D14函数的极限复习版1

1、 第一章 一、自变量趋于一、自变量趋于无穷大无穷大时函数的极限时函数的极限第四节, )(xfy 对0)4(xx 0)5(xx0)6(xxx) 1 (x)2(x) 3(自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于二、自变量趋于有限值有限值时函数的极限时函数的极限本节内容本节内容 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极限 定义定义1 . ,0x,)(,axfxx有时当则axfx)(lim)()(xaxf当或,0机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限例例1. 证明. 01limxx注注:oxyxy1.10的水平渐近线为xyyxxysi

2、n 例例2 2. 0sinlim xxx证明证明.)(,)(lim:的图形的水平渐近线的图形的水平渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfycycxfx 定义定义2. ,0,0当00 xx时, 有 axf)(axfxx)(lim0或)()(0 xxaxf当机动 目录 上页 下页 返回 结束 那么二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限定义定义3-4. 左（右）极限左（右）极限 ！左极限 :)(0 xfaxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( axf右极限 :)(0 xfaxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( a

3、xf结论：结论：axfxx)(lim0axfxfxxxx)(lim)(lim00( p38 题8 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证明1lim(21)1xx211lim2.1xxx00,x )(lim0为常数cccxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明例例5. 证明例例6. 证明: 当.lim00 xxxx二、函数收敛的性质二、函数收敛的性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似数列极限的性质有：类似数列极限的性质有：性质性质1：极限惟一性。见定理：极限惟一性。见定理 1.12性质性质2：局部有界性。见定理：局部有界性。见定理 1.13性质性质3：局部保序性。

4、见定理：局部保序性。见定理 1.14 推论推论1：逆否命题：逆否命题 推论推论2：g(x) 为常数函数。为常数函数。性质性质4：极限均存在，可四则运算。见定理：极限均存在，可四则运算。见定理 1.15机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质性质 5：复合函数的极限。见定理：复合函数的极限。见定理 1.16 例如：例如：f(x) = sin sin sin x, 当当 x 趋于趋于0.性质性质 6：函数极限与数列极限的关系：函数极限与数列极限的关系.见定理见定理 1.17 例如：例如：f(n) = sin 1/n, 当当n 趋于无穷趋于无穷！question：如何判断函数的极限不存在？：如何判断

5、函数的极限不存在？方法：运用方法：运用2个推论（见书个推论（见书 p45）的不同数列法法1 找一个数列:nx,0 xxn)(0nxxn且使)(limnnxf法法2 找两个趋于0 xnx及 ,nx使)(limnnxf)(limnnxf不存在 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例题可见：书上例例题可见：书上例 13。1、函数极限与数列极限的关系、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则及夹逼准则三、极限存在准则及两个重要极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 2、二个重要极限、二个重要极限1. 函数极限存在的两边夹（夹逼）准则函数极限存在的两边夹（夹逼）准则（见定理（见定理 1.18与定理

6、与定理 1.19）定理定理.,),(0时当xxaxhxgxxxx)(lim)(lim00, )()(xhxg)(xfaxfxx)(lim0)0( xx)(x)(x)(x且( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 1sincosxxx圆扇形aob的面积二、二、 两个重要极限两个重要极限 1sinlim. 10 xxx证证: 当即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然有aob 的面积aod的面积dcbax1oxxxcos1sin1故有注注注 目录 上页 下页 返

7、回 结束 2.exxx)1(lim1证证: 当0 x时, 设, 1nxn则xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim1机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 两个重要极限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表达式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例3. 求.a

8、rcsinlim0 xxx解解: 令,arcsin xt 则,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求.cos1lim20 xxx解解: 原式 =2220sin2limxxx212121说明说明: 计算可利用1)()(sinlim0)(xxx20sinlimx2x2x21机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求.)1 (lim1xxx解解: 令,xt则xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1说明说明 ：若利用,)1 (lim)()(1)(exxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 原式111)1 (limexxxlimx例例6. 求.)cos(sinlim11xxxx解解: 原式 =2)cos(sinlim211xxxx2)sin1 (lim2xxx)sin1(2xexx22sin机动 目录 上页 下页 返回 结束 x2sin1判别法判别法 2： 柯西收敛准则！见柯西收敛准则！见 定理定理 1.20