讲课用282解直角三角形

1、30、45、60角的正弦值、余弦值和正切值如下表：角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角a三角函数304560sin acos atan a1222322212332331对于对于sinsin与与tantan，角度越大，函数值也越大；，角度越大，函数值也越大；对于对于coscos，角度越大，函数值越小。，角度越大，函数值越小。在图中的在图中的 Rt ABC中，中，（1）根据）根据A75，斜边，斜边AB6，你能求出这，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？个直角三角形的其他元素吗？探究探究ABC能能sinsin6 sin75BCABCABAABcoscos6 cos75ACAACABAAB909

2、09075ABBA 6=75在图中的在图中的RtABC中，中，（2）根据）根据AC2.4，斜边，斜边AB6，你能求出这个，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？直角三角形的其他元素吗？探究探究222222262.45.5ABACBCBCABAC2.4coscos0.4666ACAAAAB 9090906624ABBAABC能能62.4ABabcC解直角三角形解直角三角形:在直角三角形中，由直角在直角三角形中，由直角外的已知元素求其余未知元素的过程外的已知元素求其余未知元素的过程解直角三角形解直角三角形例例1 如图，在如图，在RtABC中，中，C90， 解这个直角三角形解这个直角三角形6, 2BC

3、AC解：解：326tanACBCA60A30609090AB222ACABABC26例例2 2 如图如图, ,在在RtRtABCABC中中, B=30, B=300 0,b=20,b=20,解这个直角三角形解这个直角三角形000060309090:BA解32030tan20tantan0BbaabB4030sin20sin,sin0BbccbB你还有其它你还有其它办法求出办法求出c c吗吗? ?ACB（2）两锐角之间的关系）两锐角之间的关系AB90（3）边角之间的关系）边角之间的关系caAA斜边的对边sincbBB斜边的对边sincbAA斜边的邻边coscaBB斜边的邻边cosbaAAA的邻边

4、的对边tanabBBB的邻边的对边tan（1）三边之间的关系）三边之间的关系 222cba（勾股定理）（勾股定理）ABabcC在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：例例3： 2012年年6月月18日日“神舟神舟”9号载人航天飞船发射成号载人航天飞船发射成功当飞船完成变轨后，就在离地球表面功当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形的圆形轨道上运行如图，当飞船运行到地球表面上轨道上运行如图，当飞船运行到地球表面上P点的正点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最

5、远点与置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约点的距离是多少？（地球半径约为为6 400km，结果精确到，结果精确到0.1km） 分析分析：从飞船上能最远从飞船上能最远直接看到的地球上的点，直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的应是视线与地球相切时的切点切点OQFP如图，如图，O O表示地球，点表示地球，点F F是飞船是飞船的位置，的位置，FQFQ是是O O的切线，切点的切线，切点Q Q是从飞船观测地球时的最远点，是从飞船观测地球时的最远点，弧弧PQPQ的长就是地面上的长就是地面上P P、Q Q两点间两点间的距离的距离. .为计算弧为计算弧PQPQ的长需先求的长需先求出出POQP

6、OQ（即（即a a）解：在图中，解：在图中，FQ是是 O的切线，的切线，FOQ是直是直角三角形角三角形95. 035064006400cosOFOQa18a PQ的长为的长为6 .200964014. 3640018018 当飞船在当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离最远点距离P点约点约2009.6kmOQFP仰角和俯角仰角和俯角在进行测量时，在进行测量时，从下向上看，视从下向上看，视线与水平线的夹线与水平线的夹角叫做角叫做仰角仰角；水平线水平线视线视线视线视线铅铅垂垂线线仰角仰角俯角俯角从上往下看，视从上往下看，视线与水平线的夹线与水平线的夹角叫做

7、角叫做俯角俯角. .人眼人眼例例4:4:热气球的探测器热气球的探测器显示显示, ,从热气球看一栋从热气球看一栋高楼顶部的仰角为高楼顶部的仰角为3030, ,看这栋高楼底部看这栋高楼底部的俯角为的俯角为6060, ,热气球热气球与高楼的水平距离为与高楼的水平距离为120m,120m,这栋高楼有多高这栋高楼有多高? ?=30=60120ABCD解解：如图，：如图，a = 30,= 60， AD120ADCDADBDatan,tan30tan120tanaADBD3403312060tan120tanADCD312031203120340CDBDBC1 .2773160答：这栋楼高约为答：这栋楼高约

