理学]线性代数B习题ppt课件

1、2.12.22.32.43.13.23.33.43.53.63.73.83.93.10 3.114.14.24.34.44.54.64.75.15.25.35.45.55.65.75.85.95.106.16.26.36.46.56.66.76.87.17.27.37.47.57.67.77.8 2.1 设行列式 ，那么第四行各元素余子式之和的值为 . 2235007022220403D111100702222040344434241MMMM解 2811432811140004371112220437132223rr那么 . 2.2 设A为m阶方阵, B为n阶方阵, 且 ，00,BACbBaA

2、，C 解 对于 将矩阵C的第 列逐列前移至第j列，jn, 2 , 1mjBA00经mn次列的交换，C变成 ，而 ，所以abBA00 abCmn1 2.3 五阶行列式 . aaaaaaaaaD110001100011000110001解 0001110001100011000111432215443aaaaaaaaaDrrrrrrrr00101100011000110001122115aaaaaaaaaaarar01001100011000110001132321225aaaaaaaaaaaaaraar43243211000110001100011000113325aaaaaaaaaaaaaaa

3、raaar54321100001100011000110001144325aaaaaaaaaaaaraaaar54321aaaaa 2.4 设A是n阶矩阵，满足 (E是n阶单位矩阵，AT是A的转置矩阵)， ，求 . 解 EAATEA0ATTAEAAEAAEAEAAEAEAAATTTT11001AEAAEA 3.1 设矩阵 满足 ，其中A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵。假设a11,a12,a13为三个相等的正数，那么 。 A B C D 解 由*3211*aAAAAEAT33331333ijaA11aTAA ，03211aA，再由13*2AAEAAAAAAAATT 。，选所以AAa3331

4、1 3.2 知实矩阵 满足条件: ，其中Aij是aij的代数余子式； 。计算行列式 。 解 由A 33ijaA3 , 2 , 1,jiAaijij011a TTijTijijijAaAAAa*EAAAAAT*00*101121321221121321221132aaaaAaaaAAEAAAEAAAAAATTT或。1 A 3.3 设A、B、 、 均为n阶可逆矩阵，那么BA11BA111BA . A11 BA BBA CBBAA1 D1 BA 解 由于BAABABAB11，EBAABAB111，1111BBAABA 。，故选 CEBBAABA111 3.4 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，满

5、足 ，那么( ). (A) 与 均不可逆 (B) 可逆， 不可逆 (C) 不可逆， 可逆 (D) 与 均可逆 解 由AE03AAEAEAEAEAEAEAE可逆。由AE 。可逆。故选 DAE EAEAAEAE32EAEAAEAE32 3.5 设A和B为可逆矩阵， 为分块矩阵，那么 . 00BAX1X解 由于BAEEBA00000000000011111ABBAEEX所以 3.6 设解 由于，BAPEPErrrrrrrr13211321,21所以 ，选(C)。,133312321131131211232221333231232221131211aaaaaaaaaaaaBaaaaaaaaaA,101

6、010001,10000101021PP那么必有 。 BPAPA21 BPAPB12 BAPPC21 BAPPD12BAPP21 3.7 设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B。证明B可逆；求 。 解 将n阶单位矩阵E的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为E(i,j)，那么 。由于E(i,j)和A都可逆，所以B可逆，且1ABAjiEB,jiEAjiEAAjiEB,11111jiEjiEAAAB,11 3.8 设4阶方阵A的秩为2，那么其伴随矩阵A*的秩为 . 解 设Mij和Aij分别是矩阵A的(i,j)元的余子式和代数余子式，那么A*的(i,j)元为 。由于 ，所以A的3

7、阶子式 ，从而 jiijjiMA1 2AR0jiM 。，00*ARA 3.9 设三阶矩阵 ，假设A的伴随矩阵的秩为1，那么必有 。 解 。 由 得 ，即A有2阶非零子式，从而 。 由 得 。而 。 所以选(C)。abbbabbbaA 02 babaA或 02 babaC且 02 babaB或 02 babaA且310*AR0A0*A0*AR3*ARba 22babaA 3.10 设A是 矩阵，且 ，而 ， 解 由34 可逆，即BBRBrr350002020113 2AR301020201B那么 。 ABR。所以2ABR 3.11 设 , B为三阶非零矩阵, 且 ， 解 由于B为非零矩阵， 所以

