变系数二阶线性微分方程求解探究

1、变系数二阶线性微分方程求解探究摘 要 变系数二阶线性微分方程是大学数学学习 的重要内容，本文对变系数二阶线性微分方程的解法进行探 究，得到了几种求解方法。笔者通过求解该类方程的过程， 以进一步指导大学数学教育的进步。关键词 变系数二阶线性微分方程 解法 常数变易 法中图分类号：0175.1文献标识码：a变系数二阶线性微分方程的解法是大学数学学习的重 要内容，既是重点，也是难点，掌握此类方程的解法是学习 者应有的能力。笔者根据自己的知识水平，首先对变系数二 阶线性微分方程的构造和概念进行详细阐述，随后列举一个 变系数二阶线性微分方程的例子进行关于降阶法的详细解 法指导。1变系数二阶线性微分方程的

2、应用随着信息技术的快速发展，数学知识越来越多地被应用 到这些信息技术领域。无论在电力网络，交通运输业，电子 技术，工程造价，化学，自动运输网，生物学，建筑工程， 数字通讯网中，还是简单的日常生活，利用数学知识解决现 实生活问题的现象已经越来越广泛。从古至今，人们对解答微分方程的问题已经深有研究, 针对变系数二阶线性微分方程也有一定的解决方法。但是， 由于是二阶的微分方程，计算量很大，幕的次数较高，所以 解决的时候会比较麻烦。而降阶法的运用在解决变系数二阶 线性微分方程中还是较为方便快捷的。用降阶法解决这类问 题，最关键的是要把二阶线性微分方程如何转化为一阶线性 微分方程，当然之前也要了解这个方

3、程能否可以进行降阶转 化。此外，数学的其他分支与变系数二阶线性微分方程也是 有密切关系的，二者可以互相促进，共同发展。众所周知， 在数学学习过程中，几何学的解决很多就要用到变系数二阶 线性微分方程的知识，所以说，变系数二阶线性微分方程的 进步发展与完善，对于几何学来说也是至关重要的；在另一 个角度说，也就是，变系数二阶线性微分方程的发展可以有 力地促进数学领域其他分支的进步。2 一种求解变系数二阶线性微分方程的方法利用变量替换法可以使方程降价进行求解，利用这种方 法解决变系数二阶线性微分方程也是可以的。例如下面这个 方程：+ () + ()= 0a设其中的非零特解1是已知的，并让1作替换变量，

4、 令 1 二 1b其中，为未知的函数，求导为求二阶导数可得：=1 + 2 +带入式可得：1 + (2 + ()1) + ( + ( ) + ()1)= 0c易知，这是一个关于的二阶线性齐次方程，每一项系数 都为x的已知函数，因为是式的解，所以其中的+ () + ()1 = 0所以，式可以转化为1 + (2 + () 1) =0替换变量，使得=,由此可得：1 + (2 + () 1) = 0下一步，分离变量，可得：二-+ ()两边积分，得到通解：其中，为任意一个常数。再一次进行积分运算得：二 +带回原来的变量得到式的通解：=+ 这个公式是二阶线性齐次方程式中的一种公式，对于这类方程，解答的过程中

5、采用降价法，已知一个非零特解，通 过两次转变之后，就可以把二阶线性微分方程转化成一阶形 式，这样就可以求得通解。当然，对于非齐次微方程，运用 这种方法解决也是可以的，知道了一个特解就可以做出方程 转化，进行降价，这种转变并不影响方程的结构。其实，所有的系数微方程都是可以解决的，但是，对于 变系数二阶线性微分方程来说，由于计算量比较大，除了近 似的解法之外，还没有发现更为普遍的解决方法。所以说， 发现一种较为简便的方法是十分必要的。综上所述，常系数微方程在数学研究领域占有十分重要 的地位，变系数二阶线性微分方程在自然科学、物理学等科 学技术领域的应用也是非常广泛的。运用降阶法解决这类问 题是比较有效的，加大对变系数二阶线性微分方程的研究力 度，寻求更为便捷的解决方式，不仅对于数学研究和其他数 学分支的进一步发展有重要意义，而且可以对其他相关领域 的研究进步做出更大的贡献。可以说，二阶变系数线性微方 程已经取得了很大的成就，但是，这些并不能满足相关研究 领域的需要，还需要我们继续付出更大的努力，寻求更好的 解决方法，促进这一学科的完善，使得我国这方面的成就跻 身于世界数学研究的巅峰之上。参考文献 武汉