2022年初中数学中的折叠问题

1、初中数学中的折叠问题监利县第一中学初中数学中的折叠问题一、矩形中的折叠1将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中bc ，bd为折痕，折叠后 bg和 bh在同一条直线上， cbd= 度2如图所示，一张矩形纸片沿bc折叠，顶点 a落在点 a 处，再过点 a折叠使折痕de bc ，若 ab=4 ，ac=3 ，则 ade的面积是3如图，矩形纸片abcd 中，ab=4 ，ad=3 ，折叠纸片使ad 边与对角线 bd 重合，得折痕 dg，求 ag 的长根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可4把矩形纸片 abcd 沿 be 折叠，使得 ba 边与 bc 重合，然后再

2、沿着bf 折叠，使得折痕be 也与 bc 边重合，展开后如图所示， 则 dfb 等于 （）注意折叠前后角的对应关系5如图，沿矩形abcd 的对角线 bd折叠，点 c落在点 e的位置，已知bc=8cm ，ab=6cm ，求折叠后重合部分的面积重合部分是以折痕为底边的等腰三角形321fedcbagacabd精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - -

3、2 6将一张矩形纸条abcd 按如图所示折叠，若折叠角fec=64 ，则 1= 度； efg的形状三角形对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰gef 7如图，将矩形纸片abcd 按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕ef（如图）；延 cg 折叠，使点 b 落在 ef 上的点 b处， （如图）；展平，得折痕gc（如图）；沿 gh 折叠，使点 c 落在 dh 上的点 c处， （如图）；沿 gc折叠（如图）；展平，得折痕gc，gh（如图 ） （1）求图 中 bcb的大小；（2）图中的 gcc是正三角形吗？

4、请说明理由理清在每一个折叠过程中的变与不变8如图，正方形纸片abcd 的边长为 8，将其沿 ef折叠，则图中四个三角形的周长之和为折叠前后对应边相等9如图，将边长为4的正方形 abcd 沿着折痕 ef折叠，使点 b落在边 ad的中点 g处，求四边形bcfe 的面积注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等10 如图，将一个边长为 1 的正方形纸片abcd 折叠， 使点 b 落在边 ad 上不与 a、 d 重合 mn为折痕，折叠后b c 与 dn 交于 p(1)连接 bb ，那么 bb 与 mn 的长度相等吗？为什么？(2)设 bm =y，ab =x，求 y 与 x 的函

5、数关系式；(3)猜想当 b 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形mnc b 面积最小？并验证你的猜想54132gdfcdbcae精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - -3 二、纸片中的折叠11如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则的度数等于（）题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为 180度的性质， 注

6、意 eab 是以折痕 ab 为底的等腰三角形12如图，将一宽为2cm 的纸条，沿 bc，使 cab=45，则后重合部分的面积为在折叠问题中， 一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整， 对于矩形 （纸片） 折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形abc 13将宽 2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕pq的长是注意掌握折叠前后图形的对应关系在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形apq 14如图 a是长方形纸带， def=20，将纸带沿ef折叠成图 b，再沿 bf 折叠成图

7、c，则图 c 中的 cfe 的度数是（）图c图b图acdgfeacgdfeafdbcaebba2130befacd精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - -4 本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变由题意知 def=efb=20图 bgfc=140，图 c 中的

8、cfe=gfc- efg 15将一张长为70 cm 的长方形纸片abcd ，沿对称轴 ef 折叠成如图的形状，若折叠后，ab 与 cd 间的距离为 60cm，则原纸片的宽ab 是（）16一根 30cm、宽 3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面） ，为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点p 的长度相等，则最初折叠时，求ma 的长三、三角形中的折叠17如图，把 rtabc （c=90 ），使 a，b两点重合，得到折痕ed ，再沿 be折叠， c点恰好与 d点重合，则 ce ：ae= 18在 abc中，已知 ab=2a ， a=30 ， cd是 ab边的中线，若将 a

