。即：方程 有实数根函数 的图象与轴有交点函数 有零点3、函数零点的求法：求函数 的零点：1 （代

19、数法）求方程的实数根；2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数），方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点），方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点），方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点高中高一数学必修4 各章知识点总结基本三角函数2精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载2、2、2、2、终边落在

20、x 轴上的角的集合：z,终边落在y轴上的角的集合：z,2终边落在坐标轴上的角的集合：z,222121rrlsrl弧度度弧度弧度弧度度180180118012360.倒数关系：111cottanseccoscscsin正六边形对角线上对应的三角函数之积为1 平方关系：222222111tancsccotcossinsec乘积关系：cossintan， 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积同角三角函数关系六角形记忆法六角形记忆法： （参看图片或参考资料链接）构造以 上弦、中切、下割；左正、右余、中间1的正六边形为模型。（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；（2）商数关系：六边形任意一顶点上

21、的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。诱导公式终边相同的角的三角函数值相等zk,tan2tanzk,2zk,2kcoskcossinksin轴对称关于与角角xtantancoscossinsin基本三角函数符号记忆： “一全，二正弦，三切，四余弦”三个倒立三角形上底边对应三角函数的平方何等与对边对应的三角函数的平方精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共

22、14 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载轴对称关于与角角ytantancoscossinsin关于原点对称与角角tantancoscossinsin对称关于与角角xy2cot2tan22sincoscossincot2tan22sincoscossin上述的诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”周期问题2t,0b,0,0a,b2t,0b,0,0a,bt,0,0a,t,0,0a,2t,0,0a,2t,0,0a,xacosyxasinyxacosyxasinyxacosyxasinyt,0,0a,cott,0,0a,tant,0,0a,cott,0,0a,tanxayxa

23、yxayxay规律总结上面这些诱导公式可以概括为：对于 k/2 (kz)的个三角函数值，当 k 是偶数时，得到的同名函数值，即函数名不改变；当 k 是奇数时，得到相应的余函数值，即sin cos;cos sin;tan cot,cot tan. （奇变偶不变）然后在前面加上把看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）例如：sin(2 ) sin(4 /2) ，k4 为偶数，所以取sin 。当 是锐角时， 2 (270 ，360 )，sin(2 ) 0，符号为 “ ” 。所以 sin(2 ) sin 记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把视为锐角时，角k360+（kz） ，- 、1

24、80，360 - 所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“ 一全正；二正弦；三为切；四余弦” 这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“ ” ；第二象限内只有正弦是“ ” ，其余全部是“ ” ；第三象限内切函数是“ ” ，弦函数是 “ ” ；第四象限内只有余弦是“ ” ，其余全部是“ ” 三角函数的性质性质xsinyxcosy定义域

25、r r 值域1 ,11 ,1周期性22奇偶性奇函数偶函数单调性减函数增函数,232,22,22,22zkkkzkkk减函数增函数,2,2,2,2zkkkzkkk对称中心zkk,0,zkk,0,2对称轴zkkx,2zkkx,图像54321-1-2-3-4-5-6y-8-6-4-22468xo /2 2 - -2 3 /2- /2-3 /254321-1-2-3-4-5y-8-6-4-22468xo /23 /2- /2-3 /2 - -2 2 性质xytanxycot定义域zxx,2zxx,值域r r 周期性奇偶性奇函数奇函数精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - -

26、 - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载线段定比分点坐标公式121xxx121yyy线段定比分点向量公式. 线段中点坐标公式线段中点向量公式.221opopop单调性增函数,2,2zkkk增函数,zkkk对称中心zkk,0,zkk,0,2对称轴无无图像-15-10-551015x108642-2-4-6-8-10yo /23 /2- /2-3 /2 - kxasinysinxy变化为怎样由？振幅变化：sinxyasinxy左右伸缩变化：xasiny左右平移变化)( xasiny上下平移变化kxasiny)(平面向量共线定理：一般地，对于两个

