2020新课标高考数学讲义：立体几何含解析

1、教学资料范本2020新课标高考数学讲义：立体几何含解析编辑：时间：回顾5立体几何必记知识1 .空间几何体的表面积和体积几何体侧面积表面积体积圆柱S 侧=2 71dS 表=2行(+1)V= S 底 h = <2h圆锥S 侧=<1S 表=<(r + 1)V=S 底 h = 1 <2h33、，1 一 v=a(s 上+ s 下+ 3圆台S 侧=兀 K+r'l )S 表=兀 r2+r2+r1 +r'l) 1 cqs 上 S下)h=-Ttr2- 3r 2+ rr' h)直棱柱S侧=Ch（C为底面周长）V=S底 h正棱锥一 1S侧=2Ch C为底面周长、h为斜

2、高）-1 -一S侧=2（C+ C h） a、S表=S侧+ S上+ S下（棱锥的S上=0）1 . v=qs底h 3正棱台.1 cV= q(S 上+ S 下 + 3C分别为上、卜底面周长、h为斜高）,S上S下)h球S= 4tR24 3V = " tR332.空间线面位置关系的证明方法a / a.c c 一 , . a ,.线线平行：a? 3 ? a/ b、? a/ b、b _L aa Cl # ba II 3a n=r a ?3 rl 开 b(2)线面平行：a / b、a / b? c / b. a / ca / bb? a ? a / a>a? aa_L 3a± 3 ?

3、 aH a.10 / 9(3)面面平行:a? ”，b? aaAb= Oa II 3, b / 3a -L a? a/ , a1 3a/ 3? a丫/ 3(4)线线垂直:a-L a? a±b. b? a(5)线面垂直:a? a, b? aaAb= O ? U a、l±a, l±ba_L 3a n #l ? a a? a, aXia/ 3a/1 b? a± 3、？ ba，aa，a(6)面面垂直:a /Ia±a? 3? a_L & a_L a提醒要注意空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理中的条件.如由0a 3an 3= 1、m1 1、

4、易误得出m，3的结论、就是因为忽视面面垂直的性质定理中m? a的限制条件.3.用空间向量证明平行垂直设直线l的方向向量为a=(ai、bi、ci)、平面a、3的法向量分别为(1= (a2、b2、C2)、尸(a3、b3、c3),则有：(1)线面平行1 / ? aX ? a 下0? aia2+bib2+cic2 = 0.(2)线面垂直1 _L o? a II p?a=k ? ai = ka2、bi= kb2、ci=kc2.(3)面面平行all 仅 i/l u? (1=入u? a2=入 3、b2=入3)、c2 = X 3.(4)面面垂直a_L 仅(i.L u? (1 , =u0? a2a3+ b2b3

5、+ c2c3= 0.4.用向量求空间角(1)直线|1、|2的夹角。有cos 0= |cos|1、12> |(其中11、|2分别是直线|1、|2的方向向量).(2)直线1与平面”的夹角。有sin 0= |cos1、n|(其中1是直线1的方向向量、n是平面 a的法向量).(3)平面“、3的夹角。有cos 0= |cosni、n2|、则对-3二面角的平面角为。或兀一6(其中ni、n2分别是平面a、3的法向量).提醒在处理实际问题时、要注意异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角 的取值范围、要根据具体图形确定二面角的平面角是锐角还是钝角必会结论1 .平行、垂直关系的转化示意图2 .球的组合

6、体(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长、正方体的棱切球的直 径是正方体的面对角线长、正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.6 3(3)球与正四面体的组合体：棱长为 a的正四面体的内切球的半径为12a(正四面体图3 a,1的4）、外接球的半径为乎a（正四面体高必练习题1 .设m、n是两条不同的直线、a> 3是两个不同的平面、有下列四个命题:若m?3n ,则m, a;若 a/ & m? a、则 m / 3；若 n± a> n, 3 m± 公贝U m± 3

