函数的零点问题

1、 高三二轮专题复习高三二轮专题复习开封高中：张文伟开封高中：张文伟 函数零点是新课标教材的函数零点是新课标教材的新增内容之新增内容之一一,纵观近几年全国各地的高考试题纵观近几年全国各地的高考试题,经常出经常出现现一些与零点一些与零点有关的问题有关的问题,它可以以它可以以选择题、选择题、填空题填空题的形式出现，也可以在的形式出现，也可以在解答题解答题中与中与其它知识交汇后其它知识交汇后闪亮登场闪亮登场，可以说，可以说”零点零点”成为了高考新的成为了高考新的热点、亮点和生长点热点、亮点和生长点. 方程方程0)( xf方程方程的实数根的实数根与与 轴交点的横坐标轴交点的横坐标x函数函数0)( xfx

2、使使 的实数的实数函数零点 图象图象)()(xgxf 有实根有实根)()()(xgxfxF 有零点有零点 )(xf)(xg与与有交点有交点 唯一唯一)(xf在在 ba,上单调上单调0)()( bfaf)(xf在在 有有 ba,零点零点)(xf在在 ba,上连续上连续零点的存在性定理零点的存在性定理xabyoyabxo一、直接求函数的零点一、直接求函数的零点例例1 1： 求函数的零点：求函数的零点：22)(2322log xxxf求根定零点求根定零点解：解：由题意可知由题意可知, 2232 xx解得解得0 x3或或所以函数所以函数 的零点为的零点为)(xf03或或. C可以是（可以是（ ） 练习

3、：练习：若函数若函数的零点与的零点与之差的绝对值不超过之差的绝对值不超过0.250.25，则，则C. C. D. D. )(xf224)( xxgx的零点的零点)(xfA. A. B. B. 14)( xxf2)1()( xxf1)( xexf)21ln()( xxfA62ln)( xxxf二、确定零点的大致位置二、确定零点的大致位置例例2 2：函数函数A A（0 0，1 1） B B（1 1，2 2） C C（2 2,3,3） D D（3 3，4 4）的零点所在的大致区间的零点所在的大致区间 是（是（ ）异号定零位异号定零位(2)(3)0ff 解：三、求零点的个数三、求零点的个数画图定零数画

4、图定零数例例3 3、 求函数求函数的零点个数的零点个数. .1096)(23 xxxxfaxxxxf 1096)(23解：解：)1)(3(39123)(2 xxxxxfx)(xf)(xf 1 , 3 , 1 , 31300 增增增增减减6 10 136 10 oxy1 1、一元三次函数的零点问题、一元三次函数的零点问题三、求零点的个数三、求零点的个数画图定零数画图定零数例例3 3、 求函数求函数的零点个数的零点个数. .1096)(23 xxxxfaxxxxf 1096)(231 1、一元三次函数的零点问题、一元三次函数的零点问题分析分析1 1：一元三次函数知识总结：一元三次函数知识总结：（1

5、 1）一个零点：函数单调或极大值小于零或极小）一个零点：函数单调或极大值小于零或极小 值大于零值大于零 （2 2）两个零点：极大值或极小值等于零）两个零点：极大值或极小值等于零 （3 3）三个零点：极大值和极小值一正一负）三个零点：极大值和极小值一正一负三、求零点的个数三、求零点的个数画图定零数画图定零数例例3 3、 求函数求函数的零点个数的零点个数. .1096)(23 xxxxfaxxxxf 1096)(231 1、一元三次函数的零点问题、一元三次函数的零点问题分析分析1 1：一元三次函数知识总结：一元三次函数知识总结：（1 1）一个零点：函数单调或极大值小于零或极小）一个零点：函数单调或

6、极大值小于零或极小 值大于零值大于零 （2 2）两个零点：极大值或极小值等于零）两个零点：极大值或极小值等于零 （3 3）三个零点：极大值和极小值一正一负）三个零点：极大值和极小值一正一负三、求零点的个数三、求零点的个数画图定零数画图定零数例例3 3、 求函数求函数的零点个数的零点个数. .1096)(23 xxxxfaxxxxf 1096)(23解：解：)1)(3(39123)(2 xxxxxfx)(xf)(xf 1 , 3 , 1 , 31300 增增增增减减6 10 1 1、一元三次函数的零点问题、一元三次函数的零点问题()=(1)6fxfa 极 大 值()=(3)1 0fxfa 极 小