8、为277.1mABCD分析：分析：600300ABP东东南南西西北北C解：解： 在在RtBPC中中,300300cosAPC在在RtAPC中中,在在RtBPC中中,2330cos0PAPC灯塔灯塔P位于北偏东位于北偏东600方向，方向，APC300 PC =340海轮海轮B位于南偏东位于南偏东300方向，方向，PBC300 PB =2PC =380 PB 138.56139一一. .利用解直角三角形的知识解决利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤实际问题的一般步骤: : 1. 1.将实际问题抽象为数学问题：画出将实际问题抽象为数学问题：画出平面图形平面图形, ,构造直角三角形，把实际问题

9、构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形；转化为解直角三角形； 2 2. .根据条件的特点根据条件的特点, ,适当选用锐角三角函适当选用锐角三角函数去解直角三角形：有数去解直角三角形：有“斜斜”用用“弦弦”； 无无“斜斜”用用“切切”；3 3. .得到数学问题的答案；得到数学问题的答案；4 4. .得到实际问题的答案得到实际问题的答案. .二二.解题方法归纳：解题方法归纳：1.1.数形结合思想；数形结合思想；2.2.方程思想；方程思想；3.3.把数学问题把数学问题转化成解直角三角形转化成解直角三角形问题，问题，如果示意图不是直角三角形，可如果示意图不是直角三角形，可添加适当添加适当的辅助线

10、的辅助线，构造出直角三角形构造出直角三角形. .4.4.如果问题不能归结为一个直角三角形，如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求的量进行分解，将其中的一则应当对所求的量进行分解，将其中的一部分量归结为直角三角形中的量部分量归结为直角三角形中的量 1、在下列直角三角形中 不能求解的是（ ）A、已知一直角边一锐角B、已知一斜边一锐角C、已知两边D、已知两角D在四边形在四边形ABCD中，中， A=60，ABBC，ADDC，AB=20cm，CD=10cm，求，求AD，BC的长（保留根号）？的长（保留根号）？EBACD20106030如图，直升飞机在跨江大桥如图，直升飞机在跨江大桥AB的上方的上

11、方P点处，此点处，此时飞机离地面的高度时飞机离地面的高度PO=450米，且米，且A、B、O三三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为=30，=45，求大桥的长，求大桥的长AB .450米米解：解：由题意得，在由题意得，在RtPAO与与RtPBO中中30 ,45PAOPBO tan30 ,tan 45POPOOAOB450450 3,tan30OA450450tan45OB (450 3450)( )ABOAOBm(450 3450) .m答：大桥的长答：大桥的长AB为为 PABO答案答案: : 米米)2003200(变题变题1 1：如图，直升飞机在长如

12、图，直升飞机在长400米的跨江大米的跨江大桥桥AB的上方的上方P点处，且点处，且A、B、O三点在一条三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为为30和和45 ，求飞机的高度，求飞机的高度PO .ABO3045400米米P4530OBA200米米变式变式2 2：如图，直升飞机在高为如图，直升飞机在高为200米的大楼米的大楼AB上方上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为机的仰角为30和和45，求飞机的高度，求飞机的高度PO .LUD答案答案: : 米米)3003100(P方法方法1 1：如图，直升飞机在高为如图，直

13、升飞机在高为200米的大楼米的大楼AB上方上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为的仰角为30和和45，求飞机的高度，求飞机的高度PO .4530POBA200米米C4530POBA200米米C方法方法2 2：如图，直升飞机在高为如图，直升飞机在高为200米的大楼米的大楼AB上方上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为机的仰角为30和和45，求飞机的高度，求飞机的高度PO .方法方法3 3：如图，直升飞机在高为如图，直升飞机在高为200米的大楼米的大楼AB上方上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机点处，从大楼的顶部和底部测得