8、 。又 ，因此 . 否那么A可逆， , 与 矛盾。0AB 00 RABRBR 0BR11334221tA那么 。 t0AB0A 0BR5977899701180221121343tttArrrr。所以95t其中 。那么线性方程组 的解是 . 解根据克莱姆法那么，方程组 有独一解 。 4.1 设。，范德蒙行列式01nijjiTjiaaADaa,1111,111132111312112232221321BxxxxXaaaaaaaaaaaaAnnnnnnnnnjijiaaji, 2 , 1,;BXATBXAT。有两列相同，0321nTDDDAD00 , 1， 4.2 设矩阵 ，矩阵X满足 ，1111

9、11111AXAXA21*其中A*是A的伴随矩阵，求矩阵X。 解 由 得 ，两边左乘A，有XAXA21*1*2AXEAEXAEA24220020111111111111A101400011440001222100222010222001222,2rEAEA410411004141001004141001101400011440001222r410414141004141X 4.3 设有齐次线性方程组 和 ，其中A，B均为 矩阵，现有4个命题：假设 的解均是 的解，那么 ；假设 ，那么 的解均是 的解；假设 与 同解，那么 ；假设 ，那么 与 同解。以上命题中正确的选项是 。 解 选 。0Ax0

10、Bxnm0Ax0Bx BRAR BRAR0Ax0Bx0Ax0Bx BRAR BRAR0Ax0Bx A B C D B 4.4 设A、B都是n阶非零矩阵，且 ，那么A和B的秩 . 必有一个等于零 都小于n 一个小于n，一个等于n 都等于n 解 由于A、B都是非零矩阵，故A、B的秩都大于零。假设A、B之一的秩为n，那么该矩阵可逆，由 可得另一个是零矩阵，与题设矛盾，应选 。0AB A D B C0AB B所以 。综合可得 。其中 。那么矩阵A的秩 。 4.5 设 ， 解 由于 ，所以 。又因nnbbbaaaA,2121nnnnnnbababababababababaA212221212111nib

11、aii, 2 , 10, 0 ARnibaii, 2 , 10, 0 0AR 1AR 1AR 4.6 设 ，AT为A的转置矩阵，那么行列式 解 由于ATA是3阶矩阵， ，所以321111A。AAT 2ARAART0AAT中 ， ，求证 ；a为何值时，方程组有独一解，求x1；a为何值时，方程组有无穷多解，求通解。 解 设 ，要证 ，用数学归纳法。由于 ， ，所以当 时结论成立。设当时结论也都成立，那么当 时，由 4. 7 设矩阵 满足方程 ，其nnaaaaaA2121222nanA1nDA BAX TnxxX,1TB0 , 0 , 1nnanD1aD212 , 1n223aD 1, 2kknkn

12、221221122kkkkkakakaaDaaDD可见结论成立，所以 。 当 时， ，方程组有独一解， 当 时，方程组有无穷多解，通解为 ，其中k为恣意常数。kkakkka112nanA10a0A2212111111annnaanannaDDDxnnnnnn0a0 , 0 , 1 ,k 5.1 设 ，矩阵 ，n为正整数，那么 T1, 0 , 1TA。nAaE122010010210100010122111111nnnnTnTnTnaaaaaaEaEaEAaE 解 5.2 设 均为三维列向量，记矩阵 ， ，假设 ，那么 。 解 321,321,A32132132193,42,B1AB223491

13、218,2 ,3 ,4 ,9 ,3 ,4 ,9 ,2 ,123213132312231321AB 5.3 设维n列向量组 线性无关，那么n维列向量组 线性无关的充分必要条件为 。 向量组 可由向量组 线性表示 向量组 可由向量组 线性表示 向量组 与向量组 等价 矩阵 与矩阵 等价 解 选 。nmm,21m,21 Am,21m,21m,21mB,21m,21 B C Dm,21mA,21m,21 D 5.4 设A,B为满足 的恣意两个非零矩阵，那么必有 。 A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关 A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关 A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关 A的行

