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1、学习必备精品知识点分式的知识点及重点题型汇编1、分式的定义:例:下列式子中,yx15、8a2b、-239a、yxba25、4322ba、2-a2、m1、65xyx1、21、212x、xy3、yx3、ma1中分式的个数为()(a) 2 (b) 3 ( c ) 4 (d) 5 2、分式有,无意义,总有意义:例 1:当 x 时,分式51x有意义;例 2:分式xx212中,当_x时,分式没有意义例 3:x,y满足关系时,分式xyxy无意义;例 4:无论 x 取什么数时,总是有意义的分式是()a122xx b.12xx c.133xx d.25xx例 5:使分式2xx有意义的x 的取值范围为()a2xb
2、2xc2xd2x例 6:要是分式)3)(1(2xxx没有意义,则x 的值为()a. 2 b.-1或-3 c. -1 d.3 3、分式的值为零, 大于零,小于零:例 1:当 x 时,分式121aa的值大于0 例 2:当 x 时,分式112xx的值为 0 例 3:如果分式22aa的值为为零 , 则 a 的值为 ( ) a. 2 b.2 c. 2 d.以上全不对例 4:能使分式122xxx的值为零的所有x的值是()a 0 x b 1x c0 x或1x d0 x或1x例 5:要使分式65922xxx的值为 0,则 x 的值为()a.3 或-3 b.3 c.-3 d 2 例 6:若01aa, 则a是(
3、) a.正数 b.负数 c.零 d.任意有理数4、分式的值为1,为整数:例 1:当 a 时,分式a3的值大于0 例 2 当 a 时,分式23a的值大于 0 例 3 当 a 时, 分式213aa的值大于0 例 2 当 x 时, 分式xx212的值等于 1 5、分式的基本性质的应用:分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式, 分式的值不变。例 1:abyaxy;zyzyzyx2)(3)(6;如果75)13(7)13(5aa成立 , 则a的取值范围是 _;例 2:)(1332baab)(cbacb例 3:如果把分式baba2中的 a 和 b 都扩大 10 倍,那么分式的值()a、
4、扩大 10 倍 b、缩小 10 倍 c、是原来的20 倍 d、不变例 4:若把分式xyx23的 x、y 同时缩小12 倍,则分式的值()a扩大 12 倍b缩小 12 倍c不变d缩小 6 倍例 5:若 x、y 的值均扩大为原来的2 倍,则下列分式的值保持不变的是()a、yx23 b、223yx c、yx232 d、2323yx例 6:根据分式的基本性质,分式baa可变形为()a baa b baa c baa d baa例7: 不 改 变 分 式 的 值 , 使 分 式 的 分 子 、 分 母 中 各 项 系 数 都 为 整 数 ,05.0012.02 .0 xx;例 8:不改变分式的值,使分子
5、、分母最高次项的系数为正数,211xxx= 。6、分式的约分及最简分式:约分的概念:把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分分式约分的依据:分式的基本性质分式约分的方法:把分式的分子与分母分解因式,然后约去分子与分母的公因式约分的结果:最简分式(分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式)约分主要分为两类:第一类:分子分母是单项式的,主要分数字,同字母进行约分。第二类: 分子分母是多项式的,把分子分母能因式分解的都要进行因式分解,再去找共同的因式约去。例 1:下列式子( 1)yxyxyx122; (2)cabaacab; (3)1baab;(4)yxyxyxyx中正确的是()a 、1
6、个 b 、2 个 c、 3 个 d、 4 个例 2:约分:2264xyyx;932xx= ;xyxy132;yxyxyx536.03151。例 3:约分:22444aaa;yxxy2164;)()(babbaa;2)(yxyx22yxayax;1681622xxx;6292xx23314_21a bca bc96922xxx_。例 4:分式3a2a2,22baba,)ba(12a4,2x1中,最简分式有( ) a 1 个 b 2个 c3 个 d4 个7、分式的乘,除,乘方:分式的乘法:乘法法测:badc=bdac. 分式的除法:除法法则:badc=bacd=bcad分式的乘方: 求 n 个相同
