98多元函数的极值及其求法

1、一、多元函数的极值及最大值、最小值一、多元函数的极值及最大值、最小值二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法9.8 多元函数的极值多元函数的极值及其求法及其求法一、多元函数的极值及最大值、最小值一、多元函数的极值及最大值、最小值v极值的定义极值的定义 设函数设函数z f(x y)在点在点(x0 y0)的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义 如果对如果对于该邻域内任何异于于该邻域内任何异于(x0 y0)的点的点(x y) 都有都有 f(x y)f(x0 y0) 则称函数在点则称函数在点(x0 y0)有极大值有极大值(或极小值或极小值)f(x0 y0) 极大值、极小值统称为极值极大值、

2、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点 一、多元函数的极值及最大值、最小值一、多元函数的极值及最大值、最小值v极值的定义极值的定义 设函数设函数z f(x y)在点在点(x0 y0)的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义 如果对如果对于该邻域内任何异于于该邻域内任何异于(x0 y0)的点的点(x y) 都有都有 f(x y)f(x0 y0) 则称函数在点则称函数在点(x0 y0)有极大值有极大值(或极小值或极小值)f(x0 y0) 例例1 函数函数z 3x2 4y2在点在点(0 0)处有极小值处有极小值 提示提示: : 当当(x y) (0 0)时时 z 0

3、而当而当(x y) (0 0)时时 z 0 因此因此z 0是函数的是函数的极小值极小值 一、多元函数的极值及最大值、最小值一、多元函数的极值及最大值、最小值v极值的定义极值的定义 设函数设函数z f(x y)在点在点(x0 y0)的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义 如果对如果对于该邻域内任何异于于该邻域内任何异于(x0 y0)的点的点(x y) 都有都有 f(x y)f(x0 y0) 则称函数在点则称函数在点(x0 y0)有极大值有极大值(或极小值或极小值)f(x0 y0) 提示提示: :当当(x, y)=(0, 0)时时, z=0, 而当而当(x, y) (0, 0)时时, z 0. 因此

4、因此z=0是函数的是函数的极大值极大值. 函数22yxz在点(0 0)处有极大值 例例2 提示提示: : 因为在点因为在点(0 0)处的函数值为零处的函数值为零 而在点而在点(0 0)的任一邻域的任一邻域内内 总有使函数值为正的点总有使函数值为正的点 也有使函数值为负的点也有使函数值为负的点 例例3 函数函数z xy在点在点(0 0)处既不取得极大值也不取得极小处既不取得极大值也不取得极小值值 一、多元函数的极值及最大值、最小值一、多元函数的极值及最大值、最小值v极值的定义极值的定义 设函数设函数z f(x y)在点在点(x0 y0)的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义 如果对如果对于该邻域内

5、任何异于于该邻域内任何异于(x0 y0)的点的点(x y) 都有都有 f(x y)f(x0 y0) 则称函数在点则称函数在点(x0 y0)有极大值有极大值(或极小值或极小值)f(x0 y0) 说明说明: : v定理定理1(取得极值的必要条件取得极值的必要条件) 设函数设函数z f(x y)在点在点(x0 y0)具有偏导数具有偏导数 且在点且在点(x0 y0)处处有极值有极值 则有则有 fx(x0 y0) 0 fy(x0 y0) 0 类似地可推得类似地可推得 如果三元函数如果三元函数u f (x y z)在点在点(x0 y0 z0)具具有偏导数有偏导数 则它在点则它在点(x0 y0 z0)具有极

6、值的必要条件为具有极值的必要条件为fx(x0 y0 z0) 0 fy(x0 y0 z0) 0 fz(x0 y0 z0) 0 从几何上看从几何上看 这时如果曲面这时如果曲面z f(x y)在点在点(x0 y0 z0)处有切处有切平面平面 则切平面则切平面z z0 fx(x0 y0)(x x0) fy(x0 y0)(y y0)成为平行于成为平行于xoy坐标面的平面坐标面的平面z z0 凡是能使凡是能使fx(x y) 0 fy(x y) 0同时成立的点同时成立的点(x0 y0)称为函称为函数数z f(x y)的驻点的驻点 v驻点驻点 设函数设函数z f(x y)在点在点(x0 y0)具有偏导数具有偏