14、向量组线性相关，B的列向量组线性相关 解 选 。 A B C D0AB A 5.5 设 ，那么三条直线 其中 交于一点的充要条件是 。 线性相关 线性无关 线性相关， 线性无关 解 三直线交于一点，即方程 有独一解，从而 ，选 。TTTcccbbbaaa321332123211,0, 0, 0333222111cybxacybxacybxa3 , 2 , 1, 022ibaii321, A321, B C D321,21,21321,RR0321yx2,21321RR D 5.6 是三维列向量， 为 的转置， 为 的转置。证 ； 假设线性相关，那么 。 证 ； 假设线性相关，那么存在数k，使

15、，无妨设有 ，那么,TTATT 2AR, 2AR 211RRRRARTT,kk或TkkA11 211kRARk其中 表示列向量 的转置， 。 5.7 试证明n维列向量组 线性无关的充分必要条件是n,210212221212111nTnTnTnnTTTnTTTDTiini, 2 , 1nTnTTnTnTTD,21212121 证 2212121,nnTnn,21线性无关0,21n0,221nD 5.8 设三阶矩阵A满足 ，其中列向量3 , 2 , 1iiAiiTTT2 , 1, 2,1 , 2, 2,2 , 2 , 1321试求矩阵A。 解 ，即 3213213 ,2 ,A62234264121

16、2122221A18102612641962032001102218242163236200162234264121212222132231213222cccccccc232323235032037100010001232314323534320311102010001231023231232341122012001312132232223191cccccccc232323235032037A 5.9 知三阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x,Ax,A2x线性无关，且满足 。记 ，求三阶矩阵B，使 ；计算行列式 。 解 xAAxxA2323xAAxxP2,1 PBPAEAAPPBPBPA1210

17、30100023 ,210301000,222BxAAxxAAxxAAxxP可逆，且xAAxxAAxBxAAxx22223 ,431110311001EBEA 5.10 设 ，其中E是n阶单位矩阵， 是n维非零列向量， 是 的转置，证明： 的充要条件是 ；当 时，A是不可逆矩阵。 证 TEATAA 21T1TTTTTEAEA2201TT是非零向量，01TT 当 时，有 。假设A可逆，那么在等式的两边左乘 ，得 ，这与A可逆矛盾。故A不可逆。 1TAA 2AA 21A0A 6.1 设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为 ，那么线性方程组 的通解为 。 解 由于A的各行元素之和均为零，所以

18、是该方程组的解。又A的秩为 ，故方程组的根底解系只含一个解。故此，通解为1nT1 , 1 , 10AX为任意常数。，kkkkXT,1n 6.2 知 是非齐次线性方程组 的两个不同的解， 是对应齐次线性方程组 的根底解系，k1,k2为恣意常数，那么方程组的通解普通解必是 . 解 选 。 A21,bAX 21,0AX22121211kk22121211kk B C D22121211kk22121211kk B 6.3 齐次线性方程组 的系数矩阵记为A。假设存在三阶矩阵 使得 ，那么 。 解 由于存在 使 ，知齐次线性方程组 有非零解，从而 。现0003213213221xxxxxxxxx0B0A

19、B A02B且 B C D02B且01B且01B且0B0AB013AX 3AR100110110101101111111231231132rrrrrrrrA 又因 ，所以 的根底解系只含两个解，B的三列作为 的解必线性相关，因此 ，选 。 。，11AR 1AR013AX013AX0B C 6.4 知 ，P为三阶非零矩阵，且满足 ，那么 。 时P的秩必为1 时P的秩必为2 时P的秩必为1 时P的秩必为2 解 。假设 ，那么 ， ；假设 ，那么 ， ，选 。96342321tQ0PQ6t6t6t6t A B C D000600321tQ6t 1QR 21或PR6t 2QR 1PR C 6.5 设n阶矩阵A的伴随矩阵 ，假设 是非齐次线性方程组 的互不相等的解，那么对应的齐次线性方程组 的根底解系 . 不存在 仅含一个非零解向量 含有两个线性无关的解向量 含有三个线性无关的解向量 解 因 有互不相等的解，知 ；又 ，推知 ，从而 。故此， 仅含一个非零解向量，选 。 0*A4321,bAx 0Ax A B C DbAx nAR0*A 0*AR 1 nAR0Ax B 6.6 设 ，知线性方程组Ax=b有两个不同的解，求 ；求方程组Ax=b的通解。 解 因Ax=b有两个不同的解，知 。现 11,1101011