2022年初中数学函数部分知识点复习

1、学习好资料欢迎下载初三数学复习：函数及其图象知识点整理设计 : 泰兴市黄桥初中马京城日期： 2011-3-6一、平面直角坐标系1、在平面内，有_的两条数轴，组成平面直角坐标系注意1) 坐标平面内的点与_一一对应2） 坐标轴上的点不属于任何象限。2、不同位置点的坐标的特征：1）坐标轴上点的特征：x 轴上点的纵坐标为0，一般记为p（_，_） ；x 轴可写成直线y=0，y 轴上点的横坐标为0，一般记为q（_，_） ；y 轴可写成x=0，2）各象限内点的坐标的特征：第一象限：（_，_） ；第二象限：（_，_） ；第三象限：（_，_） ；第四象限： （_，_） ；3 、点 p（x，y）坐标的几何意义：1

2、）点 p（x，y）到 x 轴的距离是 _；2）点 p（x，y）到 y 轴的距离是 _；3）点 p（x，y）到原点的距离是_; 4、关于坐标轴、原点对称 的两点坐标的特征1）点 p（a，b）关于 x 轴的对称点p1（_，_） ；2）点 p（a，b）关于 y 轴的对称点p2（_，_） ；3）点 p（a，b）关于原点的对称点p3（_，_） ；5、同一数轴上两点间距离 ， （ 1）x 轴上两点a（x1，0） ，b（x2，0）则 ab=|x1-x2| ；（ 2）y 轴上两点c（0，y1） ，d（0，y2） ，则 cd=|y1-y2| 。6、过 p（ a，b）平行于x 轴的直线可写成y=b，平行于y 轴的

3、直线可写成x=a，第一、三象限的两轴角平分线y=x； 第二、四象限的夹角平分线y=-x 。二、函数的概念1、常量在某问题的研究过程中，保持不变的量叫做常量。变量在某问题的研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量。2、函数一般地， 设在某一变化过程中有两个变量x 与 y，如果对于x 的每一个值y 都有唯一的值和它相对应，那么说y 是 x 的函数， x 为自变量， y 是因变量。函数值如果变量y 是自变量x 的函数，即y=f（x） ，那么当 x 在定义域内取每一个确定的值，如 x=a 时，变量 y 都有惟一确定的值与它对应，这个对应值叫做自变量取确定值 a时的函数值，通常用记号f（a）来表示函数的图

4、像对于一个函数， 如果把自变量x 与函数 y 的每对对应值分别作为点的横坐标精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载和纵坐标， 在直角坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图像。3、函数常用表示方法：解析式，列表法，图像法4、函数图像的画法由函数解析式画函数的图像，一般按下列步骤进行。（1）列表 ：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点 ：用表中的对应值作为坐标，在直角坐标平面内描出相应的点；（3）连线 ：用光滑的曲线，按照自变量由小到大的顺序，

5、把所描的点连接起来。在描点时，描出的点越多，图像越精确，实际上，一般不可能把所有的点都描出来，只能用光滑的曲线连接描出的一些点，从面得到函数的近似图像。注意 ：画图象应在自变量取值范围内画5、自变量取值范围： （1）整式时自变量取全体实数；（2）分式时分母不为零；（3）二次根式中被开方数是非负数；（4）a0，a-p中 a 0； （5）使实际问题有意义. 求自变量取值范围时考虑应周密：例如y=x+0)2(1xxx2中 x0 且 x2 几个常见的函数（一）正比例函数1、函数 _（ k0 的常数）叫做正比例函数2、正比例函数的图像：正比例函数y=kx（k0 的常数）的图像是经过坐标原点和（1，_）的

6、一条直线，也叫做直线y=kx 根据两点确定一条直线的规律，在画正比例函数的图像时，除了取原点以处，只需另外再取一个点就可以了，一般取符合解析式的整点（即横坐标和纵坐标都是整数的点）描起来较方便。如画函数xy21的图像时，分别取点（0， 0）和（ 2，-1） ，然后描点、连线即可。3、正比例函数的性质正比例函数y=kx （k0 的常数）有如下的性质：当 k 0时，它的图像在第_象限内， y 随 x 的增大而 _；当 k 0时，它的图像在第_象限内， y 随 x 的增大而 _。4、函数的性质应结合它的图像来理解（二）一次函数1、函数 y=_ （_常数，_0 ）叫做 一次函数当 b=0 时，一次函数

7、 y=kx+b 就成为 y=kx（k 是常数k0 ） ，这时 y 是 x 的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特殊情况。2、一次函数的图像精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载一次函数的图像是经过点（0，_）且平行于直线y=kx 的一条直线，一次函数y=kx+b 的图像也叫做直线y=kx+b 。直线 y=kx+b 与 y 轴相交于点（0，b）两条直线l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，如果 k1=k2，b1b2，那么 l1l2，反之也成立。由两点确定一条

