数形结合思想教学案例

1、一、数形结合思想方法简述数形结合是小学数学中常用的、 重要的一种数学思想方法。 数形结合思想的实质即通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过形象化的方法，转化为适当的图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系， 解决数量关系的数学问题， 这是数形结合思想在小学数学中最主要的呈现方式。 另外， 数形结合思想在关于几何图形的问题中， 用数量或方程等表示，从它们的结构研究几何图形的性质与特征，这是另一种呈现方式。在小学数学中，运用数形结合的思想，充分利用“形”把题中的数量关系形象、直观的表示出来，如通过作线段图、树形图、长方形面积图、集合图、数轴等，帮助学生理解抽象的数量关系、数学概念

2、，使问题简明直观，甚至使一些较难的问题迎刃而解。应用数形结合解题， 从抽象到直观， 再由直观到抽象， 既能培养学生的形象思维能力，又促进逻辑思维能力的发展。对大脑的科研成果表明，人的大脑两个半球具有不同的功能，左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维，讲究规范严谨、稳定封闭，如数的运算、逻辑推理、归纳演绎等；右半脑功能侧偏重于形象思维，讲究直觉想象、自由发散，如猜想、假设、构思开拓、 奇异创造等。 左、右半脑的功能各有特征，如果互相补充就会使大脑功能更加健全和发达。 “数形结合”就同时运用了左、右半脑的功能，既培养学生的形象思维能力，又促进逻辑思维能力的发展。通过数形结合，有助于学生对数学知识的记忆。数

3、学是十分抽象的概念、公式、定理、规律等，数形结合使抽象的数学尽可能形象化，对学生输入的数学信息的映象就更加深刻，在学生的脑海中形成数学的模型， 可以形象地帮助学生理解和记忆。 如新课标人教版三年级上册比较分子相同分母不同的分数大小时， 通过十分直观的图形， 帮助学生理解记忆， 掌握 “平均分的份数越多，每一份越少”这一很抽象的数学逻辑，使学生印象深刻。应用数形结合， 还可以训练学生数学直觉思维能力。 在数学里，存在着大量的概念、定理、公式、以及典型题例等。当学生解答问题时，通过仔细阅读条件与问题，往往通过第一直觉进行判断， 这是一个什么方面的问题， 需要用什么知识点进行解答， 这就是所谓的直觉

4、思维。 在数学教学中，教师通过数形结合训练学生的直觉思维，让学生养成整体观察， 从整体上对数学对象（条件、问题）及其结构（数量关系）迅速识别、判断，进而作出大胆的猜想、合理的假设，并作出试探性的结论。 如教学行程问题中的相遇与追及问题时， 教学中通过画线段图，帮助学生理解、掌握相遇问题与追及问题的数量关系，联系与区别， 从而使学生在解决这类问题时， 即使不再画图， 也能做到直观地判断出解决的问题是相遇问题， 还是 追及问题，正确的应用相应的数量关系进行解答。应用数形结合的思想， 培养学生的发散思维能力。 发散思维是从同一来源的材料或同一个问题， 探求不同思路和方法的思维过程， 其思维方向是从不

5、同角度、 不同方面看待同一个问题。在数学教学中，常常借助“一题多解”或“一题多变”的形式，突出已知条件与问题之间的矛盾联系，来激发学生提出新的思想、新的方法、新的问题，达到知识融会贯通，发展思维的广阔性和灵活性， 激励学生的好奇心和求知欲， 提高解决问题的应变能力。 如教学相遇问题时，运用线段图的不同呈现方式，使学生理解两种解法。应用数形结合思想，还有可有效地培养学生的创造性思维能力。创造性思维能力是思维的最高境界。 当前，对学生进行综合素质和能力的培养，是培养创造性人才的需要。 只有具有创造性思维能力的人， 才能在各自的领域中有所创造发明， 才能推动科学技术、 人类社会的不断发展。在数学教学

6、中，教师可通过编选一些探索性的题目，运用数形结合的思想，引导学生去研、 去探讨、 去发现， 让他们不是从头脑中已有的思维形式和思维方法中去找答案， 而是从问题的本身进行具体的分析研究， 进行一系列探索性思维活动， 将已有的思维方式大跨度地迁移， 从可供选择的途径中筛选中解决问题的方法。 如学习了重叠问题后， 学生 对两两重叠较易理解掌握， 能正确解题， 但三三重叠学生理解起来就很困难： 两两重叠部分要减去，为什么三三重叠部分要加上呢？在这里，教师用单纯的语言文字是不能说清楚的，只有通过让学生画图，理解三三重叠部分在前面的加减中一次也没有计算，还需要加上去。二、数形结合思想方法在教材中的渗透1

