2022年初三上专题四点共圆

1、学习必备欢迎下载四点共圆专题讲义例 1如图， e、f、g、 h 分别是菱形abcd 各边的中点求证：e、f、g、h 四点共圆例 2 （1）如图，在 abc 中， bd、ce 是 ac、ab 上的高， a=60求证： ed=12bc（2）已知：点o 是 abc 的外心， be，cd 是高求证：ao de例 3如图，在abc 中， adbc，de ab，dfac求证： b、e、f、c 四点共圆总结：四点共圆的方法：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载1_ 2_ 3_ 4_例

2、 4求证：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积，即图中abcd+bcad=acbd练习 1在abc中， babcbac，m 是 ac 的中点， p 是线段 bm 上的动点，将线段pa 绕点 p 顺时针旋转2得到线段 pq（1）若60且点 p 与点 m 重合（如图1） ，线段 cq 的延长线交射线bm 于点 d，请补全图形，并写出cdb的度数；（2）在图 2 中，点 p 不与点 b，m 重合，线段cq 的延长线与射线bm 交于点 d，猜想 cdb 的大小（用含的代数式表示） ，并加以证明；（3）对于适当大小的，当点 p 在线段 bm 上运动到某一位置（不与点b，m 重合）时，能使得线段cq

3、的延长线与射线 bm 交于点 d，且 pq=qd，请直接写出的范围练习 2在 abc 中， a=30， ab=23，将 abc 绕点 b 顺时针旋转（0 90） ，得到 dbe，其中点 a 的对应点是点d，点 c 的对应点是点e，ac、de 相交于点f，连接 bf. oa=ob=ocadc=abc=90acd=abd =90 b+ d=180 或a+ bcd=180 或a=dce a=d 或 b=c精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载（1）如图 1，若=60，线段ba

4、绕点 b 旋转得到线段 bd.请补全 dbe，并直接写出afb 的度数；（2）如图 2，若=90，求 afb 的度数和bf 的长；（3）如图 3，若旋转（090） ，请直接写出afb 的度数及bf 的长（用含的代数式表示）. 练习 3已知，点p 是 mon 的平分线上的一动点，射线p a 交射线 om 于点 a，将射线pa 绕点 p 逆时针旋转交射线 on 于点 b，且使 apb+mon=180 （1）利用图1，求证： pa=pb；（2）如图 2，若点 c 是 ab 与 op 的交点，当spob=3spcb时，求 pb 与 pc 的比值；（3）若 mon =60 ，ob=2，射线 ap 交 o

5、n 于点 d，且满足且 pbd=abo，请借助图3 补全图形，并求op 长练习 4已知，在 abc 中， ab=ac过 a 点的直线a 从与边 ac 重合的位置开始绕点a 按顺时针方向旋转角 ，直线 a 交 bc 边于点 p（点 p 不与点 b、点 c 重合）， bmn 的边 mn 始终在直线a 上（点 m 在点 n 的上方），且 bm=bn，连接 cn（1）当 bac= mbn=90 时，如图 a，当 =45 时， anc 的度数为 _ ；图 3 dcbafe图 1 dcba图 2 efdcba精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页

6、，共 7 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载如图 b，当 45时，中的结论是否发生变化？说明理由；（2）如图 c，当 bac=mbn90时，请直接写出anc 与 bac 之间的数量关系，不必证明练习5已知：rta bc和 rtabc 重合，a c b=acb=90，ba c=bac=30，现将 rta bc绕点 b 按逆时针方向旋转角 （60 90），设旋转过程中射线c c和线段aa相交于点 d,连接 bd（1）当 =60时，a b过点 c，如图 1 所示，判断bd和aa之间的位置关系，不必证明；（2）当 =90时，在图2 中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立

7、，不必证明；（3）如图 3，对旋转角 （60 90），猜想（ 1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由图 1 图 2 图 3 练习 6在等边 abc 外侧作直线ap，点 b 关于直线ap 的对称点为d，连接 ad， bd，cd，其中 cd 交直线 ap于点 e设 pab， ace， aec(1) 依题意补全图1；(2) 若15，直接写出和的度数；(3) 如图 2，若 60120，判断，的数量关系并加以证明；请写出求大小的思路 （可以不写出计算结果）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - -

8、 - - - - - - -学习必备欢迎下载图1acdb图2foaecdb图 3acdb练习 7阅读下面材料：小红遇到这样一个问题，如图1：在 abc 中， adbc，bd=4，dc=6，且 bac=45，求线段ad 的长小红是这样想的： 作 abc 的外接圆 o， 如图 2： 利用同弧所对圆周角和圆心角的关系，可以知道 boc=90，然后过 o 点作 oebc 于 e，作 ofad 于 f，在 rt boc 中可以求出 o 半径及 oe，在 rtaof 中可以求出af，最后利用ad=af+df 得以解决此题请你回答图2 中线段 ad 的长. 参考小红思考问题的方法，解决下列问题：如图 3：在

9、 abc 中， adbc，bd=4，dc=6,且 bac=30，则线段ad 的长. 练习 8已知： a、b、c 三点不在同一直线上(1)若点 a、b、c 均在半径为r 的 o 上，（i）如图，当a=45 ，r=1 时，求 boc 的度数和bc 的长；（ii）如图，当a 为锐角时，求证：sina=2bcr；(2)若定长线段bc 的两个端点分别在man 的两边 am、an(b、c 均与 a 不重合 )滑动，如图，当man=60 ，图 2abpcabcp图 1精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - -

10、 -学习必备欢迎下载bc=2 时，分别作bpam，cp an，交点为p，试探索在整个滑动过程中，p、a 两点间的距离是否保持不变？请说明理由练习 9在四边形abcd 中， abdc，abcd，k， m 分别在 ad，bc 上， dam =cbk求证： dma=ckb分析：连 km ，由 dam =cbk，得到 a，b，m，k 四点共圆，则dab= cmk， akb=amb，而 dab+adc=180 ，得到 cmk +kdc =180 ，因此 c，d，k，m 四点共圆，所以cmd=dkc ，即可得到 dma =ckb解答：解：连km， dam=cbk，a，b，m，k 四点共圆， dab=cmk， akb=amb ，又 abdc， dab+adc=180 ，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - -