应用随机过程4.4Lundberg-Cramer破产论

1、4.3 Lundberg-Cramer 破产理论破产理论本节是更新理论的应用，就是利用更新理论来估计本节是更新理论的应用，就是利用更新理论来估计保险公司的破产概率；首先介绍保险公司的破产概率；首先介绍Lundberg-Cramer经典破产模型，接着依据更新理论得到相应的结论经典破产模型，接着依据更新理论得到相应的结论.一、一、设保险公司在时刻设保险公司在时刻t的盈余（的盈余（surplus）表示为：）表示为：N(t)kk 1U(t)u+ctX， t0,Lundberg-Cramer经典破产模型经典破产模型N(t)kk 1S(t)Xt从而，表示时刻 之前保险公司的(aggregate clai索

2、赔总额ms).u这里的 是保险公司的初始资本，c是保费收入率(即公司单位时间收取的保险费)，kXk1k，表示第 次N(t)t索赔额，表示到时刻 所发生的索赔次数.上述模型就是上述模型就是L-C经典破产模型经典破产模型.推导推导见黑板见黑板.另外，此模型必须满足三个基本假设：另外，此模型必须满足三个基本假设：k1kXk1FXN(t)t0( 0)Po1issonXk1. ，是一列恒正的独立同分布的随机变量，记 (x), 分别是的分布函数和期望；，是参数为的过程，且与，假 相互独立设由假设由假设1中的独立性知，中的独立性知，1ES(t)=EN(t) EX. t索赔总额的期望索赔总额的期望我们观察：盈

3、余过程的一条样本路径我们观察：盈余过程的一条样本路径(见黑板见黑板).保险公司为了安全起见，都会要求保险公司为了安全起见，都会要求ctES(t)=(c-)t 0 ， 由此，需要下述假由此，需要下述假设设 c=(1+ ),02. , 其中假设称为相对安全负载相对安全负载(relative securityloading).由上述的样本路径可以看出：由上述的样本路径可以看出：保险公司的盈余过程在某一瞬间可能取负值，此保险公司的盈余过程在某一瞬间可能取负值，此时称该公司时称该公司“破产破产”.破产时刻：破产时刻：Tinft:U(t)0 ；(最终最终)破产概率：破产概率：(u)PT |U(0)uu0.

4、，直观理解：直观理解：T就是保险公司的资产就是保险公司的资产U(t)首次为负的时刻首次为负的时刻.T 意味着公司破产发生在有限时间内，从而意味着公司破产发生在有限时间内，从而(u)即为公司在有限时间内发生破产的概率即为公司在有限时间内发生破产的概率.Lundberg-Cramer 考虑的就是保险公司的考虑的就是保险公司的(最终最终)破产破产概率概率, 它可以作为评价保险公司偿付能力的一个数量它可以作为评价保险公司偿付能力的一个数量指标指标. (意义所在意义所在)一般地，保险公司的索赔额分为两类：一般地，保险公司的索赔额分为两类：小索赔小索赔: 额度很小的索赔额度很小的索赔 (light-tai

5、led claim)；大索赔：大索赔：额度很大的索赔额度很大的索赔 (heavy-tailed claim).在数学上，对小在数学上，对小(大大) 索赔有严格的定义索赔有严格的定义. 接下来我们接下来我们对对“小索赔小索赔” 的定义有如下假设给出：的定义有如下假设给出：假设假设 3(调节系数存在唯假设3. 一假设)cM)1r ( )(rX 其次，方程 存在正解.00M (r)=Ee( )11( )rXrxrxXe dF xreF x dx 首先，要求单个索赔额的矩母函数至少在某个包含原点的邻域内存在；注：注： (1) 有上述假设知，所谓有上述假设知，所谓“小索赔小索赔”就是其矩母函数就是其矩母

6、函数再原点附近存在再原点附近存在.X( )M ( )Rr 由于是严格增加的凸函数，故如果有正根，则必唯一，记作( )调，称为节系数.二、二、主要结论主要结论关于破产概率，我们有下述定理：关于破产概率，我们有下述定理：1(1)( 4.8 01 ) 若假设1)-3)皆成立，则有； 定理Ru( )Lundberg(u)eu0 不等式： ，；Ru(3)Lundberg-CramerC(u)eu 近似：存在正常数 ，使得，注注: 结论结论(1)得到了保险公司初始资本为得到了保险公司初始资本为0时的破产概率时的破产概率.结论结论(2)给出了破产概率的上界，也叫给出了破产概率的上界，也叫Lundberg界界.结论结论(3)告诉了破产概率渐进表达式，即当告诉了破产概率渐进表达式，即当u充分大时，充分大时，破产概率与指数函数等阶无穷小破产概率与指数函数等阶无穷小.补充：补充：延迟更新过程延迟