第二章标量衍射理论-20150430

1、2021-11-241第二章第二章 标量衍射理论标量衍射理论衍射衍射 的中心问题是衍射的的中心问题是衍射的光强分布光强分布。要精确解决这个问题，必须把光波场考虑成矢量场。要精确解决这个问题，必须把光波场考虑成矢量场。由于用矢量波的方法求解衍射问题，其数学运算相当复杂，由于用矢量波的方法求解衍射问题，其数学运算相当复杂，至今用这种方法能严格求解的例子不多。至今用这种方法能严格求解的例子不多。 光在传播过程中光在传播过程中, ,除反射、折射外，偏离直线传播的现象，除反射、折射外，偏离直线传播的现象，称为光的称为光的衍射衍射。从光广义上说，。从光广义上说，偏离几何光学直线传播规律偏离几何光学直线传播

2、规律的现象统称为衍射的现象统称为衍射，它是光的波动性的主要标志之一。，它是光的波动性的主要标志之一。实践证明：用这种近似的处理方法在我们所涉及的光学系统实践证明：用这种近似的处理方法在我们所涉及的光学系统中：中：当衍射当衍射 孔径比照明波长大得多；孔径比照明波长大得多；而且观察点离衍射孔径不太近时；而且观察点离衍射孔径不太近时；所得结果是很精确的所得结果是很精确的。 标量衍射理论标量衍射理论是把光波场当作标量场来处理是把光波场当作标量场来处理只考虑只考虑电场的一个横向分量的标量振幅电场的一个横向分量的标量振幅假定假定任何别的分量都可以用同样的方法任何别的分量都可以用同样的方法独立独立处理处理忽

3、略忽略电矢量和磁矢量各个分量按麦克斯韦方程组的耦合关系电矢量和磁矢量各个分量按麦克斯韦方程组的耦合关系2.3 2.3 基尔霍夫衍射理论基尔霍夫衍射理论2.3.1 2.3.1 惠更斯惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳原理 惠更斯惠更斯-菲涅耳原理是在菲涅耳原理是在的假设与的假设与原原理的基础上提出的，理的基础上提出的，它是描述光传播过程的基本原理它是描述光传播过程的基本原理。 该原理指出：光场中任一给定的该原理指出：光场中任一给定的隔开隔开波源与场点的曲面上波源与场点的曲面上的的各面元各面元可以看做是可以看做是子波源子波源，如果这些子波是相干的，则在波，如果这些子波是相干的，则在波传播的空间上的任一点处的

4、光振动，都可以看做是这些子波源传播的空间上的任一点处的光振动，都可以看做是这些子波源各自发出的子波在该点相干叠加的结果。各自发出的子波在该点相干叠加的结果。dsdsP P Q P P0 0rn2021-11-244其复振幅的数学表达式为其复振幅的数学表达式为0()()( )jkreU QCUP KdSrdsdsP P Q P P0 0rn)(0PU波面上任一点的复振幅波面上任一点的复振幅 隔开波源与场点的曲面隔开波源与场点的曲面)( K 倾斜因子倾斜因子rejkr子波源发出的球面波子波源发出的球面波C比例系数比例系数由电磁场理论可知，单色场中任一点由电磁场理论可知，单色场中任一点Q的光振动应满

5、足标量波的光振动应满足标量波动方程动方程222210uuct001c 22kcc0)()(22 QUkQU上式方程是一个二阶线性偏微分方程，称为上式方程是一个二阶线性偏微分方程，称为亥姆霍兹亥姆霍兹(Helmhotz) (Helmhotz) 方程，是方程，是无源场中单色扰动无源场中单色扰动复振幅应满足的方程。复振幅应满足的方程。2222222xyz其中；拉普拉斯算子：其中；拉普拉斯算子：其中，波数其中，波数(, )() e x p (2)u QtUQjt 得到不含时得到不含时间的方程间的方程2021-11-246平面衍射屏基尔霍夫衍射公式平面衍射屏基尔霍夫衍射公式如图，在无限大不透明屏如图，在

6、无限大不透明屏D D上有一任意形状开孔上有一任意形状开孔 单色平面光波单色平面光波P P0 0从左面投射到从左面投射到D D上和上和开孔上，试计算衍射屏后面任一点开孔上，试计算衍射屏后面任一点QQ的光场的复振幅。的光场的复振幅。假设条件：假设条件：在孔的线度比波长大得多在孔的线度比波长大得多且观察点离孔径较远且观察点离孔径较远00001cos(,)cos(,)2jkrjkra en rn reUQdSjrr nQr0r0PP 001cos(,)cos(,)()2jkrn rn reUQUPdSjr 该式与惠更斯该式与惠更斯- -菲涅尔原理的表达式形式一致。菲涅尔原理的表达式形式一致。00001

7、cos(,)cos(,)2jkrjkra en rn reUQdSjrr 孔径平面上的复振幅分布是球面波产生的，因此可用，孔径平面上的复振幅分布是球面波产生的，因此可用，0000jkra eUPr表示，上式可写为：表示，上式可写为：0()()( )jkreU QCUP KdSr0()()()jkreUQCUP KdSr采用书上的符号，采用书上的符号，基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式和惠更斯和惠更斯- -菲涅耳原理的菲涅耳原理的数学式可重写于下数学式可重写于下比较两式可得常数和倾斜因子分别为比较两式可得常数和倾斜因子分别为 jC1 由于屏外的光场由于屏外的光场U U0 0（P P）为零，所以积分