27、向量如果有,0,baa是共线向量与是共线向量；反之如果与则使得一个实数ababaab,0,.,ab使得那么又且只有一个实数线段的定比分点点p分有向线段21pp所成的比的定义式21pppp. 121opopop当1时当1时221yyy221xxxx y 0 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载向量的一个定理的类似推广向量共线定理：0aab推广平面向量基本定理：不共线的向量为该平面内的两个其中212211,eeeea推广空间向量基本定理：不共面的向量为该空间内的三个其中3

28、21332211,eeeeeea一般地，设向量aayxbyxa如果且, 0,221101221yxyxb那么反过来，如果ayxyx则,01221b.一般地，对于两个非零向量ba,有cosbaba， 其中为两向量的夹角。222221212121yxyxyyxxbabacos特别的，22aaaaaaa或者0,0,212121212211yyxxbayyxxbaayxbyxa特别的则且如果0o,2121nnoaoaaoaaan则的中心为边形若正三角形中的三角问题2-22,22,cbacbacba22cos2cos2ccoscoscsinbacbasinbacsinbasin正弦定理：sincsinb

29、sinacbarsinccsinbbsinaa2余弦定理：22,2222222222abcoscbacaccosbcabbccosacba变形：abcbacoscacbcacosbbcacbcosa22,2222222222精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载cbacbatantantantantantan三角公式以及恒等变换两角的和与差公式：)()(s,s,sincoscossinsinsincoscossinsin)()()()(t,tantan1tantant

30、ant,tantan1tantantanc,c,sinsincoscoscossinsincoscoscos变形：为三角形的三个内角其中,tantantantantantantantan1tantantantantan1tantantan二倍角公式：22222tan1tan22tan2112222sincossincoscoscossinsin半角公式：212212coscoscossinsincoscossincoscos11112tan降幂扩角公式：221,22122cossincoscos积化和差公式：coscossinsincoscoscoscossinsinsincossinsinc

31、ossin21212121和差化积公式：222222222222sinsincoscoscoscoscoscossincossinsincossinsinsin（sscccccccsssscss2222）和差化积公式推导首先 ,我们知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb 所以 ,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 同理 ,若把两式相减 ,就得到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 同样

32、的 ,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以 ,把两式相加 ,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb 所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 同理 ,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 这样 ,我们就得到了积化和差的四个公式: 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下

33、载sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2 cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2 好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式. 我们把上述四个公式中的a+b 设为 x,a-b 设为 y,那么 a=(x+y)/2,b=(x-y)/2 把 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2) sinx-siny=2cos

34、(x+y)/2)*sin(x-y)/2) cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2) cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)万能公式 : 2tan12tan12tan12tan2222cossin ( cts ) 2tan12tan2tan2附推导：sin2 =2sin cos=2sin cos/(cos2( )+sin2( ).*，（因为cos2( )+sin2()=1） 再把 *分式上下同除cos2( )，可得 sin2 tan2/(1 tan2( ) 然后用 /2代替 即可。同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦

35、得到三倍角公式：coscoscossinsinsin3434333323tan31tantan33tan“三四立，四立三，中间横个小扁担”三倍角公式推导tan3 sin3/cos3 (sin2 coscos2sin )/(cos2 cos-sin2 sin ) (2sin cos2( )cos2( )sin sin3( )/(cos3() cossin2( )2sin2( )cos ) 上下同除以cos3( ) ，得：tan3 (3tan tan3( )/(1 -3tan2( ) sin3 sin(2 ) sin2 coscos2sin 2sin cos2( )(12sin2( )sin 2s

36、in 2sin3( )sin 2sin2( ) 3sin 4sin3( ) cos3 cos(2 ) cos2cos sin2 sin (2cos2( ) 1)cos 2cossin2( ) 2cos3( ) cos (2cos 2cos3( ) 4cos3( ) 3cos 即 sin3 3sin 4sin3( ) cos3 4cos3( )3cos 三倍角公式联想记忆记忆方法：谐音、联想精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载正弦三倍角： 3 元 减 4 元 3 角（欠债了 (被减成负数 )，所以要 “ 挣钱 ”(音似 “ 正弦 ”)）余弦三倍角： 4 元 3 角 减 3 元（减完之后还有“ 余 ” ）注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。.,.,1.,.,:tan,tan,y.4tan,tan,y.3tan,tan,.2tan,.12222222222222222比较容易理解和掌握与差的与弦来靠