7、、 数形结合帮助学生建立起数学基本概念， 形成整个数学知识体系。 数学是思维的阶梯。纵观整个小学数学教材， 从一年级到六年级， 无不充分体现数与形的有机结合， 帮助学生从直观到抽象，逐步建立起整个数学知识体系，培养学生的思维能力。在一年级上册中， 学生刚学习数学知识时， 教材首先就是通过数与物 （形）的对应关系，初步建立起数的基本概念，认识数，学习数的加减法；通过具体的物（形）帮助学生建立起初步的比较长短、多少、 高矮等较为抽象的数学概念；通过图形的认识与组拼，在培养学生初步的空间观念的同时，也初步培养学生的数形结合的思想，帮助学生把数与形联系起来，数形有机结合。 在以后年级的学习中，随着学生

8、年龄的增长， 思维能力的不断提高，数与形的结合就更加广泛与深入。在二年级上册学习乘法与除法的意义时，通过数与物（形的）对应结合，帮助学生理解掌握乘法与除法的意义， 并抽象地运用于整个数学学习中。 在三年级上册分数的初步认识中，通过具体的形的操作与实践，让学生充分理解 “平均分” ，几分之一，几分之几等数学概念，掌握运用分数大小的比较，分数的意义， 分数的加减等， 使数形紧密地结合在一起，把抽象的数学概念直观地呈现在学生面前， 帮助学生理解掌握分数的知识。 在四年级下册小数的意义的学习中， 小数是一个十分抽象的概念， 它与分数相比更加抽象。 我们同样是通过数与形的结合，帮助学生理解掌握小数的意义

9、、小数的大小、小数的性质。通过1 米=10 分米，让学生理解 1 分米 =0.1 米，并类推出 1 厘米 =0.01 米， 1 毫米 =0.001 米；通过数与形完美的结合数轴，让学生理解小数的组成、小数大小的比较、小数与整数的关系等。总之，一句话， 数形结合贯穿着整个数学领域， 在帮助学生建立初步的数学概念， 培养学生基本数学思维能力中起着十分重要，而且不可替代的作用。2、数形结合贯穿着整个数学知识的应用（解决问题）的教学。在一年级下册刚接触比多比少应用题教学时，通过数与物（形） 的对应关系，帮助学习建立起同样多、多的部分、少的部分、大的数、小的数等较抽象的数学概念，从而理解掌握比多比少用大

10、的数减去小的数，求大的数用小的数加上多的部分（或少的部分） ，求小的数用大的数减去少的部分（或多的部分） 。有的学生在刚学习比多比少应用题时，未能很好的建立起数与形的有机结合，未充分理解掌握比多比少的基本数量关系，而是机械地记忆“多”字用加法， “少”字用减法。这样的学生我们在教学中发现的还不在少数。在二年级上册进行倍数应用题的学习时，教材首先是通过数与物 （形）的结合， 帮助学习初步建立起倍数的意义， 即求一个数的几倍， 就是求几个这样的数是多少。 在学生初步建立起倍数的概念（意义）的基础上，逐步过渡到数与形结合，即画线段图，帮助学习理解掌握倍数的意义。在这里，教材从最初的最直观的数物（形）

11、结合，逐步过渡到由图形代替物体数形结合， 初步建立起数学语言数与形， 使学生逐步从最直接的感知发展到较为抽象的数学知识，初步建立起今后数学学习的基本途径与方法，与数学思想数形结合。在相遇问题、追及问题、和差问题、和倍问题、工程问题、分数应用题、比例应用题、列方程解应用题等许多解决问题的教学中， 无不充分地运用数形结合， 把抽象的数量关系， 通过画线段图、集合图、长方形面积图、列表格等方式，数形结合，呈现为较为具体直观的数学符号，使较复杂的数量关系简单明了，有利于分析题中数量之间的关系，丰富学生表象，引发联想，启发思维，拓宽思路，化繁为简，化难为易，迅速找出解决问题 的方法，提高学生分析问题和解

12、决问题的能力。在解决鸡兔同笼问题， 即采用假设法解题时， 运用数形结合， 可以使极为抽象的假设法变得直观形象。如：有一只笼子，笼子中有鸡也有兔，鸡和兔共有5 只，腿有 14 条。你们知 道鸡有几只，兔有几只吗？题中有两个变量：鸡和兔，鸡的只数增多，兔的只数就要减少，反之鸡少了兔就多了， 但它们的总的只数和腿的条数是不变的。 教学中， 让学生理解鸡与兔是两个变量十分困难， 教师单纯用语言是无法让学生很好的理解的。 采用数形结合， 让学生通过想想画画再想想再画画， 帮助学生理解这鸡兔这两个变量， 从而解决问题。3、数形结合帮助小学生建立起初步的几何知识体系，发展空间观念，为今后的数学学习打下坚实的