8、限可以扩展到无穷，）为零，所以积分限可以扩展到无穷，从而有从而有SrekPCUQUjkrd)()()(0 0cos( , )cos( , )2n rn rK 001cos(,)cos(,)()2jkrn rn reUQUPdSjr 2021-11-24102.3.2 2.3.2 惠更斯惠更斯-菲涅耳原理与叠加积分菲涅耳原理与叠加积分01()()()djkreUQUP KSjr 1(,)( )jkreh P QKjr设设SQPhPUd),()(0 )(QdUdSQPhPUQdU),()()(0 上式表示屏上上式表示屏上P P点处的小面元对观察点点处的小面元对观察点QQ的贡献。的贡献。1)(0 d

9、SPU单位振幅（脉冲）单位振幅（脉冲）则则),()(QPhQdU P P点处的点处的在在QQ点产生的复振幅分布点产生的复振幅分布),(QPh单位脉冲响应或单位脉冲响应或点扩散函数点扩散函数令令由上式叠加积分可得，观察点由上式叠加积分可得，观察点Q的复振幅是的复振幅是 上所有面元的光上所有面元的光振动振动在在QQ点引起的复振幅的相干叠加。点引起的复振幅的相干叠加。注：如果把衍射过程看作是一种变换，则上式便是将函数注：如果把衍射过程看作是一种变换，则上式便是将函数U U0 0（P P）变换成）变换成U U（QQ）的变换式。按系统的观点，）的变换式。按系统的观点，衍射过程衍射过程或或传播过程也可以看

10、做为一种线性系统的传播过程也可以看做为一种线性系统的线性变换线性变换。h(P,Q)h(P,Q)代代表了这个系统的全部特性。表了这个系统的全部特性。SQPhPUQUd),()()(0 2021-11-24132.3.3 2.3.3 相干光场在自由空间传播的平移不变性相干光场在自由空间传播的平移不变性当点光源当点光源P P0 0足够远，而且入射光在孔径平面上各点的入射角足够远，而且入射光在孔径平面上各点的入射角都不太大时，有都不太大时，有0cos( , )1n r 此外，如果观察平面在与孔径平面的距离此外，如果观察平面在与孔径平面的距离Z Z远大于孔径，而远大于孔径，而且观察面上只考虑一个对孔上各

11、点张角不大的范围，即在且观察面上只考虑一个对孔上各点张角不大的范围，即在傍轴条件下，又有傍轴条件下，又有1 ),cos(rn在这些条件下在这些条件下，倾斜因子：，倾斜因子： nQr0r0PP 0cos( , )cos( , )12n rn rK 旁轴条件旁轴条件0 x0y0 xy0QzzPr22200001(,;,)exp()()h xyxyjkzxxyyjz 00(,)h xxyy脉冲响应具有空不变形式脉冲响应具有空不变形式此时此时11(,)( )jkrjkreeh P QKjrjz入射角不太大时，分母上入射角不太大时，分母上r r可近似用可近似用z z替代；替代；而指数上的而指数上的r r

12、则不能用则不能用z z替代，原因：光波波长很短，替代，原因：光波波长很短，k k值很大；值很大；r r的不大误差可引起相位差远大于的不大误差可引起相位差远大于2 2 的结果的结果即无论孔径平面上子波源的位置如何，所产生的球面子波即无论孔径平面上子波源的位置如何，所产生的球面子波的形式都是一样的。上式叠加式可以写为的形式都是一样的。上式叠加式可以写为0000000dyd),(),(),(xyyxxhyxUyxU 上式表明孔径平面上透射光场上式表明孔径平面上透射光场U U（x x0 0,y,y0 0) )和观察平面上的和观察平面上的光场光场U(x,y)U(x,y)之间存在着一个卷积积分所描述的关系

13、。之间存在着一个卷积积分所描述的关系。光波在衍射孔径后的传播现象看成是光波在衍射孔径后的传播现象看成是线性不变系统线性不变系统。系统。系统在空间域的特性唯一地由其空间不变的单位脉冲响应在空间域的特性唯一地由其空间不变的单位脉冲响应h h所所确定。这一响应就是位于孔径平面的确定。这一响应就是位于孔径平面的子波源所发出的球面子波源所发出的球面子波在观察平面产生的复振幅分布子波在观察平面产生的复振幅分布。00000),(dydxyxU可看作不同位置的子波源所赋予球面子可看作不同位置的子波源所赋予球面子波的权波的权重因子。所有球面子波的相干叠加，就可以得到观重因子。所有球面子波的相干叠加，就可以得到观

14、察平面的光场分布。察平面的光场分布。2.4 2.4 衍射的角谱理论衍射的角谱理论1 1、角谱的传播、角谱的传播由前面的讨论，我们知道，孔径平面和观察平面上的光场都可由前面的讨论，我们知道，孔径平面和观察平面上的光场都可以看成许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合。每一以看成许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合。每一平面波分量的振幅和相位取决于相应的角谱平面波分量的振幅和相位取决于相应的角谱)cos,cos(0 A和和)cos,cos( A dd)(2exp),(),(yxjAzyxU )cos)d(cosd()coscos(2exp)cos,cos()0 ,(000000 yxjAy

15、xU)cos)d(cosd()coscos(2exp)cos,cos(),( yxjAzyxU P28如果我们知道了如果我们知道了)cos,cos(0 A和和)cos,cos( A之间的关系，就知道了每一平面波分量在传播过程中之间的关系，就知道了每一平面波分量在传播过程中振幅和相振幅和相位位发生的变化，自然就可以确定整个光场由孔径平面传播到观发生的变化，自然就可以确定整个光场由孔径平面传播到观察平面所发生的变化。察平面所发生的变化。讨论角谱传播规律的基础仍旧是标量波动方程。对于单色光场，讨论角谱传播规律的基础仍旧是标量波动方程。对于单色光场，着眼点是复振幅这一物理量。它满足亥姆霍兹方程着眼点是

