高中数学-公式-柯西不等式

1、第一课时 3.1二维形式的柯西不等式(一)2.练习：已知 °、b、c、d 为实数，求证(a2 + b2)(c2 +d2)>(ac+bdf 提出定理 1：若 a、b、c、d 为实数,则(a2 + lr )(c2 + j2) >(6fc + bd)2.证法一：(比较法)(a2 +b2)(c2 + j2)-(ac + bd)2=.= (ad-be)2 >0证法二：(综合法)(a2 +b2)(c2 +d2)=a2c2 -crd1 +b1c1 +b2d2=(ac + bd)2 + (ad -be)2 > (ac + bd)2.(要点：展开配方)证法三：(向量法)设向量

2、m = (a,b), n = (c,d),贝m=la2 +b2 , |n|= yjc2 +d2 .t trf n = ac + bd 9n=mn cos<m.n>，证法四：(函数法)设 /(x) = (a2 + b2)x2 - 2(ac + bd)x + c2 + d2，贝9 f(x) = (ax-c)2 +(bx-d)120 恒成立. a = -2ac + bd)f -4(a2 + b2)(c2 + j2)0,即.二维形式的柯西不等式的一些变式：4cr -h1 a/c2 +d2 >| ac+hd 或 y/a2 +lr l(r +d >ac-hd 或如+戾 jc2 +d

3、? »ac + bd 提出定理2：设o,0是两个向量，贝ij|q0|s|q|0|. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）一讨论：上面时候等号成立？ （0是零向量，或者0共线） 练习：己知 a、b、c、d 为实数,求证 /a2 + b1 + /c2 + j2 yj（a-c）2 +（/?-j）2 .证法：（分析法）平方一应用柯西不等式一讨论：其儿何意义？（构造三角形）2. 教学三角不等式： 出示定理3：设兀|,廿，2，丿2 尺，则肩 + jxj + ”2 » j（x| _兀2尸+ o| _分析其儿何意义一如何利用柯西不等式证明-变式：若西,必,兀2，力，兀3，'3丘尺

4、，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？3. 小结：二维柯西床等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）第二课时 3二维形式的柯西不等式（二）教学过程： （/ + b2 ）（c2 +）»（皿 + bd）2: j兀2 + yj + qxj +）叮 （西一勺尸+（必一力），3.如何利用二维柯西不等式求函数二的最大值？要点：利用变| ac + bd a2 +b2 yc2+d2 .二、讲授新课：1教学最大（小）值： 出示例1：求函数y = 3厶-1 + j10-2兀的最大值？分析：如何变形？-构造柯西不等式的形式 板演 变式：y = /3x-l + j10-2兀推广：

5、y = ajbx+c + dje-fic,（a,b,c,d,e,f w&） 练习：已知3x + 2y = l,求x2 + 2的最小值.解答要点:（凑配法）x2 +y2 =（x2 + y2）（32 +22）（3x+2j）2 =.-1313132.教学不等式的证明：出示例2：若x,y e, x+y = 2 f求证：丄+丄2.分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比一构造）要点:讨论：其它证法（利用基本不等式） 练习：已知a、bw© ,求证：（d + b）（+ ）4.a b3.练习： 已知兀,且+ = 1,则x+y的最小值.兀>'要点：x+ y = （ + ）（x+

6、 y）= .f 其它证法兀 y 若x,y,zw/?+，且x+y + z = l,求x2 + /+z2的最小值.（要点：利用三维柯西不等式）变式：若兀,y,zw/?+，且x+y + z = l ,求yfx + jy +fz的最大值.第三课时 3.2 一般形式的柯西不等式2.提问：二维形式的柯两不等式？如何将二维形式的柯两不等式拓广到三维？ 答案：（a2+b2）（c2+2）n（dc +加）2； （a2 + z?2 4- c2）（d2 +e2+f2）> （ad + be + cf）2二、讲授新课：1. 教学一般形式的柯西不等式： 提问：由平面向量的柯西不等式|&0曰&|0|,如

7、果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？ 猜想：维向量的坐标？ n维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设44，,q2, 4 wr ,则（q? + 电 + aj ）02 + 优2 + + b：） > （afy + a2b2 + +cirlbfl）2讨论：什么时候取等号？（当且仅当半=学=吋取等号，假设勺工0）*优 仇联想：设8 =如+也+讷,a = al2+a22+ a； , c = b；+b/+ +” ,则<b2-ac>0,可联想到一 些什么？" 讨论：如何构造二次函数证明兄维形式的柯西不等式？（注意分类）要点：令f（x）=（壬 + a； + + a；）x + 2（马

8、勺 + b, + + cinbn）x +（b+/?+ + /?；）,则/（x） =（6zix + /?1）2 +（%兀 + 化）2 + （a“兀+b“）2 >0.又dj+%2+. + a”2>0,从而结合二次函数的图像可知， = 2（db + a2b2 +）4（d2 + a：） （bj + bj + + b：） wo即有要证明的结论成立.（注意：分析什么时候等号成立.） 变式：+ 6f22 + 町x丄（吗+$+ %）2.（讨论如何证明）2. 教学柯西不等式的应用： 出示例1：己知13x + 2y + z = l,求x2 4- y2 4- z2的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式

9、？一板演一变式： 练习：若x.y.zer ,且丄+丄+ - = 1,求x + + -的最小值.兀 y z23114 出示例2：若a>b>c,求证：+>.a-h b-c a-c要点：（q c）（+亠） = （d-b） + （b-c）（+ 亠（1 + 1）2=4ab b ca b b c提出排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:a<a2<<an;b <b2 <<bn. cl9c2, c“是bl9b2 , ,bn的任一排列，则有+ a2h2 + + anbn （同序和）> qq + a2c2 + + ancn （乱序和）> a

10、hn + a2bn_ + + atlh（反序和）当且仅当ax =(72 =ci“或勺=/?2=- =btl时，反序和等于同序和. (要点：理解長思想，记住其形式2.教学排序不等式的应用：出示例1：设即禺,是几个互不相同的正整数，求证：1冷£ +士"+斜守+厂/?2分析：如何构造有序排列？如何运用套用排序不等式?证明过程:设b,b2.-,bn是ms心的一个排列,且by<b2<-<bn,则勺>,b2 也>n .又1丄丄，由排序不等式，得2- 3-nra +鱼+色+ . +玉” +色+乞+ .十21 2232h2_ '2232才小结：分析目标，构造有序排列.练习：已知 a,b,c 为正数,求证