第2章工程信号分析及处理基础

1、第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法学学 习习 要要 求求工程信号的分类方法信号时域分析方法信号频域频谱分析方法典型激励信号的特性 学习要点学习要点第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法2.1 2.1 概述概述 信号是信息的载体，是工程测试的对象。工信号是信息的载体，是工程测试的对象。工程实践中充满着大量的信息，获取这些信息并对程实践中充满着大量的信息，获取这些信息并对其进行分析、处理，可发现事物内在规律及事物其进行分析、处理，可发现事物内在规律及事物之间的相互关系。在各类工程测试中，一方面要之间的相互关系。在各类工程测试中，一方面要考虑将

2、被测信号不失真地测量出来，另一方面又考虑将被测信号不失真地测量出来，另一方面又要考虑经济性，即测量系统的性价比，为此在设要考虑经济性，即测量系统的性价比，为此在设计或组建各参量测试系统前，应对被测信号有所计或组建各参量测试系统前，应对被测信号有所了解，做到有的放矢地组建测试系统。了解，做到有的放矢地组建测试系统。第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法 此外，在测试过程中存在各种各样的干扰此外，在测试过程中存在各种各样的干扰因素，它势必通过传感器、中间变换器和记录因素，它势必通过传感器、中间变换器和记录仪影响动态测试后所得信号的真实性，如何从仪影响动态测试后所得信号的真

3、实性，如何从所测信号中提取有用的特征参数，显然是测试所测信号中提取有用的特征参数，显然是测试工作者必须掌握的关键技术之一。工作者必须掌握的关键技术之一。信号分析就信号分析就是运用数学工具对信号加以分析研究，提取有是运用数学工具对信号加以分析研究，提取有用信号，从中得到一些对工程有益的结论和方用信号，从中得到一些对工程有益的结论和方法。法。研究和运用信号分析技术，其作用主要表研究和运用信号分析技术，其作用主要表现在：现在：第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法 测前准备。测前准备。为正确选用和设计测试系统提供依为正确选用和设计测试系统提供依据。如对信号的有效带宽进行分析

4、，确定相应的据。如对信号的有效带宽进行分析，确定相应的放大器工作带宽等。放大器工作带宽等。 测后分析。测后分析。分析被测信号的类别、构成及特征分析被测信号的类别、构成及特征参数，使工程测试人员了解被测对象的特征参量，参数，使工程测试人员了解被测对象的特征参量，以便深入了解被测对象内在的物理本质。如对信以便深入了解被测对象内在的物理本质。如对信号进行频谱分析以确定信号的频率组成等。号进行频谱分析以确定信号的频率组成等。 测试系统特性分析。测试系统特性分析。选择具有合适特性的信号，选择具有合适特性的信号，去激励测试系统以求其响应，从而获取系统特性。去激励测试系统以求其响应，从而获取系统特性。在此，

5、必须熟悉激励和响应信号的特性，即必须在此，必须熟悉激励和响应信号的特性，即必须熟悉输入、输出信号的分析方法。熟悉输入、输出信号的分析方法。第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法 现代电气与电子通信技术的迅速发展使现代电气与电子通信技术的迅速发展使得信号分析与处理理论也获得了重大的进展。得信号分析与处理理论也获得了重大的进展。随着计算机及集成技术的进一步的发展，信随着计算机及集成技术的进一步的发展，信号分析及处理的速度越来越快。工程测试是号分析及处理的速度越来越快。工程测试是信号理论的一个重要的应用领域，随着计算信号理论的一个重要的应用领域，随着计算机及软件实现信号分析

6、处理的方法也日趋成机及软件实现信号分析处理的方法也日趋成熟，信号的分析处理方法已成为一个重要的熟，信号的分析处理方法已成为一个重要的技术工具，在工程测试领域中必将得到更广技术工具，在工程测试领域中必将得到更广泛的应用。泛的应用。 本章介绍信号的分类及描述方法，本章介绍信号的分类及描述方法，重点重点讨论周期信号及瞬态信号的分解与频谱分析讨论周期信号及瞬态信号的分解与频谱分析方法，为信号的可测性分析提供依据。方法，为信号的可测性分析提供依据。第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法2.2 工程信号的分类 为便于分析和讨论，有必要从不同的研究为便于分析和讨论，有必要从不同的研