16、复振幅这一物理量。它满足亥姆霍兹方程0),(),(22 yxUkyxU0)coscos1()cos,cos()cos,cos(22222 kAAdzd对每一平面波分量，也应满足上式方程，注意对每一平面波分量，也应满足上式方程，注意A A仅是仅是z z的函数的函数0)coscos(2exp)cos,cos()(22 yxjAk 解这个微分方程得解这个微分方程得 22222222222222222coscoscoscos(,) exp2()coscos2exp2expexpcosexpcosexpexp IIAjxyxyzAjAjdAdzAkAkdAdzk 式式 exp=0 expA ，等 式 两

17、 边 消 去得 ：)coscos1exp()cos,cos()cos,cos(22 jkzCAz=0z=00coscoscoscos(,)(,)coscos=(,)ACA，为孔径平面处)coscos1exp()cos,cos()cos,cos(220 jkzAA上式就是上式就是，知道了，知道了z=0z=0平面上的角谱就可以平面上的角谱就可以求出观察平面上的角谱，然后通过傅里叶逆变换就能求出观求出观察平面上的角谱，然后通过傅里叶逆变换就能求出观察平面上的复振幅分布。上式具有和基尔霍夫衍射公式等同察平面上的复振幅分布。上式具有和基尔霍夫衍射公式等同的价值。的价值。2021-11-2419)cosc

18、os1exp()cos,cos()cos,cos(220 jkzAA讨论：（讨论：（1 1）当方向余弦满足下面关系式时）当方向余弦满足下面关系式时1coscos22 各平面波传播一定距离各平面波传播一定距离z z仅是引入一定的相移，而振幅不变。由仅是引入一定的相移，而振幅不变。由于不同方向上传播的平面波分量在到达观察平面时走过的距离于不同方向上传播的平面波分量在到达观察平面时走过的距离各不相同，因而产生的相移与传播方向有关。各不相同，因而产生的相移与传播方向有关。1coscos22 （2 2）)exp()cos,cos()cos,cos(0 zAA 1coscos22 （2 2）)exp()c

19、os,cos()cos,cos(0 zAA 01coscos22 k所以对一切满足所以对一切满足1coscos22 的波动分量，将随着的波动分量，将随着z z的增的增加而按指数加而按指数)exp( z 衰减。在几个波长距离内几乎衰减为零衰减。在几个波长距离内几乎衰减为零对应于这些传播方向波动分量称为对应于这些传播方向波动分量称为倏逝波倏逝波。在通常情况下不计。在通常情况下不计。1coscos22 （3 3）0cos 90 该波动分量的传播方向垂直于该波动分量的传播方向垂直于z z轴，因此，沿轴，因此，沿z z方向实际上没有方向实际上没有能量传播。能量传播。012300.10.20.30.40.

20、50.60.70.80.91cos2+cos2=1.5z, units: exp(-z)024681000.10.20.30.40.50.60.70.80.91cos2+cos2=1.01012300.10.20.30.40.50.60.70.80.91cos2+cos2=2)coscos1exp()cos,cos()cos,cos(220 jkzAA（4 4）系统的）系统的传递函数传递函数),(),(),(0 HAA )coscos1exp(),(),(),(220 jkzAAH22exp1 ()()jkz当观察平面与孔径平面之间的距离大于几个波长时，倏逝波就当观察平面与孔径平面之间的距离大

21、于几个波长时，倏逝波就衰减到极小，可以忽略，所以传递函数就可以表示为衰减到极小，可以忽略，所以传递函数就可以表示为 ),( H02221 其它其它22exp1 ()()jkz1coscos22 ),( H1 1 1 ),( H02221 其它其它公式表明，可以把光波的传播看作是一个低通滤波器。它具公式表明，可以把光波的传播看作是一个低通滤波器。它具有有限空间带宽，在频率平面上半径为有有限空间带宽，在频率平面上半径为 /1的圆形区域内，的圆形区域内，的模为的模为1 1，对各频率分量的振幅没有影响。但引入了，对各频率分量的振幅没有影响。但引入了与频率有关的相移。在这一圆形区域之外，传递函数为零。与

22、频率有关的相移。在这一圆形区域之外，传递函数为零。这一结论告诉我们，对于孔径中这一结论告诉我们，对于孔径中比波长还小的精细结构比波长还小的精细结构，或，或者说空间频率大于者说空间频率大于 /1的信息，在单色光波照明下不能沿的信息，在单色光波照明下不能沿z z方向传递。方向传递。22exp1 ()()jkz2021-11-2423以上就是衍射的角谱理论。以上就是衍射的角谱理论。 ),( H02221 其它其它22exp1 ()()jkz 如果如果球面波理论球面波理论平面波理论平面波理论 它描述孔径平面不同方向传播的平面波分量在传播距它描述孔径平面不同方向传播的平面波分量在传播距离离Z Z后后，各

23、自引入与各自引入与频率有关的相移频率有关的相移。 然后再线性叠加，可得观察平面上的场分布然后再线性叠加，可得观察平面上的场分布。 基尔霍夫衍射理论与角谱理论完全是统一的。它们都证明基尔霍夫衍射理论与角谱理论完全是统一的。它们都证明了光的传播现象可看作线性不变系统。了光的传播现象可看作线性不变系统。 基尔霍夫理论是在空域讨论光的传播，是把孔径平面光场基尔霍夫理论是在空域讨论光的传播，是把孔径平面光场看作是看作是点源的集合点源的集合，观察平面上的场分布则等于它们所发出的，观察平面上的场分布则等于它们所发出的带有不同带有不同权重因子权重因子的球面子波的相干迭加。球面子波在观察平的球面子波的相干迭加。