8、直线可知，在画一次函数的图像时，只要先描出直线上的两点，再过这两点画一条直线就可以了，当 b0 时，一般取与坐标轴相交的两点（_， 0） 、 （0， _）较好。3、直线位置与常数的关系k 决定直线的方向k0 直线的方向向上；k0 直线的方向向下b 决定直线与y 轴交点的位置：b0 直线与 y 轴交点在x 轴的 _；b=0 直线过 _点； b0 直线与 y 轴交点在x 轴的 _；根据下列一次函数y=kx+b(k 0) 的草图回答出各图中k、b 的符号：4、一次函数的性质：与正比例函数的性质一样，当 k0， y 随 x 的增大而 _； 当 k0， y 随 x 的增大而 _。5、一次函数与一元一次方

9、程的关系一次函数y=kx+b （k0 ） ，当 y=0 时，即对应一元一次方程y=kx+b（k0 ） ，也就是说一次函数y=kx+b （k0 ）的图像与x 轴的交点的横坐标x 的值就是方程y=kx+b （k0 ）的根。6、求一次函数表达式：待定系数法由已知条件， 先设一个式子中的未知系数，然后根据已知数据求出未知系数，从而法语出这个式子的方法叫待定系数法。说明：求正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等一般都采用待定系数法。7、一次函数图像与坐标轴交点：直线 y=kx+b （k0 ）与 x 轴交点（ _， 0） ，与 y 轴交点（ 0，_） ，与两坐标轴围成的三角形的面积_ （三）反比例函

10、数1、函数 y=kx（ k0 的常数）叫做 反比例函数 ，也可以说y 与 x 成反比例，函数中的x 0。与正比例函数一样，确定了 k 值，就可以确定一个反比例函数。反比例函数y=kx还可表示成y=kx-1的形式。2、反比例函数的性质当k0 时，它的图像的两个分支分别在第_限内， 在每精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载个象限内 ， y 随 x 的增大而 _。当 k0 时，它的图像的两个分支分别在第_象限内， 在每个象限内，y 随 x 的增大而_。图像的两个分支都无限接

11、近于x 轴和 y 轴，但不会与x 轴和 y 轴相交。注意 ：用性质时，要注意“在每个象限内”这个条件。3、k 决定双曲线的位置k0 图像的两个分支分别在第_ 象限内。k0 图像的两个分支分别在第_ 象限内。4、k 的几何意义过双曲线y=kx（k0） 上任意一点p 引x 轴、 y 轴的垂线，垂足分别为b、a，则矩形 pboa 的面积为_ , pob 的面积为 _ （四）二次函数1、 函数 y=ax2+bx+c（其中 a、b、c 是常数， a0）叫做 二次函数2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线，它是一个轴对称图形，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。3、二次函数常用的两种表达形式

12、二次函数的解折式有两种常用的表达形式：一般式、顶点式。两根式中x1、x2是抛物线与x 轴相交的两个交点的横坐标，即方程ax2+bx+c=0 的两个实根。二次函数解析式的两种常用表达形式各有其优点，可以根据不同需要互相转化，如一般式通过配方可化为顶点式。4、二次函数的性质a0 时，抛物线的开口向_，顶点是它的最_点； a 0时， 抛物线的开口向_， 顶点是它的最 _点； a决定抛物线的开口_和开口 _。a越大，开口越 _。抛物线的对称轴是直线x=_，顶点坐标是（_，_） 如果抛物线用顶点式 y= a（xh）2+k 表示时，那么对称轴是直线x=_ ，顶点坐标是（ _，_）当b=c=0 时，二次函数

13、为最简单的二次函数y=ax2。当 b、c 不全为0 时，二次函数y=ax2+bx+c 的图像与y=ax2的图像的形状相同，位置不同，可以通过适当的平移，使两个图形重合，如把二次函数y=(x 1)2 4 的图像，向左平移一个单位，向上平移四个单位，即与y=3x2的图像重合。画二次函数的图像时， 应先求出它的对称轴和顶点坐标，然后利用它的对称性列表取点，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载如取与 y 轴的交点及基本对称点，如果图像与x 轴有两个交点，取这两个交点等，最后描

14、点连接，就可画出二次函数的图像。5、抛物线中间由a、b、c 决定：a0 开口向 _ a 决定抛物线的开口方向a0 开口向 _ c 决定抛物线与y 轴交点的位置：c0 图像与 y 轴交点在x 轴的 _方；c=0 图像过 _点；c0 图像与 x 轴交点在x 轴的 _方。a、 b 决定抛物线对称轴的位置：（对称轴： x=2ba）a、b 同号对称轴在 y 轴_ 侧；b=0 对称轴是y 轴；a、b 异号对称轴在y 轴_ 侧。 =b24ac 决定抛物线与x 轴交点情况：0 抛物线与x 轴有两个不同交点；=0抛物线与x 轴有惟一公共点（相切）； 0抛物线与x 轴有无公共点。6、二次函数的最值二次函数y=ax