7、分式的积的运算就是分式的乘方,用式子表示就是(ba)n.分式的乘方,是把分子、分母各自乘方. 用式子表示为:(ba)n=nnba(n 为正整数 ) 计算: (1)746239251526yxxx(2)13410431005612516axayx(3)aaa1计算: (4)24222aababaababa(5)4255222xxxx(6)2144122aaaaa计算: (7)322346yxyx(8)abab2362(9)2xyxyxxy计算: (10)22221106532xyxyyx(11)22213(1)69xxxxxxx(12)22121441aaaaaa计算: (13)11124212
8、22aaaaaa(14)633446222aaaaaaa求值题:(1)已知:43yx,求xyxyxyyxyxyx2222222的值。(2)已知:xyyx39,求2222yxyx的值。(3)已知:311yx,求yxyxyxyx2232的值。例题:cbcabacbcaba0c精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 5 页 - - - - - - - - -学习必备精品知识点输入 n 计算n(n+1)n50 yes no 输出结果 m 计算: (1)232()3yx(2)52ba= (3)32323xy= 计算: ( 4)3222ab=
9、 (5)4322ababba( 6)22221111aaaaaaa求值题:(1)已知:432zyx求222zyxxzyzxy的值。(2)已知:0325102yxx求yxyxx222的值。例题:计算yxxxyxyx222)(的结果是()a yxx22 byx2 c y1 d y11例题:化简xyxx1的结果是()a. 1 b. xy c. xy d . yx计算: ( 1)422448223xxxxxx; (2)12211222xxxxx(3)(a21) 22221aaa122aa8、分式的通分及最简公分母:通分:主要分为两类:第一类:分母是单项式;第二类:分母是多项式(要先把分母因式分解)分为
10、三种类型: “二、三”型; “二、四”型; “四、六”型等三种类型。“二、三”型:指几个分母之间没有关系,最简公分母就是它们的乘积。例如:222xxx最简公分母就是22 xx。“二、四”型:指其一个分母完全包括另一个分母,最简公分母就是其一的那个分母。例如:4222xxx最简公分母就是2242xxx“四、六”型:指几个分母之间有相同的因式,同时也有独特的因式,最简公分母要有独特的;相同的都要有。例如:2222xxxx最简公分母是:22xx例 1:分式 a 与1b的最简公分母为_;例 2:分式xyxyx2221,1的最简公分母为。9、分式的加减:分式加减主体分为:同分母和异分母分式加减。1、同分
11、母分式不用通分,分母不变,分子相加减。2、异分母分式要先通分,在变成同分母分式就可以了。通分方法: 先观察分母是单项式还是多项式,如果是单项式那就继续考虑是什么类型,找出最简公分母,进行通分;如果是多项式,那么先把分母能分解的要因式分解,考虑什么类型,继续通分。分类:第一类:是分式之间的加减,第二类:是整式与分式的加减。计算: (1)4133mmm(2)abbbaa(3)2222)()(abbbaa(4)2253a bab2235a bab228a bab. 练习题:(1)22ababbab(2)xxxx2144212(3)2129a+23a. (4)bab-ab2(5)2xyxyyx(6)已
12、知:0342xx求442122xxxxx的值。10、分式的混合运算:例 1:4421642xxxx例 2:34121311222xxxxxxx例 3:222)2222(xxxxxxx例 4:1342xxx例 5:1111xxx例 6:22224421yxyxyxyxyx例 722112()2yxyxyxxyy例 8:xxxxxxx112122例 9:xxxxxxxx4)44122(2211、分式求值问题:例 1:已知x为整数,且23x+23x+22189xx为整数,求所有符合条件的x值的和 . 例 2:已知x2,y12,求222424()()xyxy11xyxy的值 . 例 3:已知实数x 满