13、基础。 在一年级下册图形的组拼中， 通过数图形， 如， 让学生不断地把玩方积木，用多少不等或相等的积木不断堆砌不同的形状， 体验数与形的结合， 感知空间图形， 进而抽象出一排有几个，有几排，有几层等空间观念，为长方形的面积公式推导、 长方体的体积公式推导等奠定基础。 在三年级下册长方形面积公式推导中， 通过让学生用 1 平方厘米的小正方形摆放长方形面积， 摆出长有几厘米就能摆几个， 宽有几厘米就能摆几排， 抽象出长方形的面积就是长与宽的乘积。 在长方体体积公式推导中， 也同样运用数与形的有机结合， 通过学生用 1 立方厘米的小正方体摆放长方体的体积， 得出长是几厘米就是一排摆几个， 宽有几厘米

14、就能摆几排，高有几厘米就是能摆放几层，进而逐步抽象概括出长方体的体积=长>< 宽X高。4 、 数形结合帮助学生建立起初步的分类与集合的思想。 在四年级下册三角形按角分类中，运用集合图，数形结合， 让学生充分理解锐角三角形、直角三角形、钝角三角形这三类三角形之间的关系。 同样，在四年级上册四边形的分类中，也是运用数形结合的集合图，帮助学生理解各种四边形之间的联系与区别。5、运用数形结合，帮助学生理解较抽象的数学、数量关系，培养学生逻辑思维能力。在现行人教版课标本数学教材中， 引入了大量的以前认为是奥数的， 但在现实生活中却经常应用的数学内容，如三年级下册重叠问题（ P108 例 1

15、） 、四年级上册策略问题（ P112 例 1 、P113例2、P115例3）、四年级下册植树问题（P117例1、P118例2）、二年级上册（P99例 1）与三年级上册排列组合（P112例1、P113例2、P114例3）、一年级下册、二年级下册、五年级上下册找规律等。在教学中， 如果不采用数形结合， 把抽象的数学概念形象直观化， 学生根本不能理解掌握运用。如三年级下册重叠问题（ P108 例 1 ：三（ 1 ）班参加语文、数学课外小组学生名单。语文组：杨明、李芳、刘红、陈东、王爱华、张伟、丁旭、赵军；数学组：杨明、李芳、刘红、王志明、于丽、周晓、陶伟、卢强、朱小东。参加课外小组的学生有多少人）

16、，教学中，引导学生数出参加语文组的有8人，参加数学组有有9 人，但这两个小组没有8+9=17 人，这是为什么呢？引导学生通过画出韦恩集合图，让学生充分明白：有3 个重复的， 8+9 多计算了一次，需要减去，两个小组实际只有8+9 3=14 （人）。在植树问题中（P117例1:同学们在全长100 米的小路一边植树， 每隔 5 米栽一棵 （两端要栽） 。 一共需要多少棵树苗？） ，只有通过画图， 让学生充分理解植树棵数与间隔数的关系， 才能帮助学生理解两端要植： 棵数=间隔数+1,两端不植：棵数=间隔数一1, 一端植：棵数=间隔数。二年级上册（P99例1） 与三年级上册（ P112 例 1、 P1

17、13 例 2、 P114 例 3）排列组合中，如果用高中数学中什么是排列、什么是组合来教学生，学生只能是“坐飞机” ，云里雾里，不知所云，而采用数形结合连线的方法， 既做到不重不漏， 又不把排列组合的知识强加给学生， 还让学生运用起来得心应手。在策略问题中，运用数形结合，画图形操作，让繁琐的语言叙述直观化，简单明了，化难为易。在找规律教学中，通过画图操作，逐步发现规律，并运用规律解决问题。以上等等， 都是通过数与形的有机结合， 使以前认为普通学生学习起来较难理解与掌握的奥数知识，变得形象直观，学生人人都能掌握运用了。三、教学示例在小学数学中，数形结合的思想运用十分广泛， 以下试举数例， 通过由

18、易到难， 以期能达到举一反三的目的。示例一：8个分成两堆，有几种分法？（一年级上册P55 8的认识 ）8个分成两堆的不同放法，理解8 的分解与组成，并逐步教学建议：通过让学生摆放理解掌握 8 的加法与减法。58 7=171623447+1=86+2=85+3=84+4=88 6=2示例二：比较。、。的大小。（三年级上册 P93例3）教学建议：通过引导学生用图形画出、 ，并理解它们的意义，比较出 > ；接着让学生画出与，并理解它们的意义，比较出如下图所示:>最后，再引导学生想明算理： 同一个物体，平均分的份数越多，每一份越小；反之，平均分的份数越少，每份越大。归纳规律，得出分子相同的