15、2+bx+c （其中 a、b、c 是常数， a0）中，如果 a0，那么当x=2ba时，函数y 有最小值244acba，记作 y 最小值244acba；如果 a0，那么当x=2ba时，函数y 有最大值244acba，记作 y 最大值244acba；所谓最值就是最大值或最小值，二次函数取最大值或最小值是与决定图像开口方向的a有关。二次函数的最值反映到图像上，就是最高点或最低点，也就是顶点的纵坐标。7、二次函数与一元二次方程的关系二次函数y=ax2+bx+c （其中 a、b、c 是常数， a0） ，当 y0 时，即对应一元二次方程 ax2+bx+c 0（a0） ，也就是说，二次函数y=ax2+bx+

16、c （其中 a、b、 c 是常数， a0）的图像与x 轴的交点的横坐标x 的值就是方程ax2+bx+c0（a0）的根。当 =b24ac0 时，由于一元二次方程ax2+bx+c0 有两个不相等的实数根，所以抛精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点。当 =b24ac0 时，由于一元二次方程ax2+bx+c0 有两个相等的实数根，所以抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴只有一交点，即抛物线的顶点； 当 =b2 4ac 0 时

17、，由于一元二次方程ax2+bx+c 0 没有实数根，所以抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴没有交点。8、会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 。9、会用二次函数来解决有关实际问题（五）分段函数自变量的取值范围分成几段，函数在每段上都用相应的函数解析式表示，这样的函数叫做分段函数。（六）常见题解法及思路1、直角坐标系问题其实就是各特殊点、象限点的坐标问题，只要掌握各点坐标特征，问题就可迎刃而解。2、对于函数问题，其概念理解应全面，应注意三点：1）两个变量x 与 y；2）变量 y 的值随变量 x 的值变化而变化；3）对于 x 的每一个值， y 都有惟一的值与它对应。3、画函数图像的一般方

18、法是：列表、描点、连线4、灵活掌握各特殊函数本身的定义、表达式特征、图象、性质，其中也包括函数的对称性和增减性，并且由数形结合思想将表达式、图象、性质三位一体。如：会由函数图象来判断解析式的系数符号，或由一些对图象的描述性语言来判断解析式的系数符号。5、求两个函数的交点问题，把两个解析式组成方程组，方程组若有解，则为交点坐标6、用待定系数法求函数解析式的方法1）有几个待定的系数，就要有几个条件来列出相应的方程（组）计算。2）由了解各特殊函数中系数的作用来进行计算，如：一次函数y=kx+b1与 y=kx+b2（k 0） ，由于 x 的系数相同而知两直线平行，反之亦然。又如：二次函数y=ax2+b

19、x+c（a 0） ，与 y=12x2的图像形状相同，则意味着a=12等，这些也可作为用待定系数法时使用的条件。3）在二次函数中，其待定系数法可用解析式不只是标准式y=ax2+bx+c （a0）还有其他在特殊条件下使用的可使运算简便的解析式。如：顶点式 y=a(x-h)2+k， （a0）当给定函数的顶点为p(h , k) 时使用。7、一次函数图像与x,y 轴所围成三角形与四边形的面积问题精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载8、抛物线与x 轴两交点（ x1，0） ， （x

20、2，0）则对称轴221xxx，又 p(-1,5),q（ 3,5 ）在抛物线上，则对称轴x=231=1 9、有些求线段和、差的 最值常常是利用点的对称来解决.例：已知a（ 1， 3） ，b(2,1) 在 x 轴上求一点 , p1使 ap1+bp1最小； p2使22bpap最大 已知 c(3,3),d( 21,-1) 在 x 轴上求一点 , q1使11dqcq最大； q2使 cq2+dq2最小；解：如图b（2，1）关于 x 轴对称 b(2,-1),直线 ab 与 x 轴交点即为所求ap1+bp1最小点 p1（45,0 ） ；直线 ab与 x 轴交点即为p2（0,27）如图 d 关于 x 轴对称点d

21、 （1 ,21）直线 cd 与 x 轴的交点即为所q1（0,49） ；直线 cd与 x 轴的交点q2（0,83）byxp2p1-1123-1bayx331dq2q1dc-1精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载让复习不走弯路的四个小窍门常常看到在大大小小的数学考试后，一些同学大呼小叫： 这道题我本来会做的，可惜不是这里看错了，就是那里算错了；还有一些同学在考试过程中，对于“难题”百思不得其解，可是交卷之后，并没有得到别人的任何帮助，便想出了解题的方法。上述这些现象我们将如何面对， 争取不走弯路或少走弯路？对此我向大家提出几点建议，希望对同学们的学习有所帮助。