9、bc沿 cd对折起来，折叠后两个小 acd 与 bcd 重叠部分的面积恰好等于折叠前abc的面积的14（1）当中线 cd等于 a 时，重叠部分的面积等于；gefdaefdbcabc60cm精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - -5 （2）有如下结论（不在“ cd等于 a”的限制条件下）： ac边的长可以等于a；折叠前的abc的面积可以等于32

10、a2；折叠后，以a 、b为端点的线段ab与中线 cd平行且相等其中，结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）注意“角平分线 +等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的对比，找出相等的对应角和对应边19在 abc 中，已知 a=80， c=30，现把 cde 沿 de 进行不同的折叠得cde，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图（ 1）把 cde 沿 de 折叠在四边形 adeb 内，则求 1+2的和；（2）如图（ 2）把 cde 沿 de 折叠覆盖 a，则求 1+2 的和；（3）如图（ 3）把 cde 沿 de 斜向上折叠，探求1、 2、 c 的关系（1）根据折叠前

11、后的图象全等可知，1=180-2cde，2=180-2ced，再根据三角形内角和定理比可求出答案；（2）连接 dg，将 adg+ agd 作为一个整体， 根据三角形内角和定理来求；（3）将 2 看作 180-2ced，1 看作 2cde-180，再根据三角形内角和定理来求bcdab231ebcdba21图(1)cacbde12图(3)cabcde21图(2)gcabcde精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - -

12、 - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - -6 由于等腰三角形是轴对称图形，所以在折叠三角形时常常会出现等腰三角形20观察与发现：将三角形纸片abc（abac）沿过点 a 的直线折叠， 使得 ac 落在 ab 边上，折痕为 ad ，展开纸片（如图） ；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点a 和点 d 重合，折痕为 ef，展平纸片后得到aef（如图）小明认为 aef 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由实践与运用：(1)将矩形纸片 abcd 沿过点 b 的直线折叠， 使点 a 落在 bc 边上的点 f处，折痕为 be（如图） ；再沿过点 e 的直线折叠，使点d

13、 落在 be 上的点 d 处，折痕为 eg（如图）；再展平纸片（如图）求图中的大小由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。要抓住折叠前后图形之间的对应关系(2)将矩形纸片 abcd 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕ef，折痕与 ad 边交于点 e，与bc 边交于点 f；将矩形 abfe 与矩形 efcd 分别沿折痕 mn 和 pq 折叠，使点 a、 点 d 都与点 f重合，展开纸片，此时恰好有mp=mn=pq （如图），求 mnf 的大小在矩形中的折叠问题，通常会出现“角平分线+平行线”的基本结构，即以折痕为底边的等腰三角形21直角三角形纸片abc 中，

14、acb=90， ac bc，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点 a 落在直角边 bc 上，记落点为d，设折痕与 ab、ac 边分别交于点e、点 f探究：如果折叠后的 cdf 与bde 均为等腰三角形， 那么纸片中 b 的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的后的图形精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - -7 先确定 cdf 是等腰三角形

15、，得出cfd=cdf=45，因为不确定 bde 是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，de=db ，bd=be ，de=be，然后分别利用角的关系得出答案即可22下列图案给出了折叠一个直角边长为2 的等腰直角三角形纸片（图1）的全过程：首先对折，如图 2，折痕 cd 交 ab 于点 d；打开后，过点d 任意折叠，使折痕de 交 bc 于点 e，如图 3；打开后，如图4；再沿 ae 折叠，如图 5；打开后，折痕如图6则折痕 de 和 ae 长度的和的最小值是（）本题经过了三次折叠，注意理清折叠过程中的对称关系，求两条线段的和的最小值问题可以参见文章 http:/ 23小华将一条 1（如图 1）

16、，沿它对称轴折叠1 次后得到（如图），再将图沿它对称轴折叠后得到（如图 3），则图 3 中一条腰长；同上操作，若小华连续将图1 折叠 n 次后所得到（如图n+1）一条腰长为多少？本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的24如图，矩形纸片abcd 中， ab= 6 ，bc= 10 第一次将纸片折叠，使点b与点 d重合，折痕与 bd交于点 o1； o1d的中点为 d1， 第二次将纸片折叠使点b与点 d1重合，折痕与 bd交于点 o2；设 o2d1的中点为 d2，第三次将纸片折叠使点b与点 d2重合，折痕与bd交于点 o3，按