7、究角度出发，对信号加以分类讨论。角度出发，对信号加以分类讨论。1 1）根据信号随时间变化的情况考虑）根据信号随时间变化的情况考虑静态信号：静态信号：不随时间变化的信号。不随时间变化的信号。动态信号：动态信号：随时间变化的信号。随时间变化的信号。 第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法2）从信号的幅值和能量上考虑）从信号的幅值和能量上考虑a)能量信号能量信号 在所分析的区间（在所分析的区间（-，），能量为有），能量为有限值的信号称为能量信号，满足条件：限值的信号称为能量信号，满足条件： 2( )dx tt 第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法

8、b)功率信号功率信号 在所分析的区间（在所分析的区间（-，），能量不是有限），能量不是有限值此时，研究信号的平均功率更为合适。值此时，研究信号的平均功率更为合适。 一般持续时间无限的信号都属于功率信号。一般持续时间无限的信号都属于功率信号。212lim( )dttttx tt 第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法 3）从分析域上考虑）从分析域上考虑 a)时限信号：时限信号： 若信号在有限区间（若信号在有限区间（t1，t2）内有）内有定义，在区间外恒等于零，称为时域定义，在区间外恒等于零，称为时域有限信号，简称为时限信号。如图有限信号，简称为时限信号。如图2-1所示的

9、矩形脉冲、所示的矩形脉冲、2-2所示的作用于弹所示的作用于弹底的火药燃气压力、水下爆炸冲击波底的火药燃气压力、水下爆炸冲击波等。时限信号也称为瞬态信号，是动等。时限信号也称为瞬态信号，是动态测试中研究的主要对象。态测试中研究的主要对象。第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法 p(t)x(t)0tt1t0图2-1 脉冲信号图2-2 火药燃气压力第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法 b)频限信号：频限信号： 若信号在频域内只占据有限的带宽，在这一带若信号在频域内只占据有限的带宽，在这一带宽外信号恒等于零，称为频限信号。宽外信号恒等于零，称为频限

10、信号。 4）从时间连续性上考虑）从时间连续性上考虑 a)连续时间信号：连续时间信号： 在所讨论的时间内，对于任意时间值（除若干在所讨论的时间内，对于任意时间值（除若干不连接点以外）都可给出确定的函数值。对于时间不连接点以外）都可给出确定的函数值。对于时间和幅值都连续的信号又称为模拟信号。常见的信号和幅值都连续的信号又称为模拟信号。常见的信号大都属于这一类，如图大都属于这一类，如图2-3（a）所示。）所示。第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法 b)离散时间信号：离散时间信号： 信号在若干时间点上有定义。离散信号信号在若干时间点上有定义。离散信号的离散性表现在时间保留幅

11、值上，如图的离散性表现在时间保留幅值上，如图2-3（b）所示。如每天中午每）所示。如每天中午每5分钟量分钟量1次室温，次室温，则记录的温度信号就是离散信号。经过测试则记录的温度信号就是离散信号。经过测试系统采集后的时间和幅值都是离散的信号，系统采集后的时间和幅值都是离散的信号，称为数字信号。称为数字信号。第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法 图图2-3 连续信号和离散信号连续信号和离散信号 (a)连续信号；连续信号；(b)离散信号。离散信号。(a) (b)。第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法 5）从是否可以实现考虑）从是否可以实现考虑

