因式分解在中学数学教学中意义和作用探究

1、因式分解在中学数学教学中意义和作用探究因式分解，也可以叫做分解因式，是多项式理论的中心内容之一，是代数中一种重要的恒等变形，它是学习 数学和科学技术不可缺少的基础知识。在中学阶段，应该扎 扎实实地进行因式分解教学研究。一、因式分解的意义1.有关多项式因式分解的基本概念定义1:设f (x)是数域p上的多项式。若存在数域p上的多项式g(x)、e (x),使f(x)=g(x)e (x),则g(x)和4) (x)都称为f (x)的因式。设f(x)是数域p上的多项式，c为p的任一不为零的数。因为f (x)二cf (x),所以(与f (x)也都是f (x) 的因式。为了与其它因式相区别，把这种非零的数以及

2、与f(x)只相差一个非零常数因子的多项式称为f(x)的当然 因式，f (x)的其它因式称为f(x)的非当然因式。定义2：设f (x)是数域p上的多项式。若f (x)没有非当然因式，则称f (x)在p上既约(不可约)，否则称为在p上可约。关于既约多项式，在髙等代数中证明过如下因式分解及唯一性定理:定理1：数域卩上的任一个n次(nnl)多项式f (x), 都可以表示成p上的一些既约多项式的乘积的形式：f (x) 二pl (x) p2 (x) -pk (x),其中 pl (x)、p2 (x)、pk (x)都是p上的既约多项式。而且，除常数因子与因式次 序外，这种形式是唯一的。上述定理为多项式因式分解

3、的可能性提供了理论根据。定义3：在给定的数域p上，把一个多项式表示成若干 个既约多项式的乘积的形式，称为在p上的多项式的因式分 解。2深刻理解因式分解的意义定义3是多项式因式分解的严格定义，其含义主要有如 下几点：(1) 因式分解是相对于某一数域p而言的。(2) 因式分解一定要表示成积的形式，它与整式乘法 不同，是与之方向相反的恒等变形。(3) 分解指的是分解为非当然因式。(4) 分解所得的各个因式必须都是多项式，不能是分 式，也不能是无理式或其它。(5) 分解所得的各个因式，在指定的数域p上都是既 约的。(6) 在不计非零常数因子及因式次序的意义下，分解式是唯一的。以上这些概念，在中学不适宜

4、全部引进，但作为中学数 学教师应该全部掌握，以便于深入浅出地去进行教学。3.中学时因式分解概念教学的处理办法既然因式分解的严格定义(定义3)对因式分解的意义 阐述得比较明确，为什么在中学课本中不采用呢？其原因在 于：(1) 中学课本把单项式与多项式用对立的观点处理。(2) 开始讲因式分解时仅仅是在有理数域上，故可约 与否的相对性无从谈起。(3) 在有理数域上(或实数域上)证明一个多项式为 不可约多项式，是学生力不能及的。(4) 中学讲授因式分解的目的偏重在方法，而不在理 论。在中学课本中，一方面以“把一个多项式化为几个整式 的积的形式叫做多项式因式分解”来代替上述的严格定义， 另一方面又加了注

5、意点："分解因式必须分解到每一个因式 都不能再分解为止。”这样做的最大好处在于通俗易懂，便 于中学生接受，但也存在着一个缺点，就是某些含义不够明 确，例如4x2t=4 (x2)式子是不是因式分解？显然，它 符合中学课本中因式分解的定义，但这样的分解对我们研究 问题帮助不大，这正如在算术中把一个合数分解为1与这个 合数本身的乘积一样(如4=1x4),我们需要的并不是这样 的分解。又如 4x2-16二(2x+4) (2x-4) =2 (x+2) (2x-4) =4 (x+2) (x-2) =16 (x+l) (x-l) =这些非当然因子之间仅相差一个'非零常数因子”，因 此在精准

6、到'非零常数因子”的意义下，上述各个结果都一 样。对于整系数多项式，如果这些系数有公因数的话，那么 一般是先提取它们的最大公因数，然后进行分解。至于到底 在哪个数域上分解因式，当然是按照题目指定的要求去做。 如果没有指明这一点，则应根据学生接触到的数的概念到了 哪个阶段而定。二、因式分解在教材中的地位、作用1.多项式因式分解在全部中学代数课程中占着重要的 地位，它是今后进一步学习的必备基础知识。在初中阶段， 归纳起来有以下几点：(1) 它是分式中研究约分、通分、分式的化简和计算 的基础；(2) 利用因式分解的知识，有时可使某些数值计算合 理、简便；(3) 因式分解与解方程(组)密切相关

7、。不仅二次方 程有时用十字相乘法分解因式去解要比用求根公式去解来 得简便，而且有些高次方程或超越方程非要用因式分解法不 可，如解方程 x3-48x+7=0.解：x3+7x2-7x2-48x+7二0x2 (x+7) (7x2+48x-7)二0x2 (x+7) - (x+7) (7x-l) =0(x+7) (x2-7x+l)二0/.xl=-7, x2, 3二.又如解方程5x-3+5x-2+5x-1=775解：5x-3 (1+5+52)二7755x-3=52x_3-2i x=5.从以上可以看到，如果没有因式分解知识，对于解这类 方程是难以下手的。(4) 对于解不等式(组)，常常需要先因式分解；(6)

8、应用因式分解的知识，可以将一多项式和差化积, 在变形后便于取对数简化计算。2因式分解是集变形之大成，是以前所学知识的综合应 用，对于巩固已学知识大有帮助。因式分解过程中常用的数学知识点有：(1)五大基本运 算定律；(2)指数律；(3)符号法则；(4)乘法公式。因式 分解本身是重要的恒等变形之一，它是各种运算及代数式恒 等变形的综合应用，几乎触及到恒等变形的大部分技能和技 巧：如提取公因式、添括号、拆项、添项(包括配方法)等, 所以因式分解不仅是初中数学的一个重点，也是一个难点。3因式分解对于发展学生的逻辑推理能力，以及培养学生的 解题技巧、技能都有着独特的作用。为此，因式分解的教学 目的是：（1）使学生明确多项式因式分解的意义；熟练掌握 因式分解的几种基本方法。（2）培养学生分析问题和解决问 题的能力。三、因式分解的基本问题和研究方向（一）两个基本问题多项式因式分解主要讨论两个基本问题，一个是怎样判 断一个多项式是可约的；另一个是如果一个多项式是可约 的，究竟如何去分解？关于第一个问题，在高等代数里已经做了回答，现在简 单回顾一下：1在复数域c