圆周运动——临界问题

1、圆周运动非匀速非匀速圆周运动圆周运动匀速匀速圆周运动圆周运动角速度、周期、频率不变，角速度、周期、频率不变，线速度、向心加速度、向心力的大小不变，线速度、向心加速度、向心力的大小不变，方向时刻改变；方向时刻改变；合外力不指向圆心，与速度方向不垂直；合外力不指向圆心，与速度方向不垂直；合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直，合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直，且指向圆心。且指向圆心。合外力沿着半径方向的分量提供向心力合外力沿着半径方向的分量提供向心力，改变速，改变速度方向；度方向；沿着速度方向的分量，改变速度大小沿着速度方向的分量，改变速度大小。特点：特点：性质：性质：变速运动；变速运动；

2、非匀变速曲线运动；非匀变速曲线运动；条件：条件：向心力就是物体作圆周运动的合外力。向心力就是物体作圆周运动的合外力。当速率增大时，合外力与速度方向的夹角当速率增大时，合外力与速度方向的夹角为锐角；反之，为钝角。为锐角；反之，为钝角。物体做圆周运动时，题干中常常会出现物体做圆周运动时，题干中常常会出现“最大最大”“”“最小最小”“”“刚好刚好”“”“恰好恰好”等词语，该类问题即为圆周运动的临界等词语，该类问题即为圆周运动的临界问题问题 例例1 1、在山东卫视的全运向前冲、在山东卫视的全运向前冲节目中，有一个节目中，有一个“大转盘大转盘”的关卡。的关卡。如图所示，一圆盘正在绕一通过它中如图所示，一

3、圆盘正在绕一通过它中心心O O且垂直于盘面的竖直轴逆时针匀且垂直于盘面的竖直轴逆时针匀速转动，在圆盘上有一名质量为速转动，在圆盘上有一名质量为m m的的闯关者（可是为质点）到转轴的距离闯关者（可是为质点）到转轴的距离为为d d，已知闯关者与圆盘间的摩擦因，已知闯关者与圆盘间的摩擦因素为素为，且闯关者与圆盘间的最大静，且闯关者与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。为了使闯关摩擦力等于滑动摩擦力。为了使闯关者与圆盘保持相对静止，求圆盘的转者与圆盘保持相对静止，求圆盘的转动角速度的取值范围。动角速度的取值范围。一、匀速圆周运动中的极值问题一、匀速圆周运动中的极值问题1、滑动与静止的临界问题如图所示，

4、用细绳一端系着的质量为如图所示，用细绳一端系着的质量为M M0.6 kg0.6 kg的物的物体体A A 静止在水平转盘上静止在水平转盘上, ,细绳另一端通过转盘中心的光细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔滑小孔O O吊着质量为吊着质量为m m0.3 kg0.3 kg的小球的小球B B，A A的重心到的重心到O O点点的距离为的距离为0.2 m0.2 m，若，若A A与转盘间的最大静摩擦力为与转盘间的最大静摩擦力为F Fm m2 2 N N，为使小球，为使小球B B保持静止，求转盘绕中心保持静止，求转盘绕中心O O旋转的角速度旋转的角速度的取值范围的取值范围( (取取g g10 m/s10 m/s2

5、 2) )【答案】2.9 rad/s6.5 rad/s 如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向两个用细线相连的小物体两个用细线相连的小物体A A、B B的质量均为的质量均为m m，它们到，它们到转轴的距离分别为转轴的距离分别为r rA A=20cm=20cm，r rB B=30cm=30cm。A A、B B与圆盘间与圆盘间的最大静摩擦力均为重力的的最大静摩擦力均为重力的0.40.4倍，（倍，（g=10m/sg=10m/s2 2）求：）求：（1 1）当细线上开始出现张力，圆盘的角速度；）当细线上开始出现张力，圆盘的角速度；（2 2）当）当A A开始滑