24、球面子波在观察平面上的复振幅分布就是系统的脉冲响应。面上的复振幅分布就是系统的脉冲响应。 角谱理论是在频率域讨论光的传播，是把孔径平面场分布角谱理论是在频率域讨论光的传播，是把孔径平面场分布看作许多不同方向传播的平面波分量的的线性组合。观察平面看作许多不同方向传播的平面波分量的的线性组合。观察平面上的场分布仍旧是这些平面波分量的相干迭加，但每个平面波上的场分布仍旧是这些平面波分量的相干迭加，但每个平面波分量引入分量引入相移相移。相移的大小决定于系统的传递函数，它是系统。相移的大小决定于系统的传递函数，它是系统的的脉冲响应脉冲响应的傅里叶变换。的傅里叶变换。2021-11-24252.4.32.

25、4.3孔径对角谱的影响孔径对角谱的影响前面提到的孔径平面的光场分布前面提到的孔径平面的光场分布U U（x x0 0,y,y0 0) )实际上是指紧靠孔实际上是指紧靠孔径平面后方的透射光场的分布。径平面后方的透射光场的分布。因此，我们前面实际上只讨论了光波在因此，我们前面实际上只讨论了光波在自由空间自由空间传播时光场传播时光场及其角谱发生的变化。及其角谱发生的变化。现在我们要讨论的是现在我们要讨论的是照明孔径照明孔径的入射光场与透射光场之间的的入射光场与透射光场之间的关系，特别是角谱之间的关系。关系，特别是角谱之间的关系。如图如图 ),(00yxt),(),(00000yxUyxUi复振幅透过复

26、振幅透过率率 ),(00yxUi),(000yxU),(00yxt)cos,cos( iA)cos,cos(0 A)cos,cos( T),(00yxt),(),(),(0000000yxUyxtyxUi 利用傅里叶变换利用傅里叶变换卷积定理卷积定理可得角可得角谱之间的关系如下：谱之间的关系如下： )cos,cos(0 A)cos,cos()cos,cos( TAi )cos,cos( T是孔径透过率的是孔径透过率的傅里叶变换傅里叶变换为了理解衍射孔径对于入射光场角谱的效为了理解衍射孔径对于入射光场角谱的效应，我们以矩形孔径为例说明。应，我们以矩形孔径为例说明。)()(),(0000byrec

27、taxrectyxt ),(00yxt ),(00yxUi),(000yxU)cos,cos( iA)cos,cos(0 A)cos,cos( T),(00yxt采用采用孔孔径，入射场为径，入射场为1),(00 yxUi其角谱为其角谱为)cos,cos()cos,cos( iA由于由于 函数只有当函数只有当0cos 0cos 时才不为零，所以照明光波的角谱只有一时才不为零，所以照明光波的角谱只有一个，它代表沿衍射屏法向传播的平面波。个，它代表沿衍射屏法向传播的平面波。当此光波通过此孔径后，衍射光场的角谱为当此光波通过此孔径后，衍射光场的角谱为)cos,cos()cos,cos()cos,cos

28、()cos,cos(0TTA)cos(sin)cos(sin)cos,cos()cos,cos(0bcacabTA显然显然)cos,cos(0 A较之入射光场角谱包含的角谱分量大大增加了。较之入射光场角谱包含的角谱分量大大增加了。因此，从空间域来看，孔径的作用是因此，从空间域来看，孔径的作用是限制限制了入射波面的大小范了入射波面的大小范围，而从频域来看，则是围，而从频域来看，则是展宽展宽了入射光场的角谱。而且孔径越了入射光场的角谱。而且孔径越小，透射光场的角谱就愈宽，或者说包含的高频成分就愈多。小，透射光场的角谱就愈宽，或者说包含的高频成分就愈多。 -50500.511.522.532.5 2

29、.5 菲涅耳衍射和夫琅和费衍射菲涅耳衍射和夫琅和费衍射0 x0y0 xy0QzzPr基尔霍夫衍射公式是一般的，直接用它来计算比较困难，具基尔霍夫衍射公式是一般的，直接用它来计算比较困难，具有实用意义的是对这个普遍理论作某些近似，用近似公式计有实用意义的是对这个普遍理论作某些近似，用近似公式计算一定范围内的衍射场分布，按照近似程度不同，分为菲涅算一定范围内的衍射场分布，按照近似程度不同，分为菲涅耳衍射和夫琅和费衍射。耳衍射和夫琅和费衍射。0000000dyd),(),(),(xyyxxhyxUyxU zejyyxxhjkr 1),(00 由前面知道由前面知道22020)()(zyyxxr 220

30、220)(21)(211zyyzxxz当当z z大于某一值时大于某一值时0 x0y0 xy0QzzPr一、菲涅耳衍射公式一、菲涅耳衍射公式0UU旁轴条件旁轴条件 202000)()(2exp)exp(1),(yyxxzkjjkzjzyyxxh 由上式可知，菲涅耳近似的实质是用由上式可知，菲涅耳近似的实质是用二次曲面二次曲面来代替球面的惠更来代替球面的惠更斯子波斯子波。上式代入基尔霍夫衍射公式就得菲涅耳衍射公式。上式代入基尔霍夫衍射公式就得菲涅耳衍射公式。 002020000)()(2exp),()exp(1),(dydxyyxxzkjyxUjkzjzyxU 上面是从空域对上面是从空域对h h作

