matlab-常微分方程

1、 matlab常微分方程求解函数函数 dsolve 格式：格式：r = dsolve(eq1,eq2,cond1,cond2,v)b)x(yaxd)x(ycxf)x(yex (4)若边界条件少于方程（组）的阶数，若边界条件少于方程（组）的阶数，则返回的结果则返回的结果r中会出现任意常数中会出现任意常数C1，C2，；(5) dsolve命令最多可以接受命令最多可以接受12个输入参个输入参量（包括方程组与定解条件个数，当然我量（包括方程组与定解条件个数，当然我们可以做到输入的方程个数多于们可以做到输入的方程个数多于12个，只个，只要将多个方程置于一字符串内即可）。要将多个方程置于一字符串内即可）。

2、(6)若没有给定输出参量，则在命令窗口显若没有给定输出参量，则在命令窗口显示解列表。若该命令找不到解析解，则返示解列表。若该命令找不到解析解，则返回一警告信息，同时返回一空的回一警告信息，同时返回一空的sym对象。对象。这时，用户可以用命令这时，用户可以用命令ode23或或ode45求解方程组的数值解。求解方程组的数值解。例例1 dsolve(D2y = -a2*y,y(0) = 1,Dy(pi/a) = 0,x) 0)/(1)0(2ayyyayans=cos(a*x) dsolve(D2y = -a2*y, y(0) = 1,Dy(pi/a) = 0)例例2 u,v = dsolve(Du=

3、v,Dv=u)uvvuu = C1*exp(-t)+C2*exp(t)V=-C1*exp(-t)+C2*exp(t)Matlab专门用于求解常微分方程的函专门用于求解常微分方程的函数，主要采用数，主要采用Runge-Kutta方法：方法：ode23, ode45, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tbT,Y = solver(odefun,tspan,y0) T,Y = solver(odefun,tspan,y0,options)T,Y =solver(odefun,tspan,y0,options,p1,p2) （1）solver为命令为命令Ode

4、45,ode23,ode113,ode15s,ode23s,ode23t,ode23tb之一。之一。（2）odefun 为常微分方程为常微分方程y=f(x,y)，或为包含一混合矩阵的方程或为包含一混合矩阵的方程(x,y)*y=f(x,y).（3）tspan 积分区间（即求解区间）的向积分区间（即求解区间）的向量量tspan=t0,tf。要获得问题在其他指定。要获得问题在其他指定时间点时间点t0,t1,t2,上的解，则令上的解，则令tspan=t0,t1,t2,tf（要求是单调的）。（要求是单调的）。（4）y0 包含初始条件的向量。包含初始条件的向量。（5）options 用命令用命令odese

5、t设置的可选设置的可选积分参数积分参数.（6）p1,p2, 传递给函数传递给函数odefun的可选的可选参数。参数。 T,Y = solver(odefun,tspan,y0) T,Y = solver(odefun,tspan,y0,options)T,Y =solver(odefun,tspan,y0,options,p1,p2)求解具体求解具体ODE的基本过程的基本过程：（1）根据问题所属学科中的规律、定律、）根据问题所属学科中的规律、定律、公式，用微分方程与初始条件进行描述。公式，用微分方程与初始条件进行描述。F(y,y,y,y(n),t) = 0y(0)=y0,y(0)=y1,y(n

6、-1)(0)=yn-1而而y=y;y(1);y(2);,y(m-1)，n与与m可以不等可以不等求解具体求解具体ODE的基本过程的基本过程： ),(),(),(2121ytfytfytfyyyynn nnyyyyyyy10210)0()0()0(不同求解器不同求解器Solver的特点的特点求解器求解器SolverODE类型类型特点特点说明说明ode45ode45非非刚刚性性一步算法；一步算法；4 4，5 5阶阶Runge-KuttaRunge-Kutta方方程；累计截断误程；累计截断误差达差达( (x)x)3 3大部分场合的首大部分场合的首选算法选算法ode23ode23非非刚刚性性一步算法；一

