31回归分析四

1、3.1回归分析的基回归分析的基本思想及其初步本思想及其初步应用（四）应用（四）高二数学高二数学 选修选修2-3 第三章第三章 统计案例统计案例 比数学3中“回归”增加的内容数学数学统计统计1. 画散点图画散点图2. 了解最小二乘法了解最小二乘法的思想的思想3. 求回归直线方程求回归直线方程ybxa4. 用回归直线方程用回归直线方程解决应用问题解决应用问题选修2-3统计案例5. 引入线性回归模型引入线性回归模型ybxae6. 了解模型中随机误差项了解模型中随机误差项e产产生的原因生的原因7. 了解相关指数了解相关指数 r2 和模型拟和模型拟合的效果之间的关系合的效果之间的关系8. 了解残差图的作

2、用了解残差图的作用9. 利用线性回归模型解决一类利用线性回归模型解决一类非线性回归问题非线性回归问题10. 正确理解分析方法与结果正确理解分析方法与结果复习回顾复习回顾1、线性回归模型：、线性回归模型：y=bx+a+e， (3)其中其中a和和b为模型的未知参数，为模型的未知参数，e称为随机误差称为随机误差。y=bx+a+e，e(e)=0,d(e)= (4) 2.2、数据点和它在回归直线上相应位置的差异、数据点和它在回归直线上相应位置的差异 是随机误差的效应，称是随机误差的效应，称 为为残差残差。)iiyy(iiieyy=3、对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得、对每名女大学生计算这个差异

3、，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号表示为：的值平方后加起来，用数学符号表示为： 称为称为残差平方和残差平方和，它代表了随机误差的效应。它代表了随机误差的效应。21()niiiyy4、两个指标：两个指标：（1）类比样本方差估计总体方差的思想，可以用作）类比样本方差估计总体方差的思想，可以用作 为为 的估计量，的估计量， 越小，预报精度越高。越小，预报精度越高。22111( , )(2)22nieq a b nnn22（2）我们可以用）我们可以用相关指数相关指数r2来刻画回归的效果，其来刻画回归的效果，其 计算公式是：计算公式是：222112211()()1()()nniiiiinnii

4、iiyyyyryyyy 在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。型来拟合数据。5、残差分析与残差图的定义：、残差分析与残差图的定义： 然后，我们可以通过残差然后，我们可以通过残差 来判来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，疑数据，这方面的分析工作称为残差分析这方面的分析工作称为残差分析。12,ne ee 我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为

5、残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为体重估计值等，这样作出的图形称为残差图残差图。案例案例2 一只红铃虫的产卵数一只红铃虫的产卵数y和温度和温度x有关。现有关。现收集了收集了7组观测数据列于表中：组观测数据列于表中：（1 1）试建立产卵数）试建立产卵数y y与温度与温度x x之间的回归方程；并之间的回归方程；并预测温度为预测温度为2828o oc c时产卵数目。时产卵数目。（2 2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？产卵数的变化？ 温度温度xoc212

6、32527293235产卵数产卵数y/个个711212466115325非线性回归问题非线性回归问题假设线性回归方程为假设线性回归方程为 ：=bx+a选选 模模 型型由计算器得：线性回归方程为由计算器得：线性回归方程为y=y=19.8719.87x x-463.73-463.73 相关指数相关指数r r2 2= =r r2 20.8640.8642 2=0.7464=0.7464估计参数估计参数 解：选取气温为解释变量解：选取气温为解释变量x x，产卵数，产卵数 为预报变量为预报变量y y。选变量选变量所以，二次函数模型中温度解释了所以，二次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。的产卵

7、数变化。探索新知探索新知画散点图画散点图050100150200250300350036912151821242730333639方案1分析和预测分析和预测当当x=28时，时，y =19.8728-463.73 93一元线性模型一元线性模型奇怪？奇怪？9366 ?模型不好？模型不好？ y=bx2+a 变换变换 y=bt+a非线性关系非线性关系 线性关系线性关系方案2问题问题选用选用y=bx2+a ，还是，还是y=bx2+cx+a ？问题问题3-200-1000100200300400-40-30-20-10010203040 产卵数产卵数气温气温问题问题2如何求如何求a、b ？合作探究合作探究

8、 t=x2二次函数模型二次函数模型方案2解答平方变换平方变换：令令t=xt=x2 2，产卵数，产卵数y y和温度和温度x x之间二次函数模型之间二次函数模型y=bxy=bx2 2+a+a就转化为产卵数就转化为产卵数y y和温度的平方和温度的平方t t之间线性回归模型之间线性回归模型y=bty=bt+a+a温度温度21232527293235温度的平方温度的平方t44152962572984110241225产卵数产卵数y/个个711212466115325作散点图，并由计算器得：作散点图，并由计算器得：y y和和t t之间的线性回归方程为之间的线性回归方程为y=y=0.3670.367t t-

9、202.543-202.543，相关指数，相关指数r r2 2=0.802=0.802将将t=xt=x2 2代入线性回归方程得：代入线性回归方程得： y=y=0.3670.367x x2 2 -202.543 -202.543当当x x=28=28时时，y y=0.367=0.36728282 2- -202.5485202.5485，且，且r r2 2=0.802=0.802，所以，二次函数模型中温度解所以，二次函数模型中温度解释了释了80.2%80.2%的产卵数变化。的产卵数变化。产卵数y/个0501001502002503003500150300450600750900 1050 120