31、出近似，导出了菲涅耳衍射公式，这是传作出近似，导出了菲涅耳衍射公式，这是传统的物理光学教材中采用的方法。下面我们从衍射的角谱理论统的物理光学教材中采用的方法。下面我们从衍射的角谱理论出发，出发，即从频域考虑即从频域考虑，对描述光波传播的传递函数作出近似，对描述光波传播的传递函数作出近似，来导出菲涅耳衍射公式，并给出菲涅耳衍射公式成立的条件。来导出菲涅耳衍射公式，并给出菲涅耳衍射公式成立的条件。2021-11-2432上面是从空域对上面是从空域对h h作出近似，导出了菲涅耳衍射公式，这是传作出近似，导出了菲涅耳衍射公式，这是传统的物理光学教材中采用的方法。下面我们从衍射的角谱理论统的物理光学教材

32、中采用的方法。下面我们从衍射的角谱理论出发，出发，即从频域考虑即从频域考虑，对描述光波传播的传递函数作出近似，对描述光波传播的传递函数作出近似，来导出菲涅耳衍射公式，并给出菲涅耳衍射公式成立的条件。来导出菲涅耳衍射公式，并给出菲涅耳衍射公式成立的条件。)coscos1exp()cos,cos()cos,cos(220 jkzAA)coscos1exp()cos,cos(22 jkzH当当1coscos22 对相位因子中的根式作二项式展开对相位因子中的根式作二项式展开)cos(cos122 22222)cos(cos81)cos(cos211 假定展开式中第三项所贡献的相位变化远小于假定展开式中

33、第三项所贡献的相位变化远小于2 2 ，则上式中二，则上式中二次方以上的项都可以忽略，即次方以上的项都可以忽略，即z z应满足下式应满足下式2)cos(cos8max222kzkzjyyixxr )()(000 x0y0 xy0QzzPr )(cos0 xxrir zxxrxx)()(cos00 zyyryy)()(cos00 代入上式代入上式 22222)cos(cos81)cos(cos211 )cos(cos122 满足上述条件时，观察平面所在的区域称为满足上述条件时，观察平面所在的区域称为菲涅耳衍射区菲涅耳衍射区，这是这是一个充分条件。一个充分条件。在菲涅耳衍射区内在菲涅耳衍射区内)co

34、s(cos122 )cos(cos21122 )cos(cos2exp)exp()cos,cos(22 zkjjkzH因为因为 cos cos传递函数也可以表示为传递函数也可以表示为22( , )exp()exp()Hjkzjz 28)()(232max2020zyyxx2max20203)()(81yyxxz22( , )exp()exp()Hjkzjz 上式第一项相位因子表示各角谱分量在距离为上式第一项相位因子表示各角谱分量在距离为z z的两个平面之间的两个平面之间传播时都要受到的一个均匀的相位延迟。第二项相位因子表示传播时都要受到的一个均匀的相位延迟。第二项相位因子表示各角谱分量将产生与

35、频率有关的相移。各角谱分量将产生与频率有关的相移。 ddyyxxjzjjkzyyxxh )()(exp)(exp)(exp),(0022002 2020)()(2exp)exp(1yyxxzkjjkzjz 这一式子正好是基尔霍夫衍射公式经过近似得到的这一式子正好是基尔霍夫衍射公式经过近似得到的上面的讨论可知，两种方法，一个是在空域，一个是在频域，上面的讨论可知，两种方法，一个是在空域，一个是在频域，但最终的结果是一致的。下面对菲涅耳衍射公式作进一步的讨但最终的结果是一致的。下面对菲涅耳衍射公式作进一步的讨论。论。 0020200000)()(2exp),()exp(1),(dydxyyxxzk

36、jyxUjkzjzyxU 上式实际上是孔径平面上的光场复振幅分布与球面子波的卷积上式实际上是孔径平面上的光场复振幅分布与球面子波的卷积, ,展开指数中的二次项，则有展开指数中的二次项，则有 )(2exp)(exp1),(22yxzkjjkzjzyxU 00000202000)(2exp)(2exp),(dydxyyxxzjyxzkjyxU zyzxyxj ,00)(2exp2021-11-2437 )(2exp)(exp1),(22yxzkjjkzjzyxU 00000202000)(2exp)(2exp),(dydxyyxxzjyxzkjyxU )(2exp)exp(122yxzkjjkzj

37、z 2200000,( ,) exp()2xyzkF U x yjxyz zyzxyxj ,00)(2exp上式我们可以看作是上式我们可以看作是傅里叶变换傅里叶变换形式的菲涅耳衍射公式形式的菲涅耳衍射公式它表明菲涅耳衍射区观察平面上的场分布，除了与（它表明菲涅耳衍射区观察平面上的场分布，除了与（x x0 0,y,y0 0) )无关无关的振幅和相位因子以外，恰好是函数的振幅和相位因子以外，恰好是函数 )(2exp),(0202000yxzkjyxU的傅里叶变换的傅里叶变换其频率是其频率是,xyzz2021-11-24392.5.2 2.5.2 菲涅耳衍射例子菲涅耳衍射例子泰伯效应泰伯效应1836

38、1836年，泰伯（年，泰伯（Talbot)Talbot)发现了一个有趣的现象：用单色平面发现了一个有趣的现象：用单色平面波垂直照射一周期性物体（比如，透射光栅）时，在物体后波垂直照射一周期性物体（比如，透射光栅）时，在物体后面周期性距离上出现物体的像。这种自成像效应就称为面周期性距离上出现物体的像。这种自成像效应就称为泰伯泰伯效应效应。它不是一种透镜成像，而是。它不是一种透镜成像，而是衍射成像衍射成像。目前在光学和。目前在光学和电子显微镜等方面得到了广泛的应用。电子显微镜等方面得到了广泛的应用。z光栅光栅平面波平面波TzTz2Tz3z光栅光栅平面波平面波TzTz2Tz3一维的周期性物体，其复振