7、步算法；2 2，3 3阶阶Runge-KuttaRunge-Kutta方方程；累计截断误程；累计截断误差达差达( (x)x)3 3使用于精度较低使用于精度较低的情形的情形求解器求解器SolverODE类类型型特点特点说明说明ode113ode113非非刚刚性性多步法；多步法；AdamsAdams算算法；高低精度均可法；高低精度均可到到1010-3-31010-6-6计算时间比计算时间比ode45ode45短短ode23tode23t适适度度刚刚性性采用梯形算法采用梯形算法适度刚性情形适度刚性情形ode15sode15s刚刚性性多步法；多步法；GearsGears反向数值微分；精反向数值微分；精

8、度中等度中等若若ode45ode45失效时，失效时，可尝试使用可尝试使用不同求解器不同求解器Solver的特点的特点求解器求解器SolverODE类类型型特点特点说明说明ode23sode23s刚刚性性一步法；一步法；2 2阶阶RosebrockRosebrock算法；算法；低精度低精度当精度较低时，当精度较低时，计算时间比计算时间比ode15sode15s短短ode23tbode23tb刚刚性性梯形算法；低精梯形算法；低精度度当精度较低时，当精度较低时，计算时间比计算时间比ode15sode15s短短参数设置参数设置属性名属性名取值取值含义含义AbsTol有效值：有效值：正实数或正实数或向量

9、向量缺省值：缺省值：1e-6绝对误差对应于解向量绝对误差对应于解向量中的所有元素；向量则中的所有元素；向量则分别对应于解向量中的分别对应于解向量中的每一分量每一分量RelTol有效值：有效值：正实数正实数缺省值：缺省值：1e-3相对误差对应于解向量相对误差对应于解向量中的所有元素。在每步中的所有元素。在每步(第第k步步)计算过程中，误计算过程中，误差估计为：差估计为：e(k)=max(RelTol*abs(y(k),AbsTol(k)参数设置参数设置属性名属性名取值取值含义含义NormControl有效值：有效值：on、off缺省值：缺省值：off为为on时，控制解向量时，控制解向量范数的相对

10、误差，使每范数的相对误差，使每步计算中，满足：步计算中，满足：norm(e)1缺省值：缺省值：k = 1若若k1，则增加每个积分，则增加每个积分步中的数据点记录，使步中的数据点记录，使解曲线更加的光滑解曲线更加的光滑参数设置参数设置属性名属性名取值取值含义含义Jacobian有效值：有效值：on、off缺省值：缺省值：off若为若为on时，返回相应时，返回相应的的ode函数的函数的Jacobi矩矩阵阵Jpattern有效值：有效值：on、off缺省值：缺省值：off为为on时，返回相应的时，返回相应的ode函数的稀疏函数的稀疏Jacobi矩阵矩阵参数设置参数设置属性名属性名取值取值含义含义Ma

11、ss有效值：有效值：none、M、M(t)、M(t,y)缺省值缺省值：noneM：不随时间变化的常：不随时间变化的常数矩阵数矩阵M(t)：随时间变化的矩：随时间变化的矩阵阵M(t,y)：随时间、地点变：随时间、地点变化的矩阵化的矩阵MaxStep有效值：有效值：正实数正实数缺省值：缺省值：tspans/10最大积分步长最大积分步长例例3 1)0(2xxx00.20.40.60.810.50.550.60.650.70.750.80.850.90.951time t0=0,tt=1x values x(0)=1例例4 20)0(30)0(04. 002. 001. 01 . 02121222111xxtxxxxtxxxx运行命令文件运行命令文件runf3.mt,x=ode45(function3,0,20,30;20);plot(t,x);xlabel(time t0=0,tt=20);ylabel(x values x1(0)=30,x2(0)=20);05101520020406080100120time t0=0,tt=20 x values x1(0)=30,x2(0)=20例例5 0)0( , 1)0(01)1(222yydtdyyd