线性代数c82线性方程组在几何上应用

1、 直直角角坐坐标标系系下下，平平面面和和直直线线在在可可分分别别用用三三元元线线性性方方程程 11 112 213 31a xa xa xb 和和三三元元线线性性方方程程组组 11 112 213 3121 122 223 32,a xa xa xba xaxaxb 来来表表示示 因因此此平平面面与与平平面面、平平面面与与直直线线、直直线线与与直直线线 之之间间的的位位置置关关系系可可用用线线性性方方程程组组的的解解进进行行讨讨论论 一、平面与平面之一、平面与平面之间的位置关系间的位置关系 设平面设平面1与与2的的方程方程分别为分别为 111 112 213 31a xa xa xb：， 22

2、1 122 223 32a xaxa xb： 考虑线性考虑线性方程组方程组 11 112 213 3121 122 223 32,.a xa xa xba xaxa xb (8.1) 记记 111213212223aaaaaaa，11121312122232aaabaaabb (1) 当当( )1ra且且( )2rb时，时， 方程组方程组(8.1)无解，无解， 平平面面1与与2平平行行且且不不重重合合 (2) 当当( )( )1rrab时时， b的的两两个个行行向向量量成成比比例例， 故故平平面面1与与2重重合合 (3) 当当( )( )2rrab时时， 方方程程组组(8.1)有有无无穷穷多多

3、组组解解， 通通解解中中含含一一个个任任意意常常数数，故故平平面面1与与2相相交交于于一一条条直直线线 11 112 213 3121 122 223 32,.a xa xa xba xaxaxb (8.1) 设平面设平面与与直线直线l的方程的方程分别分别为为 11 112 213 31a xa xa xb：， 21 122 223 3231 132 233 33,.a xaxa xbla xa xa xb： 则则矩阵矩阵 212223313233aaaaaa 与与 21222323132333aaabaaab 的秩都为的秩都为 2 二二、平平面面与与直直线线之之间间位位置置关关系系 考考虑虑

4、线线性性方方程程组组 11 112 213 3121 122 223 3231 132 233 33a xa xa xba xaxaxba xaxa xb， (8.2) 记记 111213111213121222321222323132333132333,aaaaaabaaaaaabaaaaaabab， 则则 ( )2,( )2rrab (1) 当当( )( )3rrab时时， 方程组方程组(8.2)有惟一解，有惟一解， 故故与与l相相交交于于一一点点； (2) 当当( )2ra且且( )3rb时时， 方方程程组组(8.2)无无解解， 故故l平平行行于于； (3) 当当( )( )2rrab时

5、时， 方方程程组组(8.2)有有无无穷穷多多组组解解， 故故直直线线l在在平平面面上上 11 112 213 3121 122 223 3231 132 233 33a xa xa xba xaxa xba xa xa xb， (8.2) 设空间直线设空间直线1l与与2l的方程分别为的方程分别为 11 112 213 31121 122 223 32,a xa xa xbla xaxa xb： 31 132 233 33241 142 243 34a xa xa xbla xaxa xb，： 考虑线性考虑线性方程组方程组 11 112 213 3121 122 223 3231 132 233

6、 3341 142 243 34a xa xa xba xaxa xba xa xa xba xaxa xb， (8.3) 三、空间两条直线间的三、空间两条直线间的位置位置关系关系 分别记分别记 111213212223313233414243aaaaaaaaaaaaa，1112131212223231323334142434aaabaaabaaabaaabb， 则则 ( )2,( )2rrab (1) 当当( )( )3rrab时时， 方方程程组组(8.3)有有惟惟一一解解， 故故1l与与2l相相交交于于一一点点； (2) 当当( )( )2rrab时时， 方方程程组组(8.3)有有无无穷穷多多组组解解， 故故1l与与2l重重合合； (3) 当当( )2ra且且( )3rb时时， 方程组方程组(8.3)无解无解 由由于于方方程程组组(8.3)中中任任三三个个方方程程的的系系数数构构成成的的行行列列 式式为为零零， 11 112 213 3121 122 223 3231 132 233 3341 142 243 34a xa xa xba xaxaxba xaxa xba xaxaxb， (8.3) 则则1l与与31 132 233 33a xaxa xb平平行行， 1l与与41 142 243 34a xaxaxb