13、足 4x2-4x+l=o ,则代数式2x+x21的值为 _例 4:已知实数a满足a22a8=0,求34121311222aaaaaaa的值 . 例 5:若13xx求1242xxx的值是() a81 b101 c21 d41例 6:已知113xy,求代数式21422xxyyxxyy的值例 7:先化简,再对a取一个合适的数,代入求值221369324aaaaaaa练习题:(1)168422xxxx,其中 x=5. (2)1616822aaa, 其中 a=5 (3)2222babaaba, 其中 a=-3,b=2 (4)2144122aaaaa;其中 a=85;(5)xxxxxxxx4)44122(
14、22,其中 x= -1 (6)先化简,再求值:324xx (x+252x). 其中x 2. (7)3,32, 1)()2(222222babaabaababaabaa其中12、分式其他类型试题:例 1:观察下面一列有规律的数:32,83,154,245,356,487,根据其规律可知第个数应是(n为正整数)例 2: 观察下面一列分式:2345124816,.,x xxxx根据你的发现,它的第8 项是,第 n 项是。例 3:按图示的程序计算,若开始输入的n 值为 4,则最后输出的结果m是()a 10 b 20 c 55 d 50 例 4:当 x=_时 , 分式x51与x3210互为相反数 . 例
15、 5: 在正数范围内定义一种运算,其规则为abba11, 根据这个规则x23)1(x的解为() a32xb 1xc32x或 1 d32x或1例 6:已知4)4(422xcbxxaxx,则_ _ _ _ _ _ _ _ ,_ _ _ ,cba;例7: 已知37(1)(2)12yabyyyy,则()10,13abb10,13ab c10,13ab d 10,13ab例 8:已知yx32,求22222yxyyxxy的值;精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 5 页 - - - - - - - - -学习必备精品知识点例 9:设mnnm
16、, 则nm11的值是 ( ) a.mn1 b.0 c.1 d.1例 10:先填空后计算:111nn= 。2111nn= 。3121nn= 。 (3 分)(本小题4分)计算:)2008)(2007(1)3)(2(1)2)(1(1) 1(1nnnnnnnn解:)200)(2007(1)3)(2(1)2)(1(1) 1(1nnnnnnnn= 13、化为一元一次的分式方程:(1)分式方程:含分式,并且分母中含未知数的方程分式方程。(2)解分式方程的过程,实质上是将方程两边同乘以一个整式(最简公分母),把分式方程转化为整式方程。解分式方程时, 方程两边同乘以最简公分母时,最简公分母有可能为,这样就产生了
17、增根,因此分式方程一定要验根。(3)解分式方程的步骤: (1)能化简的先化简; (2)方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程; (3)解整式方程; (4)验根例 1:如果分式121xx的值为 1,则 x 的值是;例 2:要使2415xx与的值相等,则x=_。例 3:当 m=_ 时,方程21mxmx=2 的根为12. 例 4:如果方程3)1(2xa的解是 x5,则 a。例 5:(1)132xx (2) 13132xxx例 6: 解方程:22416222xxxxx例 7:已知:关于x 的方程xxxa3431无解,求a 的值。例 8:已知关于x 的方程12xax的根是正数,求a 的取值范围。例 9:
18、若分式21x与32xx的 2 倍互为相反数,则所列方程为_;例 10: 当 m为何值时间?关于x的方程21122xxxxxxm的解为负数?例 11:解关于x的方程)0(2aabxaxb例 12:解关于x 的方程 :)0(21122abaabaxbax例 13:当 a 为何值时 , )1)(2(21221xxaxxxxx的解是负数 ? 例 14:先化简 , 再求值 :222)(222yxxyxyxyxx, 其中x,y满足方程组232yxyx例 15 知关于 x 的方程)1)(2(121xxmxxxx的解为负值, 求 m的取值范围。练 习题 :(1) 164412xx(2)0)1(213xxxx(
19、3)xxx1513112(4625xxxx(5)2163524245xxxx (6)11112xx (7) xxx21321(8 )21212339xxx(9)311223xx14、分式方程的增根与无解的问题:例 1:分式方程3xx+1=3xm有增根,则m= 例 2:当 k 的值等于时,关于x 的方程3423xxxk不会产生增根;例 3:若解关于x 的分式方程234222xxmxx会产生增根,求m的值。例 4:m取时,方程323xmxx会产生增根;例 5:若关于 x 的分式方程3232xmxx无解,则m的值为 _。例 6:当 k 取什么值时?分式方程0111xkxxxx有增根 . 例 7:若方
20、程441xmxx有增根,则m的值是()a4 b3 c -3 d1 例 8:若方程342(2)axxx x有增根,则增根可能为()a 、0 b、 2 c、0 或 2 d、1 15、分式的求值问题:例 1:已知31ba,分式baba52的值为;例 2:若 ab=1,则1111ba的值为。例 3:已知13aa,那么221aa_ ;例 4:已知311yx,则yxyxyxyx55的值为()a 27 b 27 c 72 d 72例 5:已知yx32,求22222yxyyxxy的值;例 6:如果ba=2,则2222bababa= 例 7:已知2xa与2xb的和等于442xx,则 a= , b = 。例 8:
21、若0yxxy,则分式xy11()a 、xy1 b、xy c 、1 d 、 1 例 9:有一道题 “先化简, 再求值:22241244xxxxx(),其中3x。 ”小玲做题时把“3x”错抄成了“3x” ,但她的计算结果也是正确的,请你解释这是怎么回事?例 10:有这样一道数学题:“己知 :a=2005, 求代数式a(1+a1) 112aa的值” ,王东在计算时错把“a=2005”抄成了“ a=2050” ,但他的计算结果仍然正确,请你说说这是怎么回事。例 11:有这样一道题: “计算:2222111xxxxxxx的值,其中2007x” ,某同学把2007x错抄成2008x,但它的结果与正确答案相
22、同,你说这是怎么回事?例题:已知31xx,求1242xxx的值。16、分式的应用题:工程问题:例 1:一项工程,甲需x小时完成,乙需y小时完成,则两人一起完成这项工程需要 _ 小时。例 2: 小明和小张两人练习电脑打字,小明每分钟比小张少打6 个字,小明打 120个字所用的时间和小张打180 个字所用的时间相等。设小明打字速度为x 个/ 分钟,则列方程正确的是()a xx1806120b xx1806120c 6180120 xxd 6180120 xx例 3:某工程需要在规定日期内完成, 如果甲工程队独做, 恰好如期完成 ; 如果乙工作队独做 , 则超过规定日期 3 天, 现在甲、乙两队合作
23、2 天, 剩下的由乙队独做, 恰好在规定日期完成, 求规定日期 . 如果设规定日期为 x 天, 下面所列方程中错误的是( ) a.213xxx; b.233xx; c.1122133xxxx; d.113xxx例 4:一件工程甲单独做a小时完成,乙单独做b小时完成,甲、乙二人合作完精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 5 页 - - - - - - - - -学习必备精品知识点成此项工作需要的小时数是() (a)ba(b)ba11(c)ba1(d)baab例 5:赵强同学借了一本书,共 280 页,要在两周借期内读完,当他读了一
24、半时,发现平时每天要多读21 页才能在借期内读完. 他读了前一半时,平均每天读多少页?如果设读前一半时, 平均每天读x 页, 则下列方程中 , 正确的是()a、1421140140 xx b 、1421280280 xx b 、1211010 xx d、1421140140 xx例 6: 某煤厂原计划x天生产 120 吨煤,由于采用新的技术,每天增加生产3 吨,因此提前 2 天完成任务,列出方程为()a 31202120 xxb 32120120 xx c 31202120 xxd 32120120 xx例 7:某工地调来72 人参加挖土和运土工作,已知3 人挖出的土1 人恰好能全部运走,问怎
25、样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工?要解决此问题,可设派x人挖土列方程7213xx;723xx;372xx;372xx例 8:八( 1) 、八( 2)两班同学参加绿化祖国植树活动,已知八(1)班每小时比八( 2)班多种 2 棵树,八( 1)班种 66 棵树所用时间与八(2)班种 60 棵树所用时间相同,求:八(1) 、八( 2)两班每小时各种几棵树?例 9:某一一项工程预计在规定的日期内完成,如果甲独做刚好能完成,如果乙独做就要超过日期3 天,现在甲、乙两人合做2 天,剩下的工程由乙独做,刚刚好在规定的日期完成,问规定日期是几天?例 10:服装厂接到加工720 件衣服的订单,预计每天