7、;若 m / a> m / 3、则 a/ 0其中正确命题的序号是（）A.B.C.D.解析：选D.对于、注意到直线 m可能与平面 “、3的交线平行、此时结论不成立、因此不正确；对于 、直线m与平面3必没有公共点、因此 m/ 3、正确；对于、由m± “、n± a、彳导m/ n、又n± 3、因此m± &正确；对于、平面a、3可能是相交平面、因此 不正确.综上所述、其中正确命题的序号是、选D.2.已知一个圆锥底面半径为1、母线长为3、则该圆锥内切球的表面积为（）B.D. 3兀C. 2兀解析：选C.依题意、作出圆锥与球的轴截面、如图所示、设球的半径

8、为、易知轴截面三角形边AB上的高为20因此咚r =：、解得二22、所以圆锥内切球的表面积为3.已知S、A、B、C是球。表面上的不同点、SAL平面 ABC、AB±BC> AB=1、BC =亚、若球。的表面积为4孤则SA=()B. 1D.C.亚解析：选B.根据已知把S-ABC补成如图所示的长方体.因为球。的表面积为4兀、所以球O 的半径 R= 1、2R= SA2+ 1+2 =2、解得 SA= 1、故选 B.4.棱长都为2的直平行六面体 ABCD-AiBiCiDi中、/ BAD=60°、则对角线 AiC与侧面DCCi Di所成角的正弦值为（）iA. 2B*解析：选C.过点A

9、i作直线AiM±DiCi交CiDi的延长线于点 M、连接CM、可得AiM，平面DDiCiC、则Z AiCM就是直线 AiC与平面DDiCiC所成的角.由所有棱长均为 2及 /AiDiCi=i20°、得 AiM = AiDisin 60° =仙、又 AiC = AiC2l + CC2川（函）2 + 22= 4、AiM _3所以 sin/AiCM = a|c" = ?、故选 C.5 .已知矩形 ABCD、AB=i、BC = 42、将 ABD沿矩形的对角线 BD所在的直线进行翻折、在翻折过程中、（）A.存在某个位置、使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置、

10、使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置、使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置、三对直线“AC 与 BD”“ AB与CD” “ AD与BC”均不垂直解析：选B.若存在某个位置、使得 AC±BD作AEBD于E、贝U BD，平面AEC、所以BDLEC、在 4ABD 中、AB2=BEBD、BE = > 而在 BCD 中、BC2= BE BD、BE = >两者矛盾.故A错误.若存在某个位置、使得 ABLCD、又因为故AC= 1、故B正确、D错误.若存在某个位置.使得 ADLBC、又因为 而斜边CD小于直角边AD、矛盾、故C错误.ABLAD、则 AB，平面 ACD、所以 AB

11、LAC、ADLAB、则 AD，平面 ABC、所以 ADLAC、6 .如图、在四棱锥 P-ACBD中、底面 ACBD为正方形、PD，平面 ACBD、BC=AC=a、PA=PB =2a、PC=3a> 贝U 点 C 到平面 PAB 的 距离为.解析：AB=V2a> 设点 C根据条件可以将四棱锥置于一个正方体中进行研究、如图所示、易知 到平面 PAB 的距离为 h、因为 Vp-ABC= Vc-pab、即1XS“BC PD=T&PAB h、所以1x%2Xa333 2= 3-x 33x（q2a）2xh、解得h=3a、所以点C到平面PAB的距离为333a.答案:Va 37,正方体ABCD

12、-AiBiCiDi的棱长为1、若动点P在线段BDi上运动、则DC AP的取值范 围是.解析：以DA所在的直线为x轴、DC所在的直线为y轴、DDi所在的直线为z轴、建立 空间直角坐标系D-xyz.则 D（0、0、0）、C（0、1、0）、A（1、0、0）、B（1、1、0）、Di（0、0、1）.所以 DC = （0、1、0）、BD1=（1、1、1）.因为点P在线段BD1上运动、所以设BP=/D1 =（-米入 加且0W腐1.所以AP=AB + BP=DC + BP=（入 1米 万、所以 DC AP = 1-0、1.答案：0、18.如图、在正三角形 ABC中、D、E、F分别为各边的中点、G、H 4分别为DE、AF的中点、将 ABC沿DE、EF、DF折成四面