6、动时，圆盘的角速度开始滑动时，圆盘的角速度2、绳子中的临界问题）3045CABL L例：如图所示，两绳子系一个质量为例：如图所示，两绳子系一个质量为m=0.1kgm=0.1kg的小的小球，上面绳子长球，上面绳子长L=2mL=2m，两绳都拉直时与轴夹角分别，两绳都拉直时与轴夹角分别为为3030与与4545。问球的角速度满足什么条件，两绳。问球的角速度满足什么条件，两绳子始终张紧？子始终张紧？2.4rad/s 3.16rad/s3、脱离与不脱离的临界问题）37可看成质点的质量为可看成质点的质量为m m的小球随圆锥体一起做匀速圆的小球随圆锥体一起做匀速圆周运动，细线长为周运动，细线长为L L，求：，

7、求：lg /（1）当）当 时时绳子的拉力；绳子的拉力；lg /2（2）当）当 时时绳子的拉力；绳子的拉力；图3-5例：如图例：如图3-5所示，在电机距轴所示，在电机距轴O为为r处固定一质量为处固定一质量为m的铁块电机启动后，铁块以角速度的铁块电机启动后，铁块以角速度绕轴绕轴O匀速转匀速转动则电机对地面的最大压力和最小压力之差为动则电机对地面的最大压力和最小压力之差为_.（1）若）若m在最高点时突然与电机脱离，在最高点时突然与电机脱离，它将如何运动它将如何运动?（2）当角速度）当角速度为何值时，铁块在最高为何值时，铁块在最高点与电机恰无作用力点与电机恰无作用力?（3）本题也可认为是一电动打夯机的

8、原）本题也可认为是一电动打夯机的原理示意图。若电机的质量为理示意图。若电机的质量为M，则，则多大多大时，电机可以时，电机可以“跳跳”起来起来?此情况下，对此情况下，对地面的最大压力是多少地面的最大压力是多少?二、竖直平面内的圆周运动的临界问题球绳模型模型1 ：绳球模型 不可伸长的细绳长为不可伸长的细绳长为L L，拴着可看成质点的拴着可看成质点的质量为质量为m m的小球在竖直平面内做圆周运动。的小球在竖直平面内做圆周运动。 oALvABv0试分析：试分析： 当小球在当小球在最高点最高点B的的速度为速度为v0 时，绳的拉力与速度时，绳的拉力与速度的关系？的关系？v1o思考：思考：小球小球过最高点的

9、最小速过最高点的最小速度是多少度是多少? ? 最高点：最高点：LvmmgT20gLvT0, 0v2当当v=vv=v0 0，对绳子的拉力刚好为，对绳子的拉力刚好为0 0 ，小球刚好能够通过，小球刚好能够通过（到）（到）最高点、刚好能做完整的圆周运动；最高点、刚好能做完整的圆周运动；mgT思考：当思考：当v=v0、 vv0、vv0时分别会发生什么现象？时分别会发生什么现象？当当vvvvvv0 0，对绳子的有拉力，小球能够通过最高点。，对绳子的有拉力，小球能够通过最高点。思考：要使小球做完整的圆周运动，思考：要使小球做完整的圆周运动，在最低点的速度有什么要求？在最低点的速度有什么要求？oALvABv

10、B由机械能守恒可的：由机械能守恒可的：22222BAvmvmrmg当当VB取得最小值时，即：取得最小值时，即：grvBVA取得最小值即：取得最小值即：grvA5结论：要使小球做完整的圆结论：要使小球做完整的圆周运动，在最低点的速度周运动，在最低点的速度grvA5Lv20gL 例：长为例：长为L L的细绳，一端系一质量为的细绳，一端系一质量为m m的小球的小球, ,另一端固另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初定于某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初速度速度v v0 0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好过最高点，则下列说法中正确

