数列知识点总结及题型归纳,推荐文档

1、数列一、数列的概念(1)数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an ,在数列第一个位置的项叫第 1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，序号为 n的项叫第n项(也叫通项)记作 an； 数列的一般形式：ai,a2,a3,，an,，简记作an。(2)通项公式的定义：如果数列 an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如：1 , 2 , 3 , 4, 5 ,：1口 H.2'3'4'5说明:an表示数列，an表示数列中的第n项，an= f n表示数列的通项公式;1.n 2k 1 同一个数列的通项公

2、式的形式不一定唯一。例如，an= ( 1)n=,(k Z)；1,n 2k不是每个数列都有通项公式。例如，1, 1.4, 1.41 ,1.414, (3)数列的函数特征与图象表示：从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N (或它的有限子集)的函数 f(n)当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值f(1), f(2), f(3),，f(n),.通常用an来代替f n ,其图象是一群孤立点。(4)数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关 系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？(1)

3、1, 2, 3, 4, 5, 6,(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,S (n 1)Sn Sm(n>2)(3) 1,0, 1,0, 1,0,(4)a, a, a, a, a,(5)数列 an的前n项和Sn与通项an的关系：an二、等差数列(一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为an an 1 d(n 2)重an 1 an d(n 1)例：等差数列an 2n 1 , an an 1 (二)、等差数列的通项公式：an a1 (n 1)d ；说明

4、：等差数列(通常可称为A P数列)的单调性：d 0为递增数列，d 0为常数列，d 0为递减数列。例：1.已知等差数列 an中，a7 a9 16, a4 1,则a12等于()A. 15 B . 30 C . 31 D . 642. an是首项a1 1,公差d 3的等差数列，如果 烝 2005,则序号n等于(A) 667(B) 668(C) 669(D) 6703. 等差数列an 2n 1,bn2n 1 ,则an为 bn为 (填“递增数列”或17“递减数列”）（三）、等差中项的概念:定义：如果a, A, b成等差数列，那么 A叫做a与b的等差中项。其中 Aa ba, A, b成等差数列A ab 即

5、：2an1 an an 22(2anan m )例：1 .（全国I）设an是公差为正数的等差数列,A. 120. 105名a a2 a§15C. 90 Daa2a3. 7580,则a11a2a13（四）、等差数列的性质:(1)在等差数列an中,从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项;(2)在等差数列an中,相隔等距离的项组成的数列是等差数列；(3)在等差数列an中,对任意mN , an am(nm)ddanam /(mn)；(4)在等差数列an中,P,p q,则aman ap（五）、等差数列的前n和的求和公式:Snn(a an)na1n(n-n2(a1-) no22(Sn An2

6、Bn（A,B为常数）是等差数列递推公式：Sn(a an)n2(a man (m 1) )n例：1.如果等差数列 an中,a3a4a512,那么aa2a7(A) 14(B) 21(C) 28(D) 352.（湖南卷文）设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23a6 11,则S7等于（）A. 13633.（全国卷i）设等差数列 an的前n项和为Sn,若S9 72 ,则a2 a4a9 =4.若一个等差数列前 3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为A.13 项B.12 项C.11 项390,则这个数列有（D.10 项5.已知等差数列an的前n项和为Sn ,若&221,则 a2 a

7、5 a86.（全国卷H）设等差数列an的前n项和为Sn,若 a5 5a3 贝U S57.已知an数列是等差数列,a10 10 ,其前10项的和&070,则其公差d等于（）C.-D. 38.（陕西卷文）设等差数列an的前n项和为sn 若 a6 S3 12 则 anSS=7, S15= 75, Tn为数列 nan9.（全国）设 an为等差数列，&为数列 an的前n项和，已知 前n项和，求Tn。（6） .对于一个等差数列:（1）若项数为偶数，设共有 2n项，则S偶 S奇 nd ;（2）若项数为奇数，设共有 2n 1项，则S奇 S偶 an a中；1 .一个等差数列共 2011项，求它的

8、奇数项和与偶数项和之比 2 .一个等差数列前 20项和为75,其中奇数项和与偶数项和之比1: 2,求公差3 .一个等差数列共有10项，其偶数项之和是 15,奇数项之和是25,则它的首项与公差分别是2（7） .对与一个等差数列，Sn,S2n Sn,S3n S2n仍成等差数列。例：1.等差数列an的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为（）A.130B.170C.210D.2602.一个等差数列前n项的和为48,前2 n项的和为60,则前3n项的和为10,则前110项和为3.已知等差数列 an的前10项和为100,前100项和为4 .设Sn为等差数列 an的前n项和，S414, S

