北邮复变函数课件21

1、12011. 9. 2821 1 解析函数的概念及充要条件解析函数的概念及充要条件第二章第二章 解析函数解析函数3一、复变函数的导数一、复变函数的导数“差商的极限差商的极限”1.1.定义定义: :, , , )( 00的范围的范围不出不出点点点点中的一中的一为为定义于区域定义于区域设函数设函数dzzdzdzfw , )( . )( 00的导数的导数在在这个极限值称为这个极限值称为可导可导在在那末就称那末就称zzfzzf.)()(limdd)(00000zzfzzfzwzfzzz 记作记作 , )()(lim 000存在存在如果极限如果极限zzfzzfz 4在定义中应注意在定义中应注意:.)0(

2、00的方式是任意的的方式是任意的即即 zzzz.)()(,0000都趋于同一个数都趋于同一个数比值比值时时内以任意方式趋于内以任意方式趋于在区域在区域即即zzfzzfzdzz . )( , )( 可导可导在区域内在区域内就称就称我们我们内处处可导内处处可导在区域在区域如果函数如果函数dzfdzf5例例1 .)(2的导数的导数求求zzf zzfzzfzfz )()(lim)(0解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 6例例2 .im)(的可导性的可导性讨论讨论zzf zzfzzfzf )()(解解zzzz im)im(zzzz imimimzz imyixyi

3、x )im(,yixy ,0)0(时时而使而使向向当点沿平行于实轴的方当点沿平行于实轴的方 zy7zzfzzfzfzz )()(limlim00, 0lim00 yixyyx,0)0(时时而使而使向向当点沿平行于虚轴的方当点沿平行于虚轴的方 zxzzfzzfzfzz )()(limlim00,1lim00iyixyxy ,0极限值不同极限值不同时时当点沿不同的方向使当点沿不同的方向使 z.im)(在复平面上处处不可导在复平面上处处不可导故故zzf 8例例3 是否可导？是否可导？问问yixzf2)( zzfzzfzfzz )()(limlim00解解zyixiyyxxz 2)(2)(lim0yi

4、xyixz 2lim0 ，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着平行于沿着平行于设设zxzz xyoz0 y9xyoz0 yyixyixz 2lim0, 1lim0 xxx ，轴的直线趋向于轴的直线趋向于沿着平行于沿着平行于设设zyzz 0 xyixyixz 2lim0, 22lim0 yiyiy不存在不存在的导数的导数所以所以.2)(yixzf 102.2.可导与连续可导与连续: : 函数函数 f (z) 在在 z0 处可导则在处可导则在 z0 处一定连续处一定连续, 但但函数函数 f(z) 在在 z0 处连续不一定在处连续不一定在 z0 处可导处可导.证证 , 0可导的定义可导的定义根据在根据在

5、 z, 0, 0 , |0 时时使得当使得当 z,)()()( 000 zfzzfzzf有有)()()()( 000zfzzfzzfz 令令11, 0)(lim 0 zz 则则 )()( 00zfzzf 因为因为 , )()(lim 000zfzzfz 所以所以 . )(0连续连续在在即即zzf证毕证毕 ,)( )(0zzzzf 123.3.求导公式求导公式与法则与法则: : . , 0)()1(为复常数为复常数其中其中cc .,)()2(1为正整数为正整数其中其中nnzznn ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()

6、()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf13 )( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其中其中0)( ,)()( ,)(1)()7( wwzzfwwzf 且且函数函数两个互为反函数的单值两个互为反函数的单值是是与与其中其中14二二. .复函数的微分复函数的微分: :. )( )( , )(, 0)(lim ,)()()()(,)( 000000线性部分线性部分的的的改变量的改变量是函数是函数小小的高阶无穷的高阶无穷是是式中式中则则可导可导在在设函数设函数wzfwzzfzzzzzzzzfzfzzfwzzfwz .)( , )( )(000zzfdwzzfwzzf