12、物理可实现信号：又称为单边信号，满足物理可实现信号：又称为单边信号，满足条件：条件：t0时，时，x(t) = 0，即在时刻小于零的一，即在时刻小于零的一侧全为零。侧全为零。 物理不可实现信号：在事件发生前物理不可实现信号：在事件发生前(t0 0所以幅度谱以 成偶对称，相位谱成奇对称。 )2(de1)(022j00nsatetetnxtntnntnnnnxnsatetx00jj0j0ee)(e )2()(式中 nnxnxj00e)()()2()(00nsatenx0n)(0nxn)(0nx0n第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法将上述两种形式的傅里叶级数表示成频谱，分

13、别如图2-12(a)(d)所示，当 为实数时，幅度、相位谱可画在同一谱图上，如图2-12(e)所示。)(0nx第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法 由图2-12可见，周期矩形信号包含有无穷多个谐波，因而其频谱包含有无穷多条谱线。但是随着谐波频率的增大，谐波的幅度虽然有起伏，但基本趋势是渐趋于零。因此信号的能量主要集中在低频分量，在包络线第一个零点以内( 的谐波略去，仍可以在保证一定精度的条件下复现信号。因此低频谐波是构成信号的主体。在工程上，提出了一个信号频带宽度的概念，通常把信号值得重视的谐波的频率范

14、围称为信号的频带宽度或信号的有效带宽，或简称“信号带宽”。即在一定的误差范围内，只考虑有限的频率分量：从0频率到所必须考虑的最高次谐波分量之间的频段称为信号的频带宽度(有效带宽)。信号的频带宽度是一个重要的概念，这在信号处理中，在设计和选用测试装置时要充分注意。0n20n2第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法 这个频率区域可用角频率来表示，记为 也可用频率表示，记为 。对于周期矩形信号来讲，其频带宽为 或 显然，其频带宽度是脉宽 的倒数。信号带宽还有其它的定义方法。例如有时将谐波包 络线幅度下降至基频幅度的某个百分数的频率作为信号带宽；还有，按照略去信号带宽以外的全

15、部谐波后，剩下的各谐波之和（即有限项级数之和）与原信号之间的差异（即失真）的大小不超过某个指标为前提来定义信号带宽。 bfb2b1fb第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法2. 信号的可测性信号的可测性 信号的带宽虽然是由矩形脉冲信号引出的，但也适用于其它信号。在选择测量仪器时，测量仪器的工作频率范围必须大于被测信号的频宽，否则将会引起信号失真，造成较大的测量误差。因此，设计或选用测试仪器时需要了解被测信号的频带宽度。 信号的频宽可根据信号的时域波形粗略地确定。表2-2为常见周期信号的波形及其频带宽度。可以看出，对于有突变的信号（如序号为1、3的波形），其频带宽度较宽

16、，可取其基频的10倍为频宽，对于无突变的信号（如序号为2、4的波形），其信号变化缓慢，频带较窄，可取基频的3倍为频宽。第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法序号1234波形频带 10 3 10 3 0 t t 0000 0 t t 0 t t 0 t t 表表2-2 常见周期信号的波形及带宽常见周期信号的波形及带宽第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法3. 测不准原理测不准原理 由 ，可得 ，表明在信号持续时间 与带宽 之间有一约束关系。信号持续时间越短，信号在时域上分辨率越强。但必须加大带宽 ，即以牺牲信号频域的分辨率为代价，反之亦然。即不

17、可能在时域和频域上同时有高的分辨率，这就是著名的海森博格“测不准原理”。1fb1fbfbfb第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法1. 傅氏变换傅氏变换 由上述讨论，对矩形周期信号的频谱有由上述讨论，对矩形周期信号的频谱有 。可见，随着。可见，随着t的增大，谱间隔的增大，谱间隔 减小；若减小；若 ，周期信号变成了非，周期信号变成了非周期信号，即周期信号，即 。此时再用前面。此时再用前面所提的傅里叶级数的频谱来描述非时限所提的傅里叶级数的频谱来描述非时限信号已不合适。由式（信号已不合适。由式（2-8）及式（）及式（2-9）可得到可得到2.4 时限信号（瞬态信号）t200

