2022年常微分方程习题

1、常微分方程期中测试试卷 11班级姓名学号得分 1微分方程 dy ndxdyy2x 2dx0 的阶数是 2如 mx, y 和n x, y在矩形区域r 内是 x,y 的连续函数 ,且有连续的一阶偏导数,就方程m x,y dxn x, ydy0有 只 与 y有 关 的 积 分 因 子 的 充 要 条 件 是3 称为齐次方程 .dy4 假如f x,y ,就dxf x, y 存在唯独的解 y x,定义于区间 xx0h 上,连续且满意初始条件y0 x0 ,其中h .5 对 于 任 意 的 x, y1 , x, y2 r r 为 某 一 矩 形 区 域 , 如 存 在 常 数n n0 使 , 就称f x,y

2、 在 r 上关于 y 满意利普希兹条件 .dy6 方程dxx 2y 2定义在矩形区域r :2x2, 2y2 上 ,就经过点0,0 的解的存在区间是 7 如 xi t i1,2,.n是齐次线性方程的n 个解 , wt为其伏朗斯基行列式,就wt 满意一阶线性方程 8 如 xi t i1,2,.n为齐次线性方程的一个基本解组, xt 为非齐次线性方程的一个特解,就非齐次线性方程的全部解可表为 9 如 x为毕卡靠近序列n x的极限，就有 xn x 10 称 为 黎 卡 提 方 程 ， 如 它 有 一 个 特 解y x，就经过变换 ，可化为伯努利方程二 求以下方程的解dyy3dxxydy2求方程x dx

3、dyy 经过 0,0 的第三次近似解2争论方程y dx， y11 的解的存在区间4 求方程 dy 2dxy 210 的奇解5 cos x1 dx 1yyx dy0 y 26 y 'y22 y sin xcos xsin 2 x72xy 23 y3 dx73xy 2 dy0三 证明题1 试证 :如已知黎卡提方程的一个特解,就可用初等积分法求它的通解dy2 试用一阶微分方程解的存在唯独性定理证明:一阶线性方程dxp x yqx , 当p x ,qx 在,上连续时 ,其解存在唯独参考答案一 填空题112mn 1yxmdyy y3 形如dxg 的方程x4 在 r 上连续且关于 y 满意利普希兹

4、条件b hmin a,m5f x, y16 1x4f x, y2 14n y1y27 w'a1 t w0n8 xci xixi 1ml n9hn 1n10形如1.dy dxp x y 2q x yr x 的方程yzy二 求以下方程的解3dxxy1 解：dyyxy 2，就y1dyxe yy2e1dyydyc所以x3ycy2另外y0也是方程的解2 解：0 x0x1 xx0x2 xx0xxx0 x dx221 x dx2 x dx1 x221 x 221 x21 x5201 x51x111x8302dy3 解：2dxy2204400160两边积分1xc y1所以方程的通解为yxc1故过 y1

5、1 的解为yx2通过点1,1 的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到，所以解的存在区间为,24解: 利用 p 判别曲线得p 2y 2102 p0消去 p 得 y21 即y1所以方程的通解为ysin xc, 所以y1 是方程的奇解5 解:u xm=ycos xy 2 ,1yn =y 2,m =nxyxx, 所以方程是恰当方程.v1xyyy 2得 usin xy yuxy 2y' y所以 yln y故原方程的解为xsin xln ycy6 解:y 'y22 y sin xcos xsin 2 x故方程为黎卡提方程.它的一个特解为ysin x,令 yzsin x1dz,就方程可化为dx

6、1z2 ,z1 xc即 ysin x,故 yxcsin xxc7 解:两边同除以y 2 得2xdxdx 23 ydxd 3xy72 dyyd 70 y3xdy0所以x 23 xy7 yc ,另外y0也是方程的解三证明题1 证明 : 设黎卡提方程的一个特解为yy令yzy,dy dxdzd ydy又dxdxdxp x y 2qx yr xdzp x z dxy 2q x zyr xd ydx由假设d ypx y2dxq x yr x得 dz dxpxz22 px yq x z此方程是一个 n2 的伯努利方程 ,可用初等积分法求解2证明 : 令 r :x,yrp x ,qx 在,上连续 , 就f x, ypx yq x明显在 r 上连续,由于 p x为,上的连续函数,故 px 在,上也连续且存在最大植