11、的是：（过最高点，则下列说法中正确的是：（ ）A.A.小球过最高点时速度为零小球过最高点时速度为零B.B.小球开始运动时绳对小球的拉力为小球开始运动时绳对小球的拉力为m mC.C.小球过最高点时绳对小的拉力小球过最高点时绳对小的拉力mgmgD.D.小球过最高点时速度大小为小球过最高点时速度大小为D变型题变型题2：在倾角为：在倾角为=30的光滑斜面上用细绳的光滑斜面上用细绳拴住一小球，另一端固定，其细线长为拴住一小球，另一端固定，其细线长为0.8m，现为了使一质量为现为了使一质量为0.2kg的小球做圆周运动，则的小球做圆周运动，则小球在最高点的速度至少为多少？小球在最高点的速度至少为多少？在在“

12、水流星水流星”表演中，杯子在竖直平面做圆周表演中，杯子在竖直平面做圆周运动，在最高点时，杯口朝下，但杯中水却不运动，在最高点时，杯口朝下，但杯中水却不会流下来，为什么？会流下来，为什么？对杯中水：对杯中水：GFNrvmFmg2N时，当grv FN = 0水恰好不流出水恰好不流出表演表演“水流星水流星” ，需要保证杯，需要保证杯子在圆周运动最高点的线速度不子在圆周运动最高点的线速度不得小于得小于gr即：即：grv 实例一：水流星实例一：水流星重力的效果重力的效果全部提供向心力全部提供向心力思考：过山车为什么在最高点也不会掉下来？思考：过山车为什么在最高点也不会掉下来？实例二：过山车实例二：过山车

13、拓展：物体沿竖直内轨运动拓展：物体沿竖直内轨运动 有一竖直放置、内壁有一竖直放置、内壁光滑光滑圆环，其半径为圆环，其半径为r，质量为质量为m的小球沿它的内表面做圆周运动时，分的小球沿它的内表面做圆周运动时，分析析小球在最高点的速度应满足什么条件？小球在最高点的速度应满足什么条件？rvmFgN2m思考：思考：小球小球过最高点的最小速度过最高点的最小速度是多少是多少? ?r, 00gvFN当当v=vv=v0 0，对轨道刚好无压力，小球刚好能够通过最高点；，对轨道刚好无压力，小球刚好能够通过最高点；当当vvvvvv0 0，对轨道有压力，小球能够通过最高点；，对轨道有压力，小球能够通过最高点；mgFN

14、 要保证过山车在最高点不掉下来，此时的速度必须满足：要保证过山车在最高点不掉下来，此时的速度必须满足：grv Av0规律总结：无支持物规律总结：无支持物物体在圆周运动过物体在圆周运动过最高点最高点时，轻绳对物体只能产生沿绳收时，轻绳对物体只能产生沿绳收缩方向向下的拉力，或轨道对物体只能产生向下的弹力；缩方向向下的拉力，或轨道对物体只能产生向下的弹力；若速度太小物体会脱离圆轨道若速度太小物体会脱离圆轨道无支持物模型无支持物模型不能过最高点的条件：不能过最高点的条件：VVVV临界临界( (实际上小球尚未到达实际上小球尚未到达最高点时就脱离了轨道最高点时就脱离了轨道) )使小球做完整的圆周运动，使小

15、球做完整的圆周运动，在轨道的在轨道的最低点的速度应满足最低点的速度应满足：5grv 模型二：球杆模型：模型二：球杆模型：小球在轻质杆或管状轨道弹力作用下的圆周运小球在轻质杆或管状轨道弹力作用下的圆周运动，过动，过最高点最高点时杆与绳不同，时杆与绳不同，杆对球既能产生杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力拉力，也能对球产生支持力；（管状轨道的口；（管状轨道的口径略大于小球的直径径略大于小球的直径) )长为长为L的轻杆一端固定着一质量为的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使的小球，使小球在竖直平面内做圆周运动。小球在竖直平面内做圆周运动。 试分析：试分析：（1）当小球在最低点）当小球在最低点A的速度