9、10S730,贝1J S9 =5 .（全国II ）设&是等差数列 an的前n项和，若S3S6S6 =S12D.A. A10（8） .判断或证明一个数列是等差数列的方法:定义法：an是等差数列中项法:2an 1 an an 2(n N )an是等差数列通项公式法:an kn b(k,b为常数)是等差数列前n项和公式法:Sn An2 Bn (A, B为常数)an是等差数列例：1.已知数列an满足an anA.等差数列 B.等比数列2.已知数列an的通项为an2, C.则数列an为A.等差数列3 .已知一个数列A.等差数列4 .已知一个数列B.等比数列2nC.an的前n项和s B.等比数列

10、C. an的前n项和s既不是等差数列也不是等比数列5,则数列an为（） 既不是等差数列也不是等比数列2n2 4,则数列an为（既不是等差数列也不是等比数列22n2,则数列*口为（）D.D.D.无法判断无法判断无法判断A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5 .已知一个数列an满足an 2 2an 1 an 0 ,则数列an为()A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断6 .数列 an 满足 a1 =8, a42,且 an 2 2an 1 an 0 ( n N)求数列an的通项公式；7 .(天津理，2)设&是数列an的前n项和，且

11、 S=n2,则an是()A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列(九).数列最值(1) a10, d 0时，Sn有最大值；a10, d 0时，Sn有最小值；2(2) Sn最值的求法：若已知 Sn, Sn的最值可求二次函数 Sn an bn的最值;可用二次函数最值的求法(nN)；或者求出中的正、负分界项，即:若已知an ,则Sn最值时n的值(n N )可如下确定anan 1an0an 10项的和最大。例：1.等差数列 an中，a1 0, S9 S12,则前2 .设等差数列an的前n项和为Sn ,已知a3 12, S12 0

12、, S13 0求出公差d的范围，3 .(上海)设 an (nCN*)是等差数列,( )A.dv0B.a7=0C.S9>S5一，一一n 984 .已知数列 an的通项398 (nn % 99指出S1, S2, , S12中哪一个值最大，并说明理由。S是其前n项的和，且 SvS,则下列结论错误 的是 D.S6与S7均为Sn的最大值N )，则数列 an的前30项中最大项和最小项分别是 5.已知an是等差数列，其中a131 ,公差d 8。(1)数列an从哪一项开始小于0?(2)求数列an前n项和的最大值，并求出对应 n的值.§ (n 1)(十).利用an,求通项.& &

13、 1 (n 2)1 .数列an的前n项和Sn n2 1.（1）试写出数列的前5项；（2）数列劣是等差数列吗？ （ 3）你能写出数列an的通项公式吗？2 .设数列an的前n项和为9=2n2,求数列an的通项公式；3 .（安徽文）设数列an的前n项和Sn n2,则a8的值为（）(A) 15(B) 16(C) 49(D) 64，求a2, a3, a4的值及数列an14、北卷)数列an的刖n项和为3,且a1=1, an 1- Sn, n=1, 2, 3,3的通项公式.三、等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数* * * * *

14、 *列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q 0）,即：an 1 - an q（q 0）（一）、递推关系与通项公式递推关系：an 1 anq通项公式：ana1 qn 1推广：an am qn m1 .在等比数列 an中，a1 4,q 2,则an 2 .在等比数列 an中，a7 12,q 3/2，则a19 .3 . （07重庆文）在等比数列an中，a2=8, a1 = 64,则公比0为（）（A） 2（B） 3（C） 4（D） 84 .在等比数列an中，a22 , a5 54,则a8=5 .在各项都为正数的等比数列an中，首项a1 3,前三项和为21,则a3 a4 a5（）A 33

15、 B 72 C 84 D 189（二）、等比中项：若三个数 a,b,c成等比数列，则称b为a与c的等比中项，且为b 右 注：b2 ac是成 等比数列的必要而不充分条件.例：1. 2 J3和2 J3的等比中项为（）(A)1(B) 1(C) 1(D)22.（重庆卷文）设an是公差不为0的等差数列,ai2且ai,a3,a6成等比数列，则an的前n项和Sn =2 r2“ n 7nn 5nA. 7 -Bl. y C.2n 3n242D. n n（三）、等比数列的基本性质,1. (1)若m n p q,贝I am anap aq (其中 m,n, p,q N ) qn m a-，an2 an m an m