18、t0d00第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法 ，谱线间隔由 ，而离散频率 变为连续频 率 ，此时 。但 有限值，变成一个连续函 数，记作 或 即 22j000de )()(2)(0tttnttxnxtnx（2-11）00，t00d)(0n0)(0nx)(200nx)(x)j (xtnxnxxt)(lim)(2lim)(00000第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法 反映了单位频带的频谱值，称之为频谱密度。同时称 为原函数 的频谱密度函数，简称为频谱函数。式（2-11）可表达成 即 （2-12） 同样也可得到 （2-13） 通常称式（2-

19、12）为傅里叶变换，简称傅氏变换。式（2-13）为傅里叶逆变换，又称为傅氏逆变换。可分别记为 f 及 f)(200nx)(x)(tx22jde )(lim)(0tttntttxxttxxtde )()(jde )(21)(j txtx)(x)(tx)(tx)(1x第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法2. 傅氏变换的存在条件傅氏变换的存在条件 不是所有的时限信号都可进行傅里叶变换，时限不是所有的时限信号都可进行傅里叶变换，时限信号是否存在傅里叶变换同样需要满足下述狄里信号是否存在傅里叶变换同样需要满足下述狄里赫利条件：赫利条件： 信号绝对可积，即；信号绝对可积，即；

20、在任意有限区间内，信号在任意有限区间内，信号 只有有限个最大只有有限个最大值和最小值；值和最小值； 在任意有限区间内，信号在任意有限区间内，信号 仅有有限个不连仅有有限个不连续点，而且在这些点的跃变都必须是有限值。续点，而且在这些点的跃变都必须是有限值。 上述三个条件中，条件上述三个条件中，条件是充分但不是必要条件；是充分但不是必要条件；条件条件、则是必要而不是充分条件。因此对于则是必要而不是充分条件。因此对于许多不满足条件许多不满足条件，即不满足绝对可积的函数，即不满足绝对可积的函数，如周期函数，但满足条件如周期函数，但满足条件、的也能进行傅里的也能进行傅里叶变换。叶变换。ttxd)()(t

21、x)(tx第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法3. 典型时限信号的频谱典型时限信号的频谱 例2-4 求矩形脉冲（矩形窗函数）的频谱。矩形脉冲如图2-13所示，时域表达式为202)(ttatxx(t)x() aa 0t0 图2-13 矩形脉冲函数及其频谱-/2/2-2/2/4/-4/第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法 解 由于是一个实数，没有虚部，所以其幅频谱为其相频谱为 )2(2)2sin()ee (jdede )()(2j2j22jjsaaatatattxxtt)2()(saax) 1(4) 12(2() 12(24(0)(nnnnn

22、=0、1、2第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法如图2-14所示。42-2-4a 0-6642-2-40图2-14 矩形脉冲函数的幅频谱和相频图第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法4. 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质傅里叶变换主要的性质见表傅里叶变换主要的性质见表2-3所列所列 表2-3 主要傅里叶变换性质性质名称 时域 频域 线性 对称性尺度变换时移特性频移特性微分特性积分特性)()(tbytax)()(byax)(tx)(2x)(ktx)(1kxk)(0ttx0je )(txttx0je )()(0xkkttxd)(d)()j (x

23、ktttxd)()(j1x第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法卷积特性抽样定律帕斯瓦尔等式)()()(*)(tytxtytx)(*)(21)()(yxyx)2(1)()(sssnnntxntttxnnnxtnxt)()().2(1sssd)(21d)(22xttx第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法2.4.2 时限信号与周期信号的异同点时限信号与周期信号的异同点 1）相同点： 周期信号频谱的包络线与时限信号频谱的包络线相似。 2）不同点： 时限信号的频谱是连续谱，周期信号的频谱是离散谱。 从能量角度上看： 周期信号用功率谱表示；时限信号用

24、能量谱表示。 周期信号幅值谱纵坐标表示相应的谐波分量的幅值；时限信号幅值谱纵坐标表示幅值谱密度。 周期信号采用傅立叶级数分析；时限信号采用傅立叶变换分析。第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法 2.4.3 时限信号的可测性分析时限信号的可测性分析 与测量周期信号一样，测量时限信号时测量仪器的带宽必须大于被测信号的有效带宽。例2-4中矩形脉冲的频谱以 规律变化，分布在无限宽的频率范围上，但其主要的信号能量处于 范围。通常认为此脉冲的带宽近似为 ，即 ，选择此类信号的测量仪器时，测量仪器的带宽必须大于 。)2(sa2022b2第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信

25、号描述及其分析方法 2.5 2.5 随机信号随机信号 随机信号的相位、幅值变化是不可预知的，不可能用确定的时间函数来描述，属于非确定性信号。在相同条件下，对信号重复观测，每次观测的结果都不一样，但其值通过统计大量观测数据后呈现出一定的规律性。测试信号所带的环境噪声就是随机信号。 （1）几个基本概念 对随机信号在有限时间内的观测结果称之为样本，所有可能样本的集合称之为总体。由同一试验条件下所有样本函数的集合（总体）才能定义一个物理现象的随机过程，它是依赖于时间t上的一簇随机变量或以时间t作为参量的随机函数。比如：对每日气温的观测，地球上温度的变化，只能以天为单位，或以年为单位来进行分析。每天的观

26、测构成一个样本函数x1(t)，x2(t)，xn(t)。一年的观察数据x(t)= (k=1，2，3，n)组成一个随机过程。)t (xk第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法 （2）随机信号分类 若一随机信号x(t)的统计规律均不随着时间t变化，则称该信号为平稳随机信号，否则称非平稳随机信号。在平稳随机信号中若所有样本函数的统计特征不随ti变化而变化，则x(t)称为各态历经信号。在工程技术应用领域，许多随机信号都属于或近似各态历经信号。 （3）随机信号的处理方法 由于随机信号具有统计规律性，所以研究随机信号是采用建立在大量观测实验基础上的概率统计方法。由于记录仪等的采样和

27、存储长度是一定的，所以不可能对一个无限长的随机信号采用全过程记录。测量分析时，仅取其中任一段信号历程称为样本，可由样本求出反映随机信号特征的那些统计数学参数。对于各态历经信号，由于其特性，因此无需要做大量重复试验，就可由一个或少数几个样本函数，推测或估计出随机信号的特征参数。 但并不是所有随机信号均可采用该种方法处理，若被测随机信号不属于平稳随机信号，就不能用该方法进行处理，必须进行全过程监测。第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法2.5.1 随机信号的特征参数随机信号的特征参数 描述随机信号常用的统计特征参数有： 1. 均值（期望）均值（期望） 均值是随机信号的样本

28、函数在整个时间坐标上的平均。即 （2-14） 在实际处理时，由于无限长时间的采样是不可能的，所以取有限长的样本作估计 （2-15）均值表示了信号中直流分量的大小，描述了随机信号的静态分量。ttxttxttxe0d)(1lim)(txttxt0d)(1第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法 2. 均方值均方值 均方值是信号平方值的均值，或称平均功率，其表达式为 （2-16） 均方值的估计为 均方值有明确的物理意义，表示了信号的强度或功率。 均方值的正平方根称为均方根值 ，又称为有效值 （2-17） 它是信号平均能量（功率）的另一种表达。ttxttxttxe0222d)(

29、1lim)(txttxt022d)(1rms xtxttxtx022rmsd)(1第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法 3. 方差方差 信号的方差描述随机信号幅值的波动程度。定义为 （2-18）方差的平方根 描述了随机信号的动态分量。均值 ，均方值 和方差 三者之间具有下述关系 （2-19） ttxttxetxetxtxd)(1lim)()(2022xx2x2x222xxx第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法 4. 概率密度函数概率密度函数 随机信号的概率密度函数定义为 （2-20）对于各态历经过程 （2-21）式中， 表示瞬时值落在 范