7、记作记作的微分的微分在点在点称为函数称为函数1.1.定义定义. )( , 00可微可微在在则称函数则称函数的微分存在的微分存在如果函数在如果函数在zzfz15特别地特别地, , )( 时时当当zzf zwdd zzf )(0, z ,d)()(d00zzfzzfw 0dd)( 0zzzwzf 即即 .)(00可微是等价的可微是等价的可导与在可导与在在在函数函数zzzfw .)( ,)(内可微内可微区域区域在在则称则称内处处可微内处处可微区域区域在在如果函数如果函数dzfdzf16三三. .可微可微( (可导可导) )的充要条件的充要条件1.1.在一点可导或可微在一点可导或可微可微内一点在则内有

8、定义，在区域设iyxzd) z (fd)y, x(iv)y, x(u) z (f:1th).r.c(xvyu,yvxu)2()y, x()y, x(v)y, x(u) 1 (条件可微在，xv iyvyu ixuyu iyvxv ixu)z(f此时17注意柯西黎曼条件注意柯西黎曼条件(直角坐标直角坐标,极坐标极坐标)urrvvrruxvyuyvxurc1,1)2(,) 1 (.条件xv iyvyu ixuyu iyvxv ixu)z(f注意复函数的导数注意复函数的导数18连续偏导连续可微分偏导存在 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf 0001sin)(),(22222222yx

9、yxyxyxyxf 000),(222222yxyxyxxyyxf注意到二元函数可微，偏导，连续注意到二元函数可微，偏导，连续 的性质的性质19可微内一点在则内有定义，在区域设iyxzd)z(fd)y, x(iv)y, x(u)z(fth2, x-vyu, yvxu)2()y, x(yv, xv, yu, xu) 1 (连续；在)(的充分条件20可微内一点在则内有定义，在区域设iyxzd) z (fd)y, x(iv)y, x(u) z (fth3th3.x-vyu, yvxu)2(yv, xv, yu, xu) 1 (存在；)(的必要条件21四四. .解析函数的概念解析函数的概念1. 1.

10、解析函数的定义解析函数的定义. 0 )( , 0 0 )() 1 (解析在那末称的邻域内处处可导及在如果函数zzfzzzf).( )(.)( ,)()2(全纯函数或正则函数内的一个解析函数区域是或称内解析区域在则称内每一点解析区域在如果函数dzfdzfdzf222. 2. 奇点的定义奇点的定义.)( , )(00的奇点的奇点为为那末称那末称不解析不解析在在如果函数如果函数zfzzzf注注1,函数在函数在区域内解析区域内解析与在与在区域内可导区域内可导是是等价等价的的.2,函数在函数在一点处解析一点处解析与在与在一点处可导一点处可导是是不等价不等价的概念的概念. 233.3.连续，可导，可微，解

11、析连续，可导，可微，解析的关系的关系. .逆不真连续可导可微解析）在区域内（但逆不真连续可导可微解析）在一点处（ ii i24例例4 .)( 2)(,)( 22的解析性的解析性和和研究函数研究函数zzhyixzgzzf 解解由本节例由本节例1和例和例3知知: ; )( 2在复平面内是解析的在复平面内是解析的zzf ; 2)(处处不解析处处不解析yixzg , )( 2的解析性的解析性下面讨论下面讨论zzh zzhzzh )()(00zzzz 202025zzzzzzz 0000)(,00zzzzz , 0)1(0 z. 0)()(lim000 zzhzzhz, 0)2(0 z , )( 000

12、0zxxkyyzz趋于趋于沿直线沿直线令令 zzyixyix xyixyi 11ikik 1126 , 的任意性的任意性由于由于 k .11不趋于一个确定的值不趋于一个确定的值kikizz .)()(lim000不存在不存在zzhzzhz . , , 0 )( 2析析它在复平面内处处不解它在复平面内处处不解根据定义根据定义不可导不可导而在其他点都而在其他点都处可导处可导仅在仅在因此因此 zzzh27例例5.1 的解析性的解析性研究函数研究函数zw 解解 , 0 1 处处可导处处可导在复平面内除在复平面内除因为因为 zzw ,1dd 2zzw 且且 , 0 外处处解析外处处解析在复平面内除在复平