19、分数比较大小，分母大的分数小，分母小的分数大。示例三：在直线上表示下面各数，并比较大小。 （四年级下册 P644 题）0.1200.280.2500.160.400.0400.10.20.30.4教学建议： 通过让学生在数轴上表示数， 进一步理解小数的组成、 大小，并掌握小数大小比较的方法。示例四：第一行摆第二行摆第一行的4倍。第二行摆几个？（二年级上册P76例3）教学建议： 在二年级学生刚接触倍数问题时， 关键是要通过数物结合、 数形结合， 帮助学生通过直观的实物、图形（线段图） ，牢固建立倍数问题的数量关系。首先通过实物演示， 让学生理解倍数的意义： 第二行是第一行的的 4 倍， 就是求

20、4 个 2 是多少？ 小红：小刚：接着， 通过画线段图，帮助学生树立初步的数形结合思想，即用图形代表数，反应数与数的关系。2 个圆圈第一行：是第一行的 4 倍，？个第二行：示例五： 8 和 12 的公因数有哪些？最大的公因数是几？（五年级下册 P27 例 4 ） 教学建议：首先，让学生采用常规写法写出 8 和 12 的因数，并找出公因数和最大公因数。8 的因数有： 1 、 2 、 4、 812 的因数有： 1、 2、 3、 4、 6、 12 由于找起来较麻烦，引导学生把它们改为数形结合的集合图形式。8 的因数12 的因数8 和 12 的公因数最后， 引导学生观察： 两个数的最大公因数就是它们其

21、余公因数的乘积。 再引导学生理解用短除法求两个数的最大公因数较为方便。 （短除法略）示例六：某厂去年生产白糖700 吨， 今年比去年多生产， 今年生产白糖多少吨？（六年级上册分数应用题）教学建议：根据题意，画线段图为：“ 1 ”700 吨去年： 今年： ？吨这样，学生理解起来觉得很形象直观，一下子就能找到解答的方法。示例七：某班有学生56 人，参加作文竞赛的有28 人，参加数学竞赛的有27 人，两科竞赛都没有参加的有25 人，那么同时参加作文、数学竞赛的学生有多少人？（三年级下册较复杂的重叠问题）教学建议： 在重叠问题中，条件的叙述象绕口令一样，纠缠难懂， 学生单纯靠抽象的语言的确难理解，利用

22、集合图表达各部分的关系就容易得多了。全班 56 人同时参加作文、数学竞赛的人数学生通过对图的分析、理解，很快就能列出多种解法。解法一： 56 25=31 （人） 28+27 31=24 （人）解法二： 28+27+25 56=24 （人）示例八：小红有两件上衣，三件下装，她一共有几种不同的穿法？（三年级上册P112例1）教学建议：题意画图为： T 恤衫 牛仔衣裙子牛仔裤西裤示例九： 2002 年世界杯足球赛C 组有巴西队、土耳其队、中国队和哥斯达黎加队。每两个队踢一场比赛，一共要踢多少场比赛？（三年级上册 P114 例 3）按题意画图为：或：巴西土耳其中国 哥斯达黎加在排列组合题中， 排列与顺

23、序无法， 组合与顺序有关， 但对于三年级学生用这样抽象的语言教学，不可能有一点效果。而采用直观的画图连线就十分清楚明白了。示例十：五一班同学分三次给敬老院送温暖。第一次送了 10 千克大米、 10 千克面粉、 10千克食油，合人民币 140 元；第二次送了 20 千克大米、 15 千克面粉、 10 千克食油，合人民币 180 元； 第三次送了 25 千克大米、 20千克面粉、 10 千克食油， 合人民币 205元。 求大米、面粉和食油每千克各多少元？教学建议：本题条件太多，学生读后可能头都晕了。把条件用表格的形式排列出来， 引导学生对照、比较、分析，就不难求解了。大米 面粉 食油 人民币第一次101010140第二次201510180第三次252010205通过观察比较，第二次与第一次相比较：多送大米10 千克，面粉 5 千克，多付钱180140=40（元）； 第三次与第二次相比较： 多送大米 5 千克， 面粉 5 千克， 多付钱 205 180=25（元） 。又列表如下：多送大米 多送面粉 多付钱第二次与第一次比较10 5 40第三次与第二次比较