初中数学最值系列之瓜豆原理

1、初中数学最值系列之瓜豆原理最值系列之瓜豆原理在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点p，但最终问题问的可以是另一点q，当然p、q之间存在某种联系，从p点出发探讨q点运动轨迹并求出最值，为常规思路一、轨迹之圆篇引例1：如图，p是圆o上一个动点，a为定点，连接ap，q为ap中点考虑：当点p在圆o上运动时，q点轨迹是【分析】观察动图可知点q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆o有什么关系考虑到q点始终为ap中点，连接ao，取ao中点m，则m点即为q点轨迹圆圆心，半径mq是op

2、一半，任意时刻，均有amqaop，qm:po=aq:ap=1:2【小结】确定q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由a、q、p始终共线可得：a、m、o三点共线，由q为ap中点可得：am=1/2aoq点轨迹相当于是p点轨迹成比例缩放根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系引例2：如图，p是圆o上一个动点，a为定点，连接ap，作aqap且aq=ap考虑：当点p在圆o上运动时，q点轨迹是 【分析】q点轨迹是个圆，可理解为将ap绕点a逆时针旋转90°得aq，故q点轨迹与p点轨迹都是圆接下来确定圆心与半径考虑apaq，可得q点轨迹圆圆心m满足ama

3、o；考虑ap=aq，可得q点轨迹圆圆心m满足am=ao，且可得半径mq=po即可确定圆m位置，任意时刻均有apoaqm引例3：如图，apq是直角三角形，paq=90°且ap=2aq，当p在圆o运动时，q点轨迹是【分析】考虑apaq，可得q点轨迹圆圆心m满足amao；考虑ap:aq=2:1，可得q点轨迹圆圆心m满足ao:am=2:1即可确定圆m位置，任意时刻均有apoaqm，且相似比为2【模型总结】为了便于区分动点p、q，可称点p为“主动点”，点q为“从动点”此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（paq是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（ap:a

4、q是定值）【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：paq=oam；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：ap:aq=ao:am，也等于两圆半径之比按以上两点即可确定从动点轨迹圆，q与p的关系相当于旋转+伸缩古人云：种瓜得瓜，种豆得豆“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”【思考1】：如图，p是圆o上一个动点，a为定点，连接ap，以ap为一边作等边apq考虑：当点p在圆o上运动时，q点轨迹是【分析】q点满足（1）paq=60°；（2）ap=aq，故q点轨迹是个圆：考虑paq=60°，可得q点轨迹圆圆心m满足mao=60&#

5、176;；考虑ap=aq，可得q点轨迹圆圆心m满足am=ao，且可得半径mq=po即可确定圆m位置，任意时刻均有apoaqm【小结】可以理解aq由ap旋转得来，故圆m亦由圆o旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于ap与aq的位置和数量关系【思考2】如图，p是圆o上一个动点，a为定点，连接ap，以ap为斜边作等腰直角apq考虑：当点p在圆o上运动时，如何作出q点轨迹【分析】q点满足（1）paq=45°；（2）ap:aq=：1，故q点轨迹是个圆连接ao，构造oam=45°且ao:am=：1m点即为q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有aopamq即可确定点q的轨迹圆【练习】如图，点p（3

6、,4），圆p半径为2，a（,0），b（,0），点m是圆p上的动点，点c是mb的中点，则ac的最小值是_【分析】m点为主动点，c点为从动点，b点为定点考虑c是bm中点，可知c点轨迹：取bp中点o，以o为圆心，oc为半径作圆，即为点c轨迹当a、c、o三点共线且点c在线段oa上时，ac取到最小值，根据b、p坐标求o，利用两点间距离公式求得oa，再减去oc即可【2016武汉中考】如图，在等腰rtabc中，ac=bc=，点p在以斜边ab为直径的半圆上，m为pc的中点，当半圆从点a运动至点b时，点m运动的路径长为_【分析】考虑c、m、p共线及m是cp中点，可确定m点轨迹：取ab中点o，连接co取co中点d

7、，以d为圆心，dm为半径作圆d分别交ac、bc于e、f两点，则弧ef即为m点轨迹当然，若能理解m点与p点轨迹关系，可直接得到m点的轨迹长为p点轨迹长一半，即可解决问题【2018南通中考】如图，正方形abcd中，o是bc边的中点，点e是正方形内一动点，oe=2，连接de，将线段de绕点d逆时针旋转90°得df，连接ae、cf求线段of长的最小值【分析】e是主动点，f是从动点，d是定点，e点满足eo=2，故e点轨迹是以o为圆心，2为半径的圆考虑dedf且de=df，故作dmdo且dm=do，f点轨迹是以点m为圆心，2为半径的圆直接连接om，与圆m交点即为f点，此时of最小可构造三垂直全等

8、求线段长，再利用勾股定理求得om，减去mf即可得到of的最小值【练习】abc中，ab=4，ac=2，以bc为边在abc外作正方形bcde，bd、ce交于点o，则线段ao的最大值为_【分析】考虑到ab、ac均为定值，可以固定其中一个，比如固定ab，将ac看成动线段，由此引发正方形bced的变化，求得线段ao的最大值根据ac=2，可得c点轨迹是以点a为圆心，2为半径的圆接下来题目求ao的最大值，所以确定o点轨迹即可，观察boc是等腰直角三角形，锐角顶点c的轨迹是以点a为圆心，2为半径的圆，所以o点轨迹也是圆，以ab为斜边构造等腰直角三角形，直角顶点m即为点o轨迹圆圆心连接am并延长与圆m交点即为所

