微积分的产生与发展

1、微积分的产生与发展 摘要：微积分是近代数学的重要组成内容 ,是近代数学发展的基础 , 也是近代数学 发展的里程碑。它推动了数学自身的发展 ,推动其它学科的发展 , 推动了人类文明 和技术的发展。关键词： 微积分 产生 发展 ;微积分是数学的一个基础学科， 是微分学和积分学的总称， 它的数学思想方 法源远流长。其中“无限细分”是微分， “无限求和”是积分。微积分是与实际 应用联系发展起来的，它的产生与发展共经过了 4 个阶段。1、微积分雏形时期微积分的萌芽、发生与发展经历了一个漫长的时期 , 早在古希腊时期 , 欧多 克斯（Eudoxus约公元前408 355）就提出了穷竭法,这是极限理论的先驱

2、。它 指出 , “一个量如减去大于其一半的量 , 再从余下的量中减去大于该余量一半的 量, 这样一直下去 , 总可使某一余下的量小于已知的任何量。 ” 这个定义使得古 希腊数学家在所有论证中都不用 “无穷小量” 这个词, 仅仅使用只需有限步可做 到的穷竭法就够了。真正成为积分学萌芽的当推阿其米德 , （Arehimede ：公元前 287 一 212） 的工作。 他在抛物线求积法 中用穷竭法求出抛物线弓形的面积。 应该指出，尽管古希腊数学家未使用无穷小无穷大 , 但古希腊哲学家却对“无限” 作过许多研究。例如 , 亚里士多德 （Aristotle 公元前 384 一 332） 就严格区分 实无

3、限和潜无限且只承认潜无限。值得我们每个中国人引以为荣的是我国古代很早就有了极限意识 , 庄子（公 元前 355 一 275）在天下篇中曰：“ 一尺之垂, 日取其半 , 万世不竭。”这一 阐述极具极限思想 , 令世人瞩目。公元 3世纪，我国魏晋时期的刘徽用 “割圆术” 求出n的近似值，在求球体体积与牟合方盖体积之比时， 用到“卡瓦列里”原理, 只是没有将它们进行总结。 刘徽的“割圆术” 和他的体积理论的思想是定积分理 论的雏形。 刘徽的思想由祖冲之和他的儿子祖暅之推进和发展， 他们将刘徽创立 的特殊形式的不可分量方法用于球的体积问题上， 取得突破性进展， 使球体积问 题得以解决。2、微积分酝酿时

4、期16 世纪末 17世纪初的欧洲，文艺复兴促进人们思维方式的改变。为解决天 文、力学等方面的问题， 必须提供必要的数学工具， 这时产生的 4 类问题即求即 时速度、求曲线的切线、求函数的最值和求积问题向数学提出新的挑战。由于 4 类问题的产生，使得微积分的问题被提上日程。 17 世纪许多著名的数学家、天 文学家、物理学家都为解决上述 4 类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、 笛卡尔，英国的巴罗、瓦里士，德国的开普勒，意大利的伽利略、卡瓦列里等人 都提出许多很有建树的理论，为微积分的创立做出贡献。意大利数学家卡瓦列里发展了系统的不可分量方法， 又利用不可分量建立不 可分量原理，使早期积分学突

5、破体积计算的现实原型而向一般算法过渡。笛卡尔在几何学中提出求切线的“圆法” ，在推动微积分的早期发展方 面有很大的影响，牛顿就是以笛卡尔圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路的。 费马在 1637 年提出求极值的代数方法，这种方法几乎相当于现今微分学中所用 的方法。笛卡尔与费马所创立的解析几何方法的出现与发展， 使数学的思想和方 法的发展发生质的变化，为 17 世纪下半叶微积分算法的出现准备了条件。3、微积分创立时期17 世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国科学家牛顿和德国数学家莱布 尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成微积分的创立工作， 他们把切线问题和 求积问题联系在一起。 牛顿研究微积分着重

6、于从运动学来考虑， 莱布尼茨却是侧 重于几何学来考虑的。牛顿对微积分的研究始于 1664年秋，1666年 10月整理成流数简论，这 是历史上第一篇系统的微积分文献，标志着微积分的诞生。他在流数简论中 提出面积计算与求切线问题的互逆关系，建立“微积分基本定理” 。在流数简 论的其余部分，牛顿将他建立的统一算法应用于求曲线切线、曲率、拐点，求 积，求引力等 16 类问题，展示了他算法的极大普遍性与系统性。莱布尼茨于 1684 年发表了他的第一篇微分学论文一种求极大与极小和求 切线的新方法，这是数学史上第一篇正式发表的微积分文献。他在这篇论文里 定义了微分并广泛采用微分记号，陈述他在 1677 年已

7、得到的函数和、差、积、 商、乘幂与方根的微分公式。 莱布尼兹还得出复合函数的链式微分法则， 后来又 将乘积微分的“莱布尼兹法则” 推广到高阶情形。 牛顿虽然也发现并运用了这些 法则，但却没有去陈述一般公式， 他更大的兴趣是微积分方法的直接应用， 在文 献一种求极大与极小和求切线的新方法中还包含了微分法求极大、极小值， 求拐点以及光学等方面的广泛应用。1686 年，莱布尼兹又发表了他的第一篇积分学论文深奥的几何与不可分 量及无限的分析，初步论述积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系。在 这篇论文中， 积分号第一次出现在出版物上。 莱布尼兹所创设的微积分符号， 远 远优于牛顿的符号， 这对微积分

8、的发展有极大的影响。 现在人们使用的微积分通 用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展， 被誉为“人类精神的最高胜利” 。4、微积分发展时期18 世纪，微积分进一步深入发展，在数学史上，把这一世纪称为“分析的 时代”。在英国，泰勒和麦克劳林继承了牛顿的学说，把函数展开成幂级数，为 微积分的发展提供了有力的武器。但麦克劳林之后，英国的数学处于停滞状态。 莱布尼兹的学说，由他的学生雅各布伯努利和约翰伯努利在担当，他们二人 的工作构成现今所谓初等微积分的大部分内容。 18 世纪微积分最重大的进步是 由欧拉作出的，他的著作无限小分析引论 微分学和积分学是微积分 史上里程碑式的著作。到 19 世纪初，法国科学家以柯西为首，对微积分的理论进行认真研究，建 立极限的理论。 后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化， 使极限理 论成为微积分的坚定基础。5、结语微积分是与科学应用联系发展起来的， 推动了近代数学的发展， 也极大地推 动了自然科学、 社会科学及应用科学各个分支的发展， 并在这些