7、导数 且在点且在点(x0 y0)处处有极值有极值 则有则有 fx(x0 y0) 0 fy(x0 y0) 0 讨论讨论: : 驻点与极值点的关系怎样？驻点与极值点的关系怎样？提示提示: : 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点具有偏导数的函数的极值点必定是驻点 函数的驻点不一定是极值点函数的驻点不一定是极值点 v定理定理1(取得极值的必要条件取得极值的必要条件) v定理定理2(取得极值的充分条件取得极值的充分条件) 设函数设函数z f(x y)在点在点(x0 y0)的某邻域内连续且有一阶及二的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数阶连续偏导数 又又fx(x0 y0) 0 fy(x0 y0) 0 令令

8、fxx(x0 y0) a fxy(x0 y0) b fyy(x0 y0) c 则则f (x y)在在(x0 y0)处是否取得极值的条件如下处是否取得极值的条件如下: : (1)ac b20时具有极值时具有极值 且当且当a0时时有极小值有极小值 (2)ac b20时没有极值时没有极值 (3)ac b2 0时可能有极值时可能有极值 也可能没有极值也可能没有极值 v应注意的问题应注意的问题 不是驻点也可能是极值点不是驻点也可能是极值点 因此因此 在考虑函数的极值在考虑函数的极值问题时问题时 除了考虑函数的驻点除了考虑函数的驻点外外 如果有偏导数不存在的点如果有偏导数不存在的点 那么对这些点也应当考虑

9、那么对这些点也应当考虑 但但(0 0)不是函数的驻点不是函数的驻点 例如 函数22yxz在点(0 0)处有极大值 v最大值和最小值问题最大值和最小值问题 如果如果f(x y)在有界闭区域在有界闭区域d上连续上连续 则则f(x y)在在d上必定能上必定能取得最大值和最小值取得最大值和最小值 讨论讨论: : 比较极值的大小就能确定函数的最大值和最小值吗？比较极值的大小就能确定函数的最大值和最小值吗？提示提示: : 不能不能 最大值和最小值也可能在区域的边界上取得最大值和最小值也可能在区域的边界上取得 而极而极值是在区域的内部求得的值是在区域的内部求得的 使函数取得最大值或最小值的点既可能在使函数取

10、得最大值或最小值的点既可能在d的内部的内部 也也可能在可能在d的边界上的边界上 v最大值和最小值的求法最大值和最小值的求法 将函数将函数f(x y)在在d内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在d的边界的边界上的最大值和最小值相互比较上的最大值和最小值相互比较 其中最大的就是最大值其中最大的就是最大值 最小最小的就是最小值的就是最小值 如果函数如果函数f(x y)的最大值的最大值(最小值最小值)一定在一定在d的内部取得的内部取得 而函数在而函数在d内只有一个驻点内只有一个驻点 那么该驻点处的函数值就是函那么该驻点处的函数值就是函数数f(x y)在在d上的最大值上的最大值(最小值最小

11、值) v最大值和最小值问题最大值和最小值问题 如果如果f(x y)在有界闭区域在有界闭区域d上连续上连续 则则f(x y)在在d上必定能上必定能取得最大值和最小值取得最大值和最小值 二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法v条件极值条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值对自变量有附加条件的极值称为条件极值 上述问题就是求函数上述问题就是求函数v xyz在条件在条件2(xy yz xz) a2下的最下的最大值问题大值问题 这是一个条件极值问题这是一个条件极值问题 例如例如 求表面积为求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题而体积为最大的长方体的体积问题 设长方体的三棱的

12、长为设长方体的三棱的长为x y z 则体积则体积v xyz 又因假定表面积为又因假定表面积为a2 所以自变量所以自变量x y z还必须满足附加还必须满足附加条件条件2(xy yz xz) a2 求条件极值的方法求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值将条件极值化为无条件极值 例如例如 求求v xyz在条件在条件2(xy yz xz) a2下的最大值下的最大值 有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题有时可以把条件极值问题化为无条件极值问题 这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题这就把求条件极值问题转化成了求无条件极值问题 二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法v条