17、上述方法，第 n 次折叠后的折痕与bd交于点 on，则 bo1= ，bon= 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - -8 问题中涉及到的折叠从有限到无限，要明白每一次折叠中的变与不变，充分展示运算的详细过程。在找规律时要把最终的结果写成一样的形式，观察其中的变与不变，特别是变化的数据与折叠次数之间的关系25如图，直角三角形纸片abc 中，ab

18、=3，ac=4，d 为斜边 bc 中点，第 1次将纸片折叠，使点 a 与点 d 重合，折痕与 ad 交于点 p1；设 p1d 的中点为 d1，第 2 次将纸片折叠，使点a 与点d1重合，折痕与 ad 交于点 p2；设 p2d1的中点为 d2，第 3次将纸片折叠， 使点 a 与点 d2重合，折痕与 ad 交于点 p3；设 pn-1dn-2的中点为 dn-1，第 n 次纸片折叠，使a 与点 dn-1重合，折痕与 ad 交于点 pn（n 2） ，则 ap6长（）此题考查了翻折变换的知识，解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式，从而得出一般规律，注意培养自己的归纳总结能力26阅读理解如图 1，

19、 abc中，沿 bac的平分线 ab1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿b1a1c的平分线a1b2折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿bnanc的平分线 anbn+1折叠，点 bn与点 c重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，bac是 abc的好角小丽展示了确定 bac是 abc的好角的两种情形 情形一：如图 2， 沿等腰三角形abc顶角 bac的平分线 ab1折叠，点 b与点 c重合；情形二：如图3，沿 bac的平分线 ab1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿b1a1c的平分线 a1b2折叠，此时点b1与点 c重合探究发现（1） abc中， b=2 c ，经过两次， bac是不是 abc的好角

20、？（填“是”或“不是”）（2）小丽经过三次折叠发现了bac是abc的好角，请探究 b与 c （不妨设 bc）之间的等量关系根据以上内容猜想：若经过n 次折叠 bac是abc的好角，则 b与 c （不妨设b c）之间的等量关系为b = n c应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15、 60、105，发现 60和 105的两个角都是此三角形的好角请你完成，如果一个三角形的最小角是4，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角图1b3bn+1bna2b2a1b1abcan图2bcda图3b2a1b1abc精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - -

21、 - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - -9 注意折叠过程中的对应角和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和的运用，理解三角形中如果有一个角是好角之后，另两个角之间的关系，通过这样的问题培养归纳总结能力27我们知道：任意的三角形纸片可通过如图所示的方法折叠得到一个矩形（1）实践：将图中的正方形纸片通过适当的方法折叠成一个矩形（在图中画图说明）（2）探究：任意的四边形纸片是否都能通过适当的方法折叠成一

22、个矩形？若能，直接在图中画图说明；若不能，则四边形至少应具备什么条件才行？并画图说明（要求：画图应体现折叠过程，用虚线表示折痕，用箭头表示方向，后图形中既无缝隙又无重叠部分）折叠即对称28如图，双曲线y = 6x（x0）经过四边形 oabc 的顶点 a、c，abc=90 ，oc平分 oa与 x 轴正半轴的夹角， ab x 轴，将 abc沿ac翻折后得到 abc， b 点落在 oa上， 则四边形 oabc 的面积是多少？明白折叠中的对应边就行29已知一个直角三角形纸片oab ，其中 aob=90 ， oa=2 ，ob=4如图， 将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片， 折痕与边 ob 交于点 c，与边 ab 交于点 d（1）若折叠后使点b 与点 a 重合，求点 c 的坐标；（2）若折叠后点b 落在边 oa 上的点为 b，设 ob=x，oc=y，试写出 y 关于 x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（3）若折叠后点b 落在边 oa 上的点为 b，且使 bdob，求此时点 c 的坐标xybabdocxycdaboxycdabobxy123dcabob精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 10 页