39、幅透过率为一维的周期性物体，其复振幅透过率为 nnnxdnjcxg002exp)(0 2, 1, 0 n式中式中d d为周期。当采用为周期。当采用单位振幅单位振幅的平面波垂直照明，紧靠物体的平面波垂直照明，紧靠物体后的光场分布，即为后的光场分布，即为)(00 xg，它可以看作频率取离散值，它可以看作频率取离散值)0 ,/(dn的无穷多个平面波的叠加，的无穷多个平面波的叠加，c cn n表示各个平面波分量的相对振幅和表示各个平面波分量的相对振幅和相位分布。相位分布。 现讨论与物体平面相距现讨论与物体平面相距z z的观察平面上的光场分布，这是一的观察平面上的光场分布，这是一个菲涅耳衍射问题。对这个

40、问题从频域研究比较方便。将上式个菲涅耳衍射问题。对这个问题从频域研究比较方便。将上式作傅里叶变换便得物分布的空间频谱为作傅里叶变换便得物分布的空间频谱为 nnndncG)()(0 由菲涅耳衍射传递函数的表达式得由菲涅耳衍射传递函数的表达式得)exp()exp()(2 zjjkzH 观察平面上得到的场分布的频谱为观察平面上得到的场分布的频谱为 nnndncG)()( )exp()exp(2 zjjkz nnndnc)( )exp()exp(22dnzjjkz 当当z z满足条件满足条件mdz 212 3,2, 1 m 22mdz 1)exp(22 dnzj )0 ,/(dn不同频率不同频率成分的

41、平面波在观察平面上引入的相移除了一成分的平面波在观察平面上引入的相移除了一常数因子外，都是常数因子外，都是2 2 的整数倍。在这一特殊情况下，的整数倍。在这一特殊情况下， nnndncG)()( )exp()exp(2 zjjkz nnndnc)( )exp( jkz对上式作傅里叶逆变换，就可得到观察平面上的场分布为对上式作傅里叶逆变换，就可得到观察平面上的场分布为)exp(2exp)(jkzxdnjcxgnnn )exp()(0jkzxg 20)()(xgxI 因此，在因此，在 22dzT 的整数倍距离上，可观察到物体的像的整数倍距离上，可观察到物体的像 22dzT 泰伯距离泰伯距离 考点！

42、考点！数据：数据：mmd1 . 0 mm4105 mmzT40 此时，可在此时，可在 z=40mm 80mm 120mm ,z=40mm 80mm 120mm ,等位置可观察到自成像等位置可观察到自成像. .如果在光栅所产生的泰伯自成像后面放一块周期相同的检测光如果在光栅所产生的泰伯自成像后面放一块周期相同的检测光栅，可以观察到清晰的莫尔条纹。在两个光栅之间若存在相位栅，可以观察到清晰的莫尔条纹。在两个光栅之间若存在相位物体，由莫尔条纹的变化可测量物体的相位的起伏。这是物体，由莫尔条纹的变化可测量物体的相位的起伏。这是泰伯泰伯效应效应的重要应用之一。的重要应用之一。2021-11-2444菲涅

43、耳衍射公式菲涅耳衍射公式 202000)()(2exp)exp(1),(yyxxzkjjkzjzyyxxh 二次曲面来代替球面的惠更斯子波二次曲面来代替球面的惠更斯子波 002020000)()(2exp),()exp(1),(dydxyyxxzkjyxUjkzjzyxU )(2exp)exp(122yxzkjjkzjzyzxyxzkjyxUF,0202000)(2exp),(其频率是其频率是zyzx ,2021-11-2445菲涅耳衍射区菲涅耳衍射区1、展开第三项远小于、展开第三项远小于1rad2、展开第三项远小于、展开第三项远小于2 28)()(232max2020zyyxx2max202

44、03)()(81yyxxz18)()(232max2020zyyxx2max20203)()(82yyxxz2021-11-244605101520253035404550050100150200250300350(x,y),units:mm; =632.8nmz0=1/(8)*max(x-x0)2+(y-y0)22Fresnel Diffraction Estimation2021-11-24472.5.3 2.5.3 夫琅和费衍射夫琅和费衍射一、夫琅和费衍射公式一、夫琅和费衍射公式 )(2exp)exp(1),(22yxzkjjkzjzyxU 00000202000)(2exp)(2exp

45、),(dydxyyxxzjyxzkjyxU 当观察平面离开孔径的距离当观察平面离开孔径的距离z z进一步增大，使其不仅满足进一步增大，使其不仅满足菲涅菲涅耳衍射近似条件，而且满足下面条件耳衍射近似条件，而且满足下面条件2)(2max0202 yxzkmax0202)(21yxz 与菲涅尔衍射相同的条件下与菲涅尔衍射相同的条件下z1.4223e+04 mm这时，观察平面所在的区域称为这时，观察平面所在的区域称为夫琅和费衍射区夫琅和费衍射区。在上面的在上面的近似近似下，下，1)(2exp0202 yxzkj菲涅耳衍射成为菲涅耳衍射成为夫琅和费衍射夫琅和费衍射 )(2exp)exp(1),(22yx

46、zkjjkzjzyxU 0000000)(2exp),(dydxyyxxzjyxU )(2exp)exp(1),(22yxzkjjkzjzyxU 000,(,)xyzF Uxy上式表明，观察平面上的场分布正比于孔径平面上透射光场上式表明，观察平面上的场分布正比于孔径平面上透射光场分布的傅里叶变换。频率取值与分布的傅里叶变换。频率取值与观察平面坐标观察平面坐标的关系为的关系为zyzx ,2021-11-2450 )(2exp)exp(1),(22yxzkjjkzjzyxU yzxyxU ,000),(F F上式表明，观察平面上的场分布正比于孔径平面上透射光场上式表明，观察平面上的场分布正比于孔径