13、件极值条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值对自变量有附加条件的极值称为条件极值 由条件2)( 2axzyzxy 解得)( 222yxxyaz 于是得 )(2(22yxxyaxyv (2)用拉格朗日乘数法用拉格朗日乘数法 在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值在多数情况下较难把条件极值转化为无条件极值 需要需要用一种求条件极值的专用方法用一种求条件极值的专用方法 这就是拉格朗日乘数法这就是拉格朗日乘数法 下面导出函数下面导出函数z f(x y)在条件在条件j j(x y) 0下取得的极值的必下取得的极值的必要条件要条件 假定假定f(x y)及及j j(x y)有各种所需要的条件有各

14、种所需要的条件 求条件极值的方法求条件极值的方法 (1)将条件极值化为无条件极值将条件极值化为无条件极值二、条件极值二、条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法v条件极值条件极值 对自变量有附加条件的极值称为条件极值对自变量有附加条件的极值称为条件极值 提示提示: : 0),(),(000000 xxyxxxdxdyyxfyxfdxdz v取得极值的必要条件取得极值的必要条件 设函数设函数z f(x y)在附加条件在附加条件j j(x y) 0下在下在(x0 y0)取得极值取得极值 把由方程把由方程j j(x y) 0所确定函数所确定函数y y y(x)代入函数代入函数z f(x y) 得一元函

15、数得一元函数z fx y y(x) 于是于是x x0是函数是函数z fx y y(x)的极值点的极值点 因因此有此有即 0),(),(),(),(00000000yxyxyxfyxfyxyxjj 0),(),(),(),(00000000yxyxyxfyxfyxyxjj 则则 j j(x0 y0) 0 提示提示: : v取得极值的必要条件取得极值的必要条件 设函数设函数z f(x y)在附加条件在附加条件j j(x y) 0下在下在(x0 y0)取得极值取得极值 0),(),(),(),(00000000yxyxyxfyxfyxyxjj 则则 j j(x0 y0) 0 0),(0),(),(0

16、),(),(0000000000yxyxyxfyxyxfyyxxjjj 上述等式等价于上述等式等价于 此处),(),(0000yxyxfyyj 0),(0),(),(),(0),(),(),(00000000000000yxyxyxfyxfyxyxfyxfyyyxxxjjj 设设f(x y) f(x y) jj(x y), 则上述等式还可写成则上述等式还可写成v取得极值的必要条件取得极值的必要条件 设函数设函数z f(x y)在附加条件在附加条件j j(x y) 0下在下在(x0 y0)取得极值取得极值 0),(),(),(),(00000000yxyxyxfyxfyxyxjj 则则 j j(

17、x0 y0) 0 0),(0),(),(0),(),(0000000000yxyxyxfyxyxfyyxxjjj 上述等式等价于上述等式等价于 v拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数要找函数z f(x y)在附加条件在附加条件j j(x y) 0下的可能极值点下的可能极值点 可以先作辅助函数可以先作辅助函数(拉格朗日函数拉格朗日函数)f(x y) f(x y) jj(x y) 其中其中 为某一常数为某一常数(拉格朗日乘子拉格朗日乘子) 然后解方程组然后解方程组 上述方程组的解上述方程组的解(x y)就是所要求的可能的极值点就是所要求的可能的极值点 对于所求得的可能的极值点还需判断是否是极值点

18、对于所求得的可能的极值点还需判断是否是极值点 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定 0),(0),(),(),(0),(),(),(yxyxyxfyxfyxyxfyxfyyyxxxjjj 例例7 求表面积为求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积而体积为最大的长方体的体积 设长方体的三个棱长设长方体的三个棱长x y z 则问题就是求函数则问题就是求函数v xyz在条件在条件2(xy yz xz) a2下的最大值下的最大值 作拉格朗日函数作拉格朗日函数 22220)(2),(0)(2),(0)(2),(axzyzxyxyxyzyxfzxxzzyxfzyyzzyxfzyx 解方程组解方程组f(x y z) xyz (2x