13、面内除所以所以 zw . 0 为它的奇点为它的奇点 z28例例6.)re()( 的可导性与解析性的可导性与解析性研究函数研究函数zzzf 解解, 0)1( zzfzfz )0()0(lim0, 0)re(lim0 zzzz . 0 )re()( 处可导处可导在在故故 zzzzf, 0)2( zzzfzzf )()(zzzzzzz )re()re()(29)re()re()re(zzzzzzz , yixz 令令zzfzzf )()( , xxyixxz ,)()(lim 00 xzzfzzfyx 因为因为,)()(lim 00 xzzzfzzfxy 30 . )()(lim 0不存在不存在所以

14、所以zzfzzfz . , , 0 )( 析析它在复平面内处处不解它在复平面内处处不解根据定义根据定义可导可导而在其他点都不而在其他点都不处可导处可导仅在仅在因此因此 zzf , )( , 0 不可导不可导时时即当即当zfz 课堂练习课堂练习.1 的解析性的解析性研究函数研究函数zw 答案答案处处不可导处处不可导, ,处处不解析处处不解析. .314.4.解析函数的性质解析函数的性质 . )( )( )( ) 1 (内解析在除去分母为零的点和、差、积、商的与内解析的两个函数在区域dzgzfd. )( , )( , . )( , )( )2(内解析在那末复合函数于都属的对应值函数内的每一个点对如

15、果内解析平面上的区域在函数内解析平面上的区域在设函数dzgfwghzgzdghhfwdzzgh32可知可知:(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的所有多项式在复平面内是处处解析的. , )()( )2(它的奇点它的奇点使分母为零的点是使分母为零的点是的的零的点的区域内是解析零的点的区域内是解析在不含分母为在不含分母为任何一个有理分式函数任何一个有理分式函数zqzp33. , ),( ),( : ),(),()( th4程并且满足柯西黎曼方内可微在与内解析的充要条件是域在其定义函数dyxvyxudyxivyxuzf五五. . 函数解析的充要条件函数解析的充要条件34解析函数的判定方法解析函数的

16、判定方法: :. )( , )( )1(内是解析的内是解析的在在解析函数的定义断定解析函数的定义断定则可根据则可根据内处处存在内处处存在的导数在区域的导数在区域数数导法则证实复变函导法则证实复变函如果能用求导公式与求如果能用求导公式与求dzfdzf. )( ,r c ) ),( , ( , )( 2)(内解析内解析在在的充要条件可以断定的充要条件可以断定那么根据解析函数那么根据解析函数方程方程并满足并满足可微可微因而因而、连续、连续的各一阶偏导数都存在的各一阶偏导数都存在内内在在中中如果复变函数如果复变函数dzfyxvudvuivuzf 35例例1 判定下列函数在何处可导判定下列函数在何处可导

17、, 在何处解析在何处解析:).re()3();sin(cos)()2(;)1(zzwyiyezfzwx 解解,)1(zw ,yvxu . 1, 0, 0, 1 yvxvyuxu不满足柯西黎曼方程不满足柯西黎曼方程, . ,处处不解析处处不解析在复平面内处处不可导在复平面内处处不可导故故zw 36)sin(cos)()2(yiyezfx ,sin,cosyevyeuxx ,sin,cosyeyuyexuxx ,cos,sinyeyvyexvxx . , xvyuyvxu 即即四个偏导数四个偏导数均连续均连续 . ,)(处处解析处处解析在复平面内处处可导在复平面内处处可导故故zf).()sin(c

