平面向量数量积第一课时公开课

1、2.4.1平面向量数量积的平面向量数量积的物理背景及其含义物理背景及其含义问题问题1:（1）一个物体在力F 的作用下产生的位移s，那么力F 所做的功：W= （2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：）这个公式的有什么特点？请完成下列填空： W（功）是（功）是_ 量，量， F（力）是（力）是_ 量，量， S（位移）是（位移）是_ 量量. 位移SOAF一、向量数量积的物理背景一、向量数量积的物理背景|F| |s|cos 标向向一、平面一、平面向量的数量积向量的数量积(内积内积)的的定义定义ab |a|b |cos a b () 已知两个非零向量和 ，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积 或内积

2、 。 a b , 记为： a b= |a|b|cos 即。0a 0=0 规定：零向量与任一向量的数量积为 ，即。OABba cosbaba的的数数量量即即有有向向线线段段的的方方向向上上的的投投影影，在在向向量量叫叫做做向向量量OBab1Bcosb数量积数量积 a b 等于等于a 的模的模| a |与与 b 在在 a 的方向的方向上的投影上的投影| b |cos 的乘积的乘积.问题问题2：数量积有没有几何意义呢？：数量积有没有几何意义呢？3 3、数量积的主要性质、数量积的主要性质是两个非零向量设ba, 01baba(点积为零是判定两向量垂直的条件点积为零是判定两向量垂直的条件)(用于计算向量的

3、模用于计算向量的模)0,00?aa bb 思考：当时ba2,aba bab（ ）当 和 同向时baba,反向时和当2,aaa特别地2aaaa .cos.3baba用于计算向量的夹角用于计算向量的夹角,以及判断三角形的形状以及判断三角形的形状 baba.4例例1.已知已知 ， 的夹角的夹角=120=120， 求求 。| 5,| 4abab 与与a b 解：解：|cos5 4 cos12015 4 ()210= a ba b 1| |cosa2|cosb2|cosbOAEFBD 12Ccos|cosOFOBababc练习2：acbcabc在图中作出 在 上的投影， 在 上的投影以及在 上的投影，并

4、且用式子表示出来。G问题3：数量积类似实数的乘积，那么它跟实数乘积一样也具有相应的运算性质吗？向量数量积的运算律：向量数量积的运算律：向量 a bb acosb a交换律：实数交换律：实数ab=ba分配律：实数分配律：实数a(b+c)=ab+acb a+()a bca c b c 向量?结合律：实数结合律：实数(ab)c=a(bc)abab向量（ ）（）？课下思考：课下思考：如果变为如果变为3个个向量的情况，向量的情况，结合律还成结合律还成立吗？立吗？=a bcosa b?1| |cosa2|cosb2|cosbOAEFBD12C+()a bca cb c 证明:cos|cosOFOBabab

5、c分析：cos,ab cab ccos,a ca c cos,b cb ccos,cos,cos,abab caa cbb c 例例2.我们知道，对任意我们知道，对任意 ，恒有，恒有, a bR22222()2,()().abaabbab abab对任意向量对任意向量 是否也有下面类似的结论？是否也有下面类似的结论？, ,a b 22222()2;()().abaa bbab abab (1)(1)(2)(2)22212( )()() () abababa aa bb ab baa bb 解解： 222( )() () ababa aa bb ab bab 例例3.已知已知 ， 的夹角的夹角6

6、060， 求求 。| 6,| 4abab 与与(2 ) (3 ),|ababab: (2 ) (3 )6ababa aa bb b 解 22|cos6|aa bb22|6|aa bb 2266 4 cos606 472 例4：=3,=4,k+k-kabababab已知与 不共何值，向量与相互垂直？线 为时解：+k-k+k-k=0aba baba b与互相垂直，（） （）则22=3 =9a22=4 =16b29-16=0k33=-44kk或33=-+k-k44kkabab也就是，或，与相互垂直说当时小结：a a1、定义：3、性质：4、交换律：2、投影：= |a|b|cos ba|b|cos 在 上的投影为设a与b都是非零向量，为a与b的夹角(2)当a与b同向时，ab=|a| |b|当a与b反向时，ab=-|a| |b|aa |a|或|a|a ba bb a分配律：a b ab（ ）（）结合律：+()ab c a c b c 01baba作业P