47、平面上透射光场分布的傅里叶变换。频率取值与观察平面坐标的关系为分布的傅里叶变换。频率取值与观察平面坐标的关系为zyzx ,考虑到积分号前的相位因子，这一变换关系还不是正确的，但考虑到积分号前的相位因子，这一变换关系还不是正确的，但它并不影响观察平面上衍射图样的强度分布。它并不影响观察平面上衍射图样的强度分布。 20002),(1),(yxUzyxI F F202),(1 zyzxAz ),(0zyzxA 是孔径平面上是孔径平面上透射光透射光场复振幅的频谱。略去常系数场复振幅的频谱。略去常系数衍射图样的强度分布直接等于孔径透射光场分布的衍射图样的强度分布直接等于孔径透射光场分布的功率谱功率谱。菲

48、涅耳衍射和夫琅和费衍射的区别菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的区别 yzxyxzkjyxU ,0202000)(2exp),(F F ),(000yxUF F),(0zyzxA 随着距离随着距离z z的增大，观察平面上光场的函数分布会发生变化。的增大，观察平面上光场的函数分布会发生变化。考虑轴上观察点，沿考虑轴上观察点，沿z z方向是亮暗交替变化的。方向是亮暗交替变化的。夫琅和费衍射的图样不随夫琅和费衍射的图样不随z z变化变化 ，仅产生大小的变化。，仅产生大小的变化。 由于光波长的值很小，夫琅和费衍射所要求的条件实际上相当苛刻由于光波长的值很小，夫琅和费衍射所要求的条件实际上相当苛刻要在较近距离上观

49、察到要在较近距离上观察到夫琅和费衍射图样，关键是要消除菲夫琅和费衍射图样，关键是要消除菲涅耳衍射分式中的积分相位因子涅耳衍射分式中的积分相位因子 )(2exp2020yxzjk的影响。的影响。我们可以用向观察平面会聚的球面波照明孔径，我们也可以我们可以用向观察平面会聚的球面波照明孔径，我们也可以利用透镜的会聚性质来实现这一要求。这将在下一节中作详利用透镜的会聚性质来实现这一要求。这将在下一节中作详细的讨论。细的讨论。2021-11-24532.5.4 2.5.4 夫琅和费衍射应用举例夫琅和费衍射应用举例 由前面知道，观察平面上的光场分布正比于孔径平面上透由前面知道，观察平面上的光场分布正比于孔

50、径平面上透射光场分布射光场分布U U0 0（x x0 0,y,y0 0) )的傅里叶变换。的傅里叶变换。 而而U U0 0（x x0 0,y,y0 0) )又等于照明孔的入射光场分布与孔径又等于照明孔的入射光场分布与孔径复振幅复振幅透过率透过率的乘积。的乘积。 因此，实际影响衍射现象的因素必然包括两个方面：因此，实际影响衍射现象的因素必然包括两个方面：照明照明光波的性质以及孔径的特点。光波的性质以及孔径的特点。在分析夫琅和费衍射图样时，在分析夫琅和费衍射图样时，不应忽略照明光源的性质。不应忽略照明光源的性质。2021-11-2454 孔径的概念可以推广到一般透明或半透明的平面型物孔径的概念可以

51、推广到一般透明或半透明的平面型物体。其透过率函数一般是复函数，光波通过物体时，其振体。其透过率函数一般是复函数，光波通过物体时，其振幅和相位都有要受到物体调制，使幅和相位都有要受到物体调制，使透射光波携带物体信息透射光波携带物体信息向前传播向前传播。在特殊情况下，例如，物体是一幅仅有光密度。在特殊情况下，例如，物体是一幅仅有光密度变化变化 的透明片，它只改变入射光波的振幅，而不改变其相的透明片，它只改变入射光波的振幅，而不改变其相位分布，我们称它为位分布，我们称它为振幅型物体振幅型物体。 如果物体由于折射率不均匀或厚度起伏，只改变入射如果物体由于折射率不均匀或厚度起伏，只改变入射光波的相位分布

52、，而不改变其振幅分布，则称之为光波的相位分布，而不改变其振幅分布，则称之为相位相位型物体型物体。 显然，物体的透过率直接反映了显然，物体的透过率直接反映了物体的结构特点物体的结构特点。为了能。为了能够从衍射图样直接了解物体透过率的性质，或者对不同物体的够从衍射图样直接了解物体透过率的性质，或者对不同物体的衍射图样作出比较，有必要衍射图样作出比较，有必要排除复杂照明光波排除复杂照明光波的影响，一致采的影响，一致采用单色平面波垂直照明物体。设平面的振幅为用单色平面波垂直照明物体。设平面的振幅为A A，则，则),(),(00000yxtAyxU 由夫琅和费衍射公式，观察平面上光场的分布为由夫琅和费衍

53、射公式，观察平面上光场的分布为 )(2exp)exp(),(22yxzkjjkzjzAyxU yzxyxt ,00),(F F )(2exp)exp(),(22yxzkjjkzjzAyxU )(, yzxT)(, yzxT称为物体的频谱，这是透过率的傅里叶变换。称为物体的频谱，这是透过率的傅里叶变换。000000)(2exp),(),(dydxyyxxzjyxtzyzxT 实际的辐射探测器，包括从人眼在内，都只能对光强产生响应。实际的辐射探测器，包括从人眼在内，都只能对光强产生响应。因此，我们更为关心是衍射图样的强度分布：因此，我们更为关心是衍射图样的强度分布： ),(yxI22),( zyz