7、 值1 06a 610a 或或a-6或或 时一个，时一个， 时两个，时两个， 时三个时三个三、求零点的个数三、求零点的个数画图定零数画图定零数例例3 3： 求函数求函数的零点个数的零点个数. .axxxxf 1096)(23解：解：)1)(3(39123)(2 xxxxxfx)(xf)(xf 1 , 3 , 1 , 31300 增增增增减减6 10 136 10 oxyay ay ay ay ay 109623 xxxa1 1、一元三次函数的零点问题、一元三次函数的零点问题1 06a 610a 或或a-6或或 时一个，时一个， 时两个，时两个， 时三个时三个三、求零点的个数三、求零点的个数画图

8、定零数画图定零数2 2、 型函数的零点问题型函数的零点问题( ) g(x)f x -经验总结：把一个函数转化成两个函数经验总结：把一个函数转化成两个函数相减的形式，分离成两个函数求交点的相减的形式，分离成两个函数求交点的问题问题.注意分离的两个函数尽可能的是注意分离的两个函数尽可能的是熟悉、常见的函数熟悉、常见的函数.三、求零点的个数三、求零点的个数画图定零数画图定零数2 2、 型函数的零点问题型函数的零点问题( ) g(x)f x -练习：函数练习：函数 在在 上有上有 _个交零点个交零点,这些零点的横坐标之和为这些零点的横坐标之和为_ 1sin21yxx2,4解解:函数转化成函数转化成 与

9、与 交点交点 的个数的个数.11yxsin2yx由图像可知有由图像可知有8个交点个交点.因为两函数图像都因为两函数图像都关于点关于点 对称对称,所以交点的横坐标所以交点的横坐标之和为之和为8.1,03、复合函数的零点问题、复合函数的零点问题例例4：已知函数：已知函数 ， ，则方程则方程 （a为正实数）为正实数）的实数根最多有的实数根最多有_个个32( )31f xxx221()1,0( )2(3)1,0 xxg xxx()0g fxa解：令解：令 ，则，则 可转化成：可转化成： t()fx( )0g fxa ,( )g ta tfx tyayg与yt( )tf x与即即 求交点求交点t t，然

10、后然后 求交点求交点x.x.由图像可知，最多有由图像可知，最多有6 6个个. .经验总结：先分离出经验总结：先分离出内外层函数，分别作内外层函数，分别作出内外层函数的图像，出内外层函数的图像，借助图像来求解借助图像来求解.三、求零点的个数三、求零点的个数画图定零数画图定零数63、复合函数的零点问题、复合函数的零点问题练习练习: :设设R R上的函数上的函数 则关于则关于x x的的函数函数 的零点的个数为（的零点的个数为（ ）2lg,(0)( )2 ,(0)xxf xxx x22( ) 3 ( ) 1yfxf xA 2 B 3 C 5 D 7A 2 B 3 C 5 D 7三、求零点的个数三、求零

11、点的个数画图定零数画图定零数D D四、据零数探参数四、据零数探参数画图定参数画图定参数1、分离参数法、分离参数法例例5 5：已知：已知 没有零点，求没有零点，求a a的取值范围的取值范围. .( )2ln +f xx ax=解：解： 没有零点可以转化为没有零点可以转化为 恒成立问题恒成立问题. .( ) 2ln +00f xx ax= -经验总结：分离出参数之经验总结：分离出参数之后变成了一个函数恒成立后变成了一个函数恒成立的问题的问题.四、据零数探参数四、据零数探参数画图定参数画图定参数2 2、一侧是直线型：参数为直线的斜率，不能分离出参数、一侧是直线型：参数为直线的斜率，不能分离出参数例例6 6：已知函数：已知函数 , ,若若 有两个不同的零点，求有两个不同的零点，求k k的取值范围的取值范围. .32,2()(1) ,02xfxxxx= -( )f xkx=知识小结知识小结常见的零点问题及解法：常见的零点问题及解法：一、直接求函数的零点一、直接求函数的零点二、确定零点的大致位置二、确定零点的大致位置三、求零点的个数三、求零点的个数1、一元三次