16、 （n N ） a m（3） an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.（4） an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列例：1 .在等比数列 an中，a1和a10是方程2x2 5x 1 0的两个根，则a4 a7 （）5,2_11(A) -(B)(C) -(D)-22222 .在等比数列 an ,已知a15, a9a10 100 ,则a18 =3.等比数列an的各项为正数，且 a5a6 a4a7 18,则log 3 a1log 3 a2 Llog3 a10A . 12 B . 10 C . 8 D . 2+|og354.（广东卷）已知等比数列an满足an0, n 1,2,

17、L 且 a5 a2n 502n2 (n 3),则当n 1时,log 2 a log 2 a3 L log 2 a2n 1一 一，,、2cA. n(2n 1) B. (n 1) C. n D.(n 1)2（四）、等比数列的前 n项和,Snna (q 1)a1(1 qn)a anq(q 1)1 q 1 q例:1 .已知等比数列an的首相a15 ,公比q 2 ,则其前n项和Sn 2 .(北京卷)设 f (n) 2 24 27 210 L23n 10(n N),则 f(n)等于().2 n2 n 12 n 32 n 4A. -(81)B. y(81) C . -(81) D . -(81)3 .(全国

18、文，21)设等比数列 an的前n项和为S,若S3+S6=2S9,求数列的公比 q；（五）.等比数列的前n项和的性质若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和,Sk, S2kSkS3kS2k成等也数列.例：1.(辽宁卷)设等比数列 an的前n项和为Sn,若S6S3 =3 ,则S9SA. 2 B.C.D.32. 一个等比数列前n项的和为48,前2 n项的和为60,则前3 n项的和为()A. 83 B108 C . 75 D . 63则S3m3 .已知数列an是等比数列，且 Sm 10, S2m 30,(六)、等比数列的判定法(1)定义法：亘q (常数)an为等比数列；an 2(2)中项法：an 1a

19、n an 2 (an 0)an为等比数列；(3)通项公式法：an k qn (k,q为常数)an为等比数列；(4)前n项和法：Sn k(1 qn) (k,q为常数)an为等比数列。Snk kqn (k,q为常数)an为等比数列。例：1.已知数列an的通项为an 2n,则数列an为()A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断22 .已知数歹U an满足an 1an an 2(an 0),则数列an为()A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3 .已知一个数列an的前n项和Sn2 2n 1 ,则数列an为()A.等差数列B.等比数列C.既不

20、是等差数列也不是等比数列D.无法判断四、求数列通项公式方法(1).公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列an满足：a37,a5 a726,求a0;2 .等比数列an的各项均为正数，且 2al 3a2.2- .1, a3 9a2a6,求数列an的通项公式3 .已知数列an满足a1 2, a2 4且an 2 an2an 1( n N ),求数列an的通项公式;n 14 .已知数列an满足a1 2,且an1 52(an 5n) ( n N ),求数列an的通项公式;15.数列已知数列 an满足a -,an 4an 1 1(n 1).则数列 an的通项公式= 2(2)累加

21、法1、累加法适用于：an i an f(n)a2ai若 ani anf(n)(n 2),则f(1) f(2) Lan 1 an f (n)n两边分别相加得an 1 af (n)k 11例：1.已知数列an满足a-, 21an 1 an 2，求数列an的通项公式。4n 12 .已知数列an满足an 1an 2n 1, a1 1 ,求数列an的通项公式。3 .已知数列an满足an 1an 2 3n 1, a1 3,求数列an的通项公式。(3)累乘法适用于：an 1f(n)an若包f(n),则 a2 f(1),a3 ana1a2f(2),L L 4anf (n)n两边分别相乘得，a a1f(k)例：

22、1.已知数列an满足an 1ak 12(n 1)5n烝，a1 3,求数列an的通项公式。2.已知数列an满足a1nn 1an，求 an。3.已知 a13 , an 13n 1- an3n 2(n1),求 an。(4)待定系数法适用于 an 1 qan f (n)例：1.已知数列an中，a11,an 2an 1 1(n 2),求数列 an的通项公式。2.(重庆，文,14)在数列an中，若a11,an 1 2an 3(n 1),则该数列的通项an 3.已知数列 an满足a1 1,an 12an 1(n*、 N ).求数列an的通项公式;(5)递推公式中既有SnS,n 1分析：把已知关系通过 an转化为数列 an或Sn的递推关系，然后采用相应的方法求解