54、xTzA 观察平面上直接得到观察平面上直接得到物体的功率谱。物体的功率谱。夫琅和费衍射是实现傅里叶变换的物理手段夫琅和费衍射是实现傅里叶变换的物理手段，这一重要事实，这一重要事实是我们对物体作频谱分析的基础。是我们对物体作频谱分析的基础。一、矩孔衍射与单缝衍射一、矩孔衍射与单缝衍射矩形孔的复振幅透过率可以表示为矩形孔的复振幅透过率可以表示为 byrectaxrectyxt0000),(0 x0y0 xy0zzab2021-11-2458 byrectaxrectyxt0000),(0 x0y0 xy0zzab bcacabTsinsin),( zbyczaxczabyxI 222sinsin)

55、,(0/ II1zax /121 2 其中央亮斑的宽度为其中央亮斑的宽度为azx 2 bzy 2 2021-11-2459当矩孔在当矩孔在x x0 0方向宽度方向宽度a a减小，则观察平面上减小，则观察平面上x x 方向上所有斑方向上所有斑的宽度都将增大，即该方向衍射光的弥散斑范围增大。这的宽度都将增大，即该方向衍射光的弥散斑范围增大。这一现象很容易用傅里叶变换的相似性定理解释。一现象很容易用傅里叶变换的相似性定理解释。假若假若ba,ba,矩形孔变成了平行于矩形孔变成了平行于y y轴的狭缝。衍射图样将集轴的狭缝。衍射图样将集中在中在x x轴上，衍射光仅沿垂直于狭缝方向扩展。我们只要作轴上，衍射

56、光仅沿垂直于狭缝方向扩展。我们只要作一维的计算。一维的计算。0/ II1zax /121 2 其中央亮斑的宽度为其中央亮斑的宽度为azx 2 bzy 2 二、双缝衍射二、双缝衍射0y0 x0yx0zzad adxrectadxrectyxt22),(0000 22000dxdxaxrect 利用傅里叶变换的卷积定理和位移定理得利用傅里叶变换的卷积定理和位移定理得 djdjacaT expexpsin)( )cos(sin2daca 采用单位复振幅照明孔径，观察平面上的夫琅和费衍射采用单位复振幅照明孔径，观察平面上的夫琅和费衍射复振幅分布为复振幅分布为 22exp)exp(2),(xzkjjkz

57、jzayxU )(zxT 2021-11-2462 zdxzaxczayxI 222cossin2),(强度为强度为这是单缝衍射图样与双光束干涉这是单缝衍射图样与双光束干涉相互调制相互调制的结果。为了直观的结果。为了直观地分析物体的频谱，我们在下面用图解方法进行分析。地分析物体的频谱，我们在下面用图解方法进行分析。 22exp)exp(2),(xzkjjkzjzayxU )(zxT axrect02a 2a2d 2d0 x 2200dxdx )cos(2d acasin 0 aT 2d 2d0 x)(0 xtzx d1a10/ II2021-11-24652. 6 2. 6 透镜的傅里叶变换性

58、质透镜的傅里叶变换性质 我们已经知道，对一个平面的透射物体进行傅里叶变我们已经知道，对一个平面的透射物体进行傅里叶变换运算的物理手段是实现它的夫琅和费衍射。但其条件换运算的物理手段是实现它的夫琅和费衍射。但其条件是相当苛刻的。要想在是相当苛刻的。要想在近距离近距离观察夫琅和费衍射，可以观察夫琅和费衍射，可以借助透镜来实现。也就是说透镜可以用来实现物体的傅借助透镜来实现。也就是说透镜可以用来实现物体的傅里叶变换。里叶变换。 透镜是光学系统最基本的元件，正是由于透镜在一透镜是光学系统最基本的元件，正是由于透镜在一定条件下能实现傅里叶变换，才使得傅里叶分析方法在定条件下能实现傅里叶变换，才使得傅里叶

59、分析方法在光学中得到了非常广泛的应用。光学中得到了非常广泛的应用。2.6.12.6.1透镜的相位调制作用透镜的相位调制作用为了研究透镜对入射波前的作用，我们引入透镜的复振幅透为了研究透镜对入射波前的作用，我们引入透镜的复振幅透过率过率),(),(),(11yxUyxUyxt ),(1yxU紧靠透镜前的光场分布紧靠透镜前的光场分布),(1yxU 紧靠透镜后的光场分布紧靠透镜后的光场分布),(1yxU),(1yxU pqSS S S、S S 满足成像关系满足成像关系2021-11-2467如图是透镜对点光源成像的过程，若不考虑有限孔径的衍射如图是透镜对点光源成像的过程，若不考虑有限孔径的衍射效应，

60、也不考虑像差，一个位于光效应，也不考虑像差，一个位于光 轴上轴上S S点的单色点光源通过点的单色点光源通过透镜后会聚在光轴上，得到它的点像。透镜后会聚在光轴上，得到它的点像。2.6.12.6.1透镜的相位调制作用透镜的相位调制作用),(),(),(11yxUyxUyxt ),(1yxU),(1yxU pqSS 从波面传播过程中发生的变化来看，从波面传播过程中发生的变化来看，透镜的作用是使一个发散球面波变透镜的作用是使一个发散球面波变换为会聚球面波。换为会聚球面波。),(1yxU),(1yxU pqSS 傍轴条件下，位于傍轴条件下，位于S S点的单色点光源点的单色点光源发射出的发散球面波在紧靠透