导数的几何意义77350

1、【教育类精品资料】3.1.3 3.1.3 导数的几何意义导数的几何意义 1.曲线的切线曲线的切线y=f(x)pqmxyoxypy=f(x)qmxyoxy 如图如图,曲线曲线c是函数是函数y=f(x)的图象的图象,p(x0,y0)是曲线是曲线c上的上的任意一点任意一点,q(x0+x,y0+y)为为p邻近一点邻近一点,pq为为c的割线的割线,pm/x轴轴,qm/y轴轴,为为pq的的倾斜角倾斜角.tan,: xyymqxmp则则.就就是是割割线线的的斜斜率率表表明明：xy pqoxyy=f(x)割割线线切线切线t请看当请看当点点q沿沿着曲线着曲线逐渐向逐渐向点点p接接近时近时,割割线线pq绕着点绕着

2、点p逐渐逐渐转动的转动的情况情况. 我们发现我们发现,当点当点q沿着曲线无限接近点沿着曲线无限接近点p即即x0时时,割线割线pq有一个极限位置有一个极限位置pt.则我们把直线则我们把直线pt称为曲称为曲线在点线在点p处的处的切线切线. 设切线的倾斜角为设切线的倾斜角为,那么当那么当x0时时,割线割线pq的的斜率斜率,称为曲线在点称为曲线在点p处的处的切线的斜率切线的斜率.即即:xxfxxfxykxx )()(limlimtan0000 切切线线 这个概念这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法种方法;切线斜率的本质切线斜率的本质函数平均变化率的极限函数平

3、均变化率的极限.导数的几何意义导数的几何意义 函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义，就是曲处的导数的几何意义，就是曲线线 y=f(x)在点在点p(x0 ,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率. 故曲线故曲线y=f(x)在点在点p(x0 ,f(x0)处的切线方程是处的切线方程是:)()(000 xxxfxfy 即即:0( )kf x切线例例:求曲线求曲线y=f(x)=x2+1在点在点p(1,2)处的切线方程处的切线方程.qpy=x2+1xy-111ojmyx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此因此,

4、切线方程为切线方程为y-2=2(x-1),即即y=2x.求曲线在某点处的切线方程求曲线在某点处的切线方程的基本步骤的基本步骤:先利用切线斜率先利用切线斜率的定义求出切线的斜率的定义求出切线的斜率,然后然后利用点斜式求切线方程利用点斜式求切线方程.例例2 如图如图, 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数它表示跳水运动中高度随时间变化的函数105 . 69 . 4)(2ttth的图象的图象. 根据图象根据图象, 请描述、比较请描述、比较曲线曲线 在在 附近的变化情况附近的变化情况.210,ttt)(th 解解:可用曲线可用曲线 h(t) 在在 t0 , t1 , t2 处的处的切线刻画曲线切线刻画

5、曲线 h(t) 在上述三个时刻在上述三个时刻附近的变化情况附近的变化情况.(1)当当 t = t0 时时, 曲线曲线 h(t) 在在 t0 处的切处的切线线 l0 平行于平行于 x 轴轴.故在故在 t = t0 附近曲附近曲线比较平坦线比较平坦, 几乎没有升降几乎没有升降.(2)当当 t = t1 时时, 曲线曲线 h(t) 在在 t1 处的处的切线切线 l1 的斜率的斜率 h(t1) 0 .故在故在t = t1 附近曲线下降附近曲线下降,即函数即函数 h(t) 在在 t = t1 附近单调递减附近单调递减.tohl0t0t1l1t2l2t4t3(3)当当 t = t2 时时, 曲线曲线 h(

6、t) 在在 t2处的切线处的切线 l2 的斜率的斜率 h(t2) 0 .故在故在 t = t2 附近曲线下降附近曲线下降,即函数即函数 h(t) 在在t = t2 附近也单调递减附近也单调递减.例例2105 . 69 . 4)(2ttth . 根据图象根据图象, 请描述、比较请描述、比较曲线曲线 在在 附近的变化情况附近的变化情况.210,ttt)(th解解:可用曲线可用曲线 h(t) 在在 t0 , t1 , t2 处的切线处的切线刻画曲线刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变在上述三个时刻附近的变化情况化情况.(1)当当 t = t0 时时, 曲线曲线 h(t) 在在 t0 处的切线处

7、的切线 l0 平行于平行于 x 轴轴.故在故在 t = t0 附近曲线比较平附近曲线比较平坦坦, 几乎没有升降几乎没有升降.(2)当当 t = t1 时时, 曲线曲线 h(t) 在在 t1 处的切线处的切线 l1 的斜率的斜率 h(t1) 0 .故在故在t = t1 附近曲线下附近曲线下降降,即函数即函数 h(t) 在在 t = t1 附近单调递减附近单调递减.tohl0t0t1l1t2l2t4t3(3)当当 t = t2 时时, 曲线曲线 h(t) 在在 t2处的切线处的切线 l2 的斜率的斜率 h(t2) 0 .故在故在 t = t2 附近曲线下降附近曲线下降,即函数即函数 h(t) 在在

8、t = t2 附近也单调递减附近也单调递减. 从图可以看出，直线从图可以看出，直线 l1 的的倾斜程度倾斜程度小于直线小于直线 l2 的的倾斜程度倾斜程度，这，这说明说明 h(t) 曲线在曲线在 l1 附近附近比在比在 l2 附近附近下降得缓慢下降得缓慢00()( )( )limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致发生混淆时，在不致发生混淆时，导函数导函数也简称也简称导数导数000( )()( )()( ).yfxxfxfxfxx 函 数在 点处 的 导 数等 于 函 数的 导 函 数在 点处 的 函 数 值 什么是导函数?由函数由函数f(x)在在x=x0处求导数的过程可以看到处求导

9、数的过程可以看到,当当x=x0时时,f(x0) 是一个确定的数是一个确定的数.那么那么,当当x变化时变化时,便是便是x的的一个函数一个函数,我们叫它为我们叫它为f(x)的导函数的导函数.即即:如何求函数如何求函数y=f(x)的导数的导数?(1)()( );yf xxf x 求函数的增量(2):()( );yf xxf xxx 求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)( )lim.xyyfxx 求极限，得导函数.yxy例: 已知，求xyxxxxxx 解：1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 看一个例子:（3）函数）函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数

10、 在在x=x0处的函数值，即处的函数值，即 。这也是。这也是 求函数在点求函数在点x0处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。 )(0 xf )(xf 0| )()(0 xxxfxf 小结:（2）函数的导数，是指某一区间内任意点）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的而言的, 就是函数就是函数f(x)的导函数的导函数 。)(xf （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。常数，不是变数。 弄清弄清“函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数”、“导函数导函数”、“导数导数” 之间的区别与联系。之间的区别与联系。（1）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2）根据直线方程的点斜式写出切线方