10、0 1350t问题问题 变换变换 y=bx+a非线性关系非线性关系 线性关系线性关系21c xyce问题问题如何选取指数函数的底如何选取指数函数的底?-50050100150200250300350400450-10-50510152025303540产卵数产卵数气温气温指数函数模型指数函数模型方案3合作探究合作探究对数对数方案3解答温度温度xoc21232527293235z=lny1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784产卵数产卵数y/个个71121246611532500.40.81.21.622.42.8036912 15 18 21 24 27 30 3

11、3 36 39xz当当x=28x=28o oc c 时，时，y 44 y 44 ，指数回归，指数回归模型中温度解释了模型中温度解释了98.5%98.5%的产卵数的的产卵数的变化变化由计算器得：由计算器得：z z关于关于x x的线性回归方程的线性回归方程为为0.272x-3.849 .ye22111221lnln()lnlnlnlnlnc xc xycececc xec xc 对数变换：在对数变换：在 中两边取常用对数得中两边取常用对数得21c xyce令令 ，则，则 就转换为就转换为z=bxz=bx+a.+a.12ln,ln,zy ac bc21c xyce z=0.272x-3.849 ,相

12、关指数相关指数r r2 2=0.98=0.98最好的模型是哪个最好的模型是哪个?-200-1000100200300400-40-30-20-10010203040 产卵数产卵数气温气温-50050100150200250300350400450-10-50510152025303540产卵数产卵数气温气温线性模型线性模型二次函数模型二次函数模型指数函数模型指数函数模型比一比比一比函数模型函数模型相关指数相关指数r2线性回归模型线性回归模型0.7464二次函数模型二次函数模型0.80指数函数模型指数函数模型0.98最好的模型是哪个最好的模型是哪个?回归分析（二）回归分析（二）(1)0.2723

13、.849(2)2y,y0.367202.543.xex则回归方程的残差计算公式分别为：则回归方程的残差计算公式分别为：由计算可得：由计算可得：(1)(1)0.2723.849(2)(2)2,1,2,.,7;0.367202.543,1,2,.,7.xiiiiiiiieyyyeieyyyxix21232527293235y7112124661153250.557-0.1011.875-8.9509.230-13.38134.67547.69619.400-5.832-41.000-40.104-58.26577.968(1) e(2) e(1)(2)1550.538,15448.431.qq因此

14、模型（因此模型（1）的拟合效果远远优于模型（）的拟合效果远远优于模型（2）。）。总总 结结1122( ,),(,),.,(,),nnx yxyxy 对于给定的样本点对于给定的样本点两个含有未知参数的模型：两个含有未知参数的模型：(1)(2)( , )( , ),yf x ayg x b和其中其中a和和b都是未知参数。拟合效果比较的步骤为：都是未知参数。拟合效果比较的步骤为：（1）分别建立对应于两个模型的回归方程）分别建立对应于两个模型的回归方程与与 其中其中 和和 分别是参数分别是参数a和和b的估计值；的估计值；（2）分别计算两个回归方程的残差平方和）分别计算两个回归方程的残差平方和与与（3）

15、若）若 则则 的效果比的效果比 的好；反之，的好；反之， 的效的效果不如果不如 的好。的好。(1)( , )yf x a(2)( , ),yg x b ab(1)(1)21()niiiqyy(2)(2)21() ;niiiqyy(1)(2),qq(1)( , )yf x a(2)( , )yg x b(2)( , )yg x b(1)( , )yf x a练习：练习：为了研究某种细菌随时间为了研究某种细菌随时间x x变化，繁殖的个数，变化，繁殖的个数，收集数据如下：收集数据如下：天 数天 数 x /x /天天 1 1 2 2 3 34 4 5 56 6繁殖个数繁殖个数y/y/个个 6 6 12

16、12 2525 4949 9595190190 （1 1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些 数据的散点图；数据的散点图； （2） 描述解释变量与预报变量描述解释变量与预报变量 之间的关系；之间的关系； （3 3） 计算残差、相关指数计算残差、相关指数r r2 2. .天数天数繁殖个数繁殖个数解：解：（1）散点图如右所示散点图如右所示 （2 2）由散点图看出样本点分布在一条指数函数）由散点图看出样本点分布在一条指数函数y= y= 的的周围，于是令周围，于是令z=lnyz=lny, ,则则2c x1ecx x1 12 23 34 45

17、56 6z z1.791.792.482.483.223.223.893.894.554.555.255.25由计数器算得由计数器算得 则有则有z=0.69x 1.1120.69x 1.112 y=e y6.066.0612.0912.0924.0924.0948.0448.0495.7795.77190.9190.9y y6 61212252549499595190190n22ii=11e()3.1643,niiiyyn222i1i=1()yny25553.3.niiyy（3）即解释变量天数对预报变量繁殖细菌得个数解释了即解释变量天数对预报变量繁殖细菌得个数解释了99.99%.99.99%.23.164310.9999.25553.3r 练习练习 假设关于某设备的使用年限假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用和所支出的维修费用 y（万（万元），有如下的统计资料。元），有如下的统计资料。使用年限使用年限x 23456维修费用维修费用y 2.23.85.56.57.0若由资料知若由资料知,y对对x呈线性相关关系。试求：呈线性相关关系。试求：（1）线