30、围内可能出现的概率，称为概率分布函数。 表示在0t这段时间里，信号瞬时值落在 区间的总时间，t为总观测时间，如图2-15所示。 xxxtxxpxpx)(lim)(0ttxxpxtxlim1lim)(0ttxxtxxpxtlim)(x21tttxxxx, 图2-15 随机信号的概率密度函数ttt1t2 t3t4x+xx0 x(t)第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法 2.5.2 随机信号的幅值域的特征估计随机信号的幅值域的特征估计 在工程测试中，所遇的随机信号通常是无限长的，不可能在无限长时间内获得被测信号的准确情况，一般只能用在有限的时间内得到的有限个个体样本根据经

31、验来估计总体分布情况。用有限个样本的估计值来预测或推测被测对象的状态或参量的真值的问题就是所谓的估计问题。第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法1. 均值的估计均值的估计设为平稳且各态历经离散随机信号所观测的样本序列（为一有限长为n的序列），其均值的估计为 （2-32）该估计的均值为 即为该随机信号的均值的真值，因此均值的估计是无偏估计 10)(1nnnxnx1010)(1 )(1 nnnnxnxennxnexe第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法均值估计的方差为设 与 互不相干，则上述分析表明，当各样本互不相关时，均值的估计 是无偏且为一

32、致估计。222)( xexexd101, 022210210221010)()()(1)()(1)(1)(1nnnnmmxnnxnmxnmnnmxnxenxenmxnxenmxnnxne （2-33）)(nx)(mx222221022211)(1) 1()(1 xxxxnnxnnnnxennnxenxd故有 01lim lim2xnnnxd（2-34） x 第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法2. 方差的估计设均值的估计 已知，方差的估计为该估计的均值为假设 与 相互独立，则有式（2-37）表明方差估计是有偏的，式（2-38）表明该估计却又是渐进无偏的。x 1022

33、 )(1nnxxnxn（2-35） )(2 )(11022xnxexenxenennx（2-36） )(nx)(mx2102221)(1)(1xnnxnnnxennxene) 1(2)(222xnnnxen2222221)(11)(1)(xxxnnnxennnnnxennxe（2-37）222)1(limlimxxnxnnne （2-38）第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法2.6 典型激励信号描述典型激励信号描述 激励信号在测试信号的分析中起着重要的作用。工程测试中常通过施加激励信号来求取系统的冲激响应或阶跃响应等，以获得系统的动态特性参数或标定传感器的灵敏度等。

34、 本节介绍几种工程测试中常用的典型激励信号及其频谱结构。第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法2.6.1 冲激函数及其谱分析1. 冲激函数冲激函数冲激函数有几种不同的定义式。（1）图2-24（a）所示的矩形脉冲g(t)，宽为 ，高为 ，其面积为1。保持脉冲面积不变，逐渐减小 ，则脉冲幅度逐渐增大，当 时，矩形脉冲的极限称为单位冲激函数，记为 ，即 函数，表达式为 表示只在点有“冲激”；在 点以外各处，函数值均为0，其冲激强度（脉冲面积）是1。一个强度为e倍单位值的 函数用来 表示。用图形表示时在箭头旁需注上e。如图2-24（b）所示。10）（t)2()2(lim)(0

35、ttt（2-71） ）（t0t)(te1g(t)tt01(e)(a) (b)图2-24 脉冲函数的定义与表示第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法（2）狄拉克（diract）定义狄拉克给出的冲激函数定义为这一定义与上述脉冲的定义是一致的，因此，也把 函数称为狄拉克函数。对于在任意点处出现的冲激，可表示为00)(1dtttt，）（2-72) 0000)(1dttttttt，）（2-73） 第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法2. 冲激函数的性质冲激函数的性质（1）积分筛选特性）积分筛选特性当单位冲激函数当单位冲激函数 与一个在与一个在 处连续