16、的速度为为v2时，杆的受力与速度的关时，杆的受力与速度的关系怎样？系怎样？（2）当小球在最高点）当小球在最高点B的速度的速度为为v1时，杆的受力与速度的关时，杆的受力与速度的关系怎样？系怎样？ABF3mgF2v2v1o思考思考: :在最高点时，在最高点时，何时杆表现为何时杆表现为拉力？何时表现为支持力？试求拉力？何时表现为支持力？试求其临界速度。其临界速度。ABLvmF222mg 最高点：最高点：拉力拉力支持力支持力临界速度：临界速度：L, 00gvF当当vv0，杆对球有向下的拉力。，杆对球有向下的拉力。mgF1此时最低点的速度为：此时最低点的速度为：grvA5LvmFmg233问：当问：当v

17、2的速度等于的速度等于0时，杆对球的时，杆对球的支持力为多少？支持力为多少？F支支=mg此时最低点的速度为：此时最低点的速度为：grvA2结论：使小球能做完整的结论：使小球能做完整的圆周运动在最低点的速度圆周运动在最低点的速度grvA2拓展：物体在管型轨道内的运动拓展：物体在管型轨道内的运动如图，有一内壁光滑、如图，有一内壁光滑、竖直竖直放置的管放置的管型轨道，其半径为型轨道，其半径为R，管内有一质量，管内有一质量为为m的小球有做的小球有做圆周运动圆周运动，小球的直，小球的直径刚好略小于管的内径。径刚好略小于管的内径。思考：在最高点时，什么时候外管壁对小球有压思考：在最高点时，什么时候外管壁对

18、小球有压力，什么时候内管壁对小球有支持力力，什么时候内管壁对小球有支持力? ?什么时候内什么时候内外管壁都没有压力？外管壁都没有压力？小球在最低点的速度小球在最低点的速度v至少多大时，至少多大时，才能使小球在管内做完整的圆周运动？才能使小球在管内做完整的圆周运动？临界速度：临界速度：gRvF0, 0当当vv0，外壁对球有向下的压力。，外壁对球有向下的压力。使小球能做完整的圆周运动在最低点的速度：使小球能做完整的圆周运动在最低点的速度：grvA2例题例题: :轻杆长为轻杆长为2L2L，水平转轴装在中点，水平转轴装在中点O O，两端分别固定，两端分别固定着小球着小球A A和和B B。A A球质量为

19、球质量为m m，B B球质量为球质量为2m2m，在竖直平面内，在竖直平面内做圆周运动。做圆周运动。当杆绕当杆绕O O转动到某一速度时，转动到某一速度时，A A球在最高点，如图所示球在最高点，如图所示，此时杆，此时杆A A点恰不受力，求此时点恰不受力，求此时O O轴的受力大小和方向；轴的受力大小和方向；保持保持问中的速度，当问中的速度，当B B球运动到最高点时，求球运动到最高点时，求O O轴的轴的受力大小和方向；受力大小和方向；在杆的转速逐渐变化的过程中，在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现能否出现O O轴不受力的情况？请计算说明。轴不受力的情况？请计算说明。22,vmgmvgLL解析：解析：A

20、 A端恰好不受力，则端恰好不受力，则222,4vTmgmTmgLB B球：球：2,vT mgmTmgL杆对杆对B B球无作用力，对球无作用力，对A A球球: :4Tmg 由牛顿第三定律，由牛顿第三定律，B B球对球对O O轴的拉力轴的拉力，竖直向下。，竖直向下。2Tmg由牛顿第三定律，由牛顿第三定律，A A球对球对O O轴的拉力轴的拉力，竖直向下。，竖直向下。3ABvvgL222vTmgmgL若若B B球在上端球在上端A A球在下端，对球在下端，对B B球：球：2vT mgmL对对A A球：球：3vgL 联系得联系得: :2vTmgmL若若A A球在上端，球在上端，B B球在下端，对球在下端，对A A球：球：222vTmgmL对对B B球：球： 23vmgmL 联系得联系得显然不成立，所以能出现显然不成立，所以能出现O O轴不受力的情况，此时轴不受力的情况，此时在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不轴不受力的情况？请计算