9、求的点o，此时ao最大，根据ab先求am，再根据bc与bo的比值可得圆m的半径与圆a半径的比值，得到mo，相加即得ao此题方法也不止这一种，比如可以如下构造旋转，当a、c、a共线时，可得ao最大值或者直接利用托勒密定理可得最大值二、轨迹之线段篇引例：如图，p是直线bc上一动点，连接ap，取ap中点q，当点p在bc上运动时，q点轨迹是【分析】当p点轨迹是直线时，q点轨迹也是一条直线可以这样理解：分别过a、q向bc作垂线，垂足分别为m、n，在运动过程中，因为ap=2aq，所以qn始终为am的一半，即q点到bc的距离是定值，故q点轨迹是一条直线【引例】如图，apq是等腰直角三角形，paq=90

10、76;且ap=aq，当点p在直线bc上运动时，求q点轨迹【分析】当ap与aq夹角固定且ap:aq为定值的话，p、q轨迹是同一种图形当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的q点的位置，连线即可，比如q点的起始位置和终点位置，连接即得q点轨迹线段【模型总结】必要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（paq是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（ap:aq是定值）结论：p、q两点轨迹所在直线的夹角等于paq（当paq90°时，paq等于mn与bc夹角）p、q两点轨迹长度之比等于ap:aq（由abcamn，可得ap:aq=bc:mn）【2017姑苏区二模】如图，在等边abc中

11、，ab=10，bd=4，be=2，点p从点e出发沿ea方向运动，连结pd，以pd为边，在pd的右侧按如图所示的方式作等边dpf，当点p从点e运动到点a时，点f运动的路径长是_【分析】根据dpf是等边三角形，所以可知f点运动路径长与p点相同，p从e点运动到a点路径长为8，故此题答案为8【2013湖州中考】如图，已知点a是第一象限内横坐标为的一个定点，acx轴于点m，交直线y=-x于点n，若点p是线段on上的一个动点，apb=30°，bapa，则点p在线段on上运动时，a点不变，b点随之运动求当点p从点o运动到点n时，点b运动的路径长是_【分析】根据pab=90°，apb=30

12、°可得：ap:ab=，故b点轨迹也是线段，且p点轨迹路径长与b点轨迹路径长之比也为，p点轨迹长on为，故b点轨迹长为【练习】如图，在平面直角坐标系中，a（-3,0），点b是y轴正半轴上一动点，点c、d在x正半轴上，以ab为边在ab的下方作等边abp，点b在y轴上运动时，求op的最小值【分析】求op最小值需先作出p点轨迹，根据abp是等边三角形且b点在直线上运动，故可知p点轨迹也是直线取两特殊时刻：（1）当点b与点o重合时，作出p点位置p1；（2）当点b在x轴上方且ab与x轴夹角为60°时，作出p点位置p2连接p1p2，即为p点轨迹根据abp=60°可知：与y轴夹角

13、为60°，作op，所得op长度即为最小值，op2=oa=3，所以op=【2019宿迁中考】如图，正方形abcd的边长为4，e为bc上一点，且be=1，f为ab边上的一个动点，连接ef，以ef为边向右侧作等边efg，连接cg，则cg的最小值为【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求cg最小值，可以将f点看成是由点b向点a运动，由此作出g点轨迹：考虑到f点轨迹是线段，故g点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻g点在位置，最终g点在位置（不一定在cd边），即为g点运动轨迹cg最小值即当cg的时候取到，作ch于点h，ch即为所求的最小值根据模型可知：与a

14、b夹角为60°，故过点e作efch于点f，则hf=1，cf=，所以ch=，因此cg的最小值为三、轨迹之其他图形篇所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是【2016乐山中考】如图，在反比例函数的图像上有一个动点a，连接ao并延长交图像的另一支于点b，在第一象限内有一点c，满足ac=bc，当点a运动时，点c始终在函数的图像上运动，若tancab=2，则k的值为（ ）a2b4c6d8【分析】aoc=90°且ao:oc=1:2，显然点

15、c的轨迹也是一条双曲线，分别作am、cn垂直x轴，垂足分别为m、n，连接oc，易证amoonc，cn=2om，on=2am，on·cn=4am·om，故k=4×2=8【思考】若将条件“tancab=2”改为“abc是等边三角形”，k会是多少【练习】如图，a（-1,1），b（-1,4），c（-5,4），点p是abc边上一动点，连接op，以op为斜边在op的右上方作等腰直角opq，当点p在abc边上运动一周时，点q的轨迹形成的封闭图形面积为_【分析】根据opq是等腰直角三角形可得：q点运动轨迹与p点轨迹形状相同，根据op:oq=，可得p点轨迹图形与q点轨迹图形相似比为，故面积比为2:1，abc面积为1/2×3×4=6，故q点轨迹形成的