36、且有界的信号处连续且有界的信号 相相乘时，其积的积分只有在乘时，其积的积分只有在 处得到处得到 ，其余各点之乘积及，其余各点之乘积及积分均为零，从而有积分均为零，从而有式式(2-74)和式和式(2-75)表明，当连续时间函数表明，当连续时间函数 与单位冲激信号与单位冲激信号 或或者者 相乘，并在相乘，并在 时间内积分，则可得到时间内积分，则可得到 在在 点的函数值。点的函数值。)(t0t)(tx0t)0(x)0(d)()0(d)0()(d)()(|xttxtxtttxt（2-74）类似地，对于)(d)()(d)()(d )()(000000txttttxttxttttxtt（2-75） )(t

37、x)(t)(0tt )(，)(tx0t第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法（2）冲激函数是偶函数即这里用到了变量置换 。将上面得到的结果与式(2-74)对照，从而证明了冲激函数是偶函数的性质。（3）乘积（抽样）特性若函数 在 处连续，则有 )()(tt（2-76）)0(d )0()()(d)()(d)()(xxxttxt（2-77）t)(tx0tt )()()()(000tttxtttx （2-78） 第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法（4）卷积特性两个信号 与 卷积的定义：即定义 为信号 与 的卷积，记作 ，写成卷积公式的积分结果仍是

38、时间t的函数，而任何连续信号 和 的卷积是一种最简单的卷积积分，结果就是该连续信号 ，即同理，对于时延单位脉冲 ，有)(1tx)(2txd)()(21txx)(1tx)(2tx)()(21txtxd)()()()(2121txxtxtx（2-79） )(tx）（t)(tx)(d)()()()(txtxttx （2-80）)(0tt )(d)()()()(000ttxttxtttx（2-81） 第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法 连续信号与 函数卷积结果的图形如图2-25所示。由图可见，信号 和 函数卷积的几何意义，就是使信号 延迟 脉冲时间。 (t+t0) (t-

39、t0) x(t)*(t)x(t)*(tt0)a (1) (1) (1) t t t t 0 0 0 0 -t0 t0 x(t)x(t) 图2-25 连续信号与冲激函数的卷积)(0tt )(tx)(0tt )(tx0t第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法3.信号的频谱信号的频谱由傅里叶变换的定义及由傅里叶变换的定义及 的积分筛选特性可得单位冲激函数的积分筛选特性可得单位冲激函数 的的傅里叶变换傅里叶变换 f由上式可见，单位脉冲信号的频谱为常数，说明信号包含了由上式可见，单位脉冲信号的频谱为常数，说明信号包含了 所有频率成分，且任一频率的频谱密度函数相等，如图所有频率成

40、分，且任一频率的频谱密度函数相等，如图2-26所示，故称所示，故称这种频谱为这种频谱为“均匀频谱均匀频谱”，又称，又称“白色谱白色谱”。同时由傅里叶逆变换定义，。同时由傅里叶逆变换定义，可可得得 f上式表明直流信号的傅里叶变换是冲激函数。即上式表明直流信号的傅里叶变换是冲激函数。即 f f)(t)(t)(t)(x1de )(de )()(0jtttttt（2-64） ),(21)d(21de )(21)(j1t（2-82）)(21)(2 1 （2-83） 图2-26 单位脉冲信号频谱001第第2 2章章 工程信号描述及其分析方法工程信号描述及其分析方法2.6.2 单位阶跃信号及其谱分析阶跃信号 可表示阶跃信号在跳变点t=0处，函数值未定义，或在t=0处规定u(0)=。幅值a=1的阶跃信号称为单位阶跃信号，如图2-27所示，可表示为利用单位阶跃信号可方便地表达各种单边信号，如单边正弦信号为 、单边指数衰减振荡信号 等。此外，它还能表示单边矩形脉冲信号 式中t为矩形脉冲持续时间。)(tu）（0000tta)t (u（2-84） 0001)(tttu (2-85) ttusin)(tatutb02sine)()()()(ttututgu(t) 1 0t图2-27单位阶跃信号第第2 2章章 工程信号描述及其分