18、os)(zfyiyezfx 且且指数函数指数函数37)re()3(zzw ,2xyix ,2xyvxu ., 0,2xyvyxvyuxxu 四个偏导数均连续四个偏导数均连续 , , 0 满足柯西黎曼方程满足柯西黎曼方程时时仅当仅当 yx ,0 )re(处可导处可导仅在仅在故函数故函数 zzzw .在在复复平平面面内内处处处处不不解解析析38例例2 . sin)2(;)1( 2在复平面上不解析在复平面上不解析证明证明zz证证,2)1(222xyiyxz ,2,22xyvyxu .2,2,2,2xyvyxvyyuxxu , , 0 满足柯西黎曼方程满足柯西黎曼方程时时仅当仅当 x ,0 2上可导上

19、可导仅在直线仅在直线故函数故函数 xzw .在在复复平平面面内内不不解解析析39,sinhcoscoshsinsin)2(yxiyxz ,coshsinyxu ,sinhcosyxv ,coshcosyxxu ,coshcosyxyv , ), 2, 1, 0(2 时时仅当仅当 kkx.yvxu .sin在复平面上不解析在复平面上不解析z40例例3 解解? )( , , , , ),()( 2222解析解析在复平面内处处在复平面内处处取何值时取何值时问常数问常数设设zfdcbaydxycxibyaxyxzf ,2ydxyv ,2ayxxu ,2byaxyu ,2dycxxv , , xvyuy

20、vxu 欲使欲使 ayx2,2ydx ,2byax dycx2. 2 , 1 , 1 , 2 dcba所求所求41例例4 . 0 0 )( 不可导不可导西黎曼方程但在点西黎曼方程但在点满足柯满足柯在点在点证明函数证明函数 zzxyzf证证, )( xyzf 因为因为0, , vxyu所以所以0)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0 xuxuuxx),0 , 0(yv 0)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0 yuyuuyy),0 , 0(xv 0 0 . 0 成立成立柯西黎曼方程在点柯西黎曼方程在点 z42 , 趋于零时趋于零时沿第一象限内的射线沿第一象限内的射线但当但当kxy

21、z 0)0()( zfzf iyxxy ,1ikk , 变化变化随随 k , 0)0()(lim 0不存在不存在故故 zfzfz . 0 )( 不可导不可导在点在点函数函数 zxyzf43例例5解解. )( , , ),(),()( 2zfuvdyxivyxuzf求求并且并且析析内解内解在区域在区域设设 )1(,2yuuyvxu )2(,2xuuxvyu (1)(2)得得代入代入将将, 0 xu, 0)14( 2 uxu0)14( 2 u由由44, 0 (2) yu得得由由 ),( 常数常数所以所以cu ).( )( 2常数常数于是于是icczf 45例例6. )( , )( 内为一常数内为一

22、常数区域区域在在则则内处处为零内处处为零在区域在区域如果如果dzfdzf 证证xvixuzf )(, 0 yuiyv, 0 xvyuyvxu故故 , , 常数常数常数常数所以所以 vu . )( 内为一常数内为一常数在区域在区域因此因此dzf46参照以上例题可进一步证明参照以上例题可进一步证明: . , )( 则以下条件彼此等价则以下条件彼此等价内解析内解析在区域在区域如果如果dzf ;)( )1(恒取实值恒取实值 zf; 0)()2( zf ;)( )3(常数常数 zf ;)( )4(解析解析zf ;)(re )5(常数常数 zf ;)(im )6(常数常数 zf;)7(2uv .)( arg )8(常数常数 zf47例例7 7. , , ),( ),( 0,)( , )( 2121为常数为常数其中其中必相互正交必相互正交与与那末曲线族那末曲线族且且为一解析函数为一解析函数设设cccyxvcyxuzfivuzf 证证 )( zf因为因为, 01 yuiyv , 不全为零不全为零与与所以所以yuyv , 都不为零都不为零与与如果在曲线的交点处如果在曲线的交点处yuyv 根据隐函数求导法则根据隐函数求导法则,48线的斜率分别为线的斜率分别为中任一条曲中任一条曲与与曲线族曲线族 ),( ),( 21cyxvcyx