26、做48 件,正好可以按时完成,后因客户要求提前5 天交货,则每天应比原计划多做多少件?例 11:为加快西部大开发的步伐,决定新修一条公路,甲、乙两工程队承包此项工程。 如果甲工程队单独施工,则刚好可以按期完成;如果乙工程队单独施工就要超过 6 个月才能完成。现在甲、乙两队先共同施工4 个月, 剩下的由乙队单独施工, 则也刚好可以按期完成。问师宗县原来规定修好这条公路需多长时间?例 12:某工程由甲、 乙两队合做6 天完成, 厂家需付甲、 乙两队共4350 元; 乙、丙两队合做10 天完成,厂家需付乙、丙两队共4750 元;甲、丙两队合做5 天完成全部工程的32,厂家需付甲、丙两队共2750 元
27、。(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?(2)若工期要求不超过20 天完成全部工程,问可由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由。价格价钱问题:例 1: “五一”江北水城文化旅游节期间,几名同学包租一辆面包车前去旅游,面包车的租价为180 元,出发时又增加了两名同学,结果每个同学比原来少摊了3 元钱车费,设参加游览的同学共x 人,则所列方程为()a32180180 xx b31802180 xx c 32180180 xxd31802180 xx例 2:用价值 100 元的甲种涂料与价值240 元的乙种涂料配制成一种新涂料,其每千克售价比甲种涂料每千克售价少3 元,比乙种涂料每千
28、克的售价多1 元,求这种新涂料每千克的售价是多少元?若设这种新涂料每千克的售价为x 元,?则根据题意可列方程为_例 3:某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150 人,甲、乙两种工种的工人的月工资分别为600 元和 1000 元,现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2 倍,问甲、乙同种工种各招聘多少人时,可使得每月所付的工资最少?例 4:为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园,某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800 元,第二次捐款总额为5000 元,第二次捐款人数比第一次捐款人数多20 人,而且两次人均捐款额恰好相等。那么这两次各有多少人进行捐款?例 5:随着it 技术的普及,越
29、来越多的学校开设了微机课. 某初中计划拿出72万元购买电脑,由于团体购买,结果每台电脑的价格比计划降低了500 元,因此实际支出了64 万元 . 学校共买了多少台电脑?若每台电脑每天最多可使用4 节课,这些电脑每天最多可供多少学生上微机课?( 该校上微机课时规定为单人单机) 例 6:光明中学两名教师带领若干名三好学生去参加夏令营活动,联系了甲、乙两家旅游公司,甲公司提供的优惠条件是:1 名教师收行业统一规定的全票,其余的人按7.5折收费,乙公司则是:所有人全部按8 折收费经核算甲公司的优惠价比乙公司的优惠价便宜132,那么参加活动的学生人数是多少人?例 7:北京奥运“祥云”火炬2008 年 5
30、 月 7 日在羊城传递,熊熊燃烧的奥运圣火将在羊城传递和平、友谊、进步的“和平之旅” ,广州市民万众喜迎奥运。某商厦用8 万元购进奥运纪念运动休闲衫,面市后供不应求,商厦又用17.6 万元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进数量的2 倍,但单价贵了4 元,商厦销售这种运动休闲衫时每件定价都是58 元,最后剩下的150 件按八折销售,很快售完,请问在这两笔生意中,商厦共赢利多少元?顺水逆水问题:例 1:a、 b两地相距48 千米,一艘轮船从a地顺流航行至b地,又立即从b地逆流返回a地,共用去9 小时,已知水流速度为4 千米 / 时,若设该轮船在静水中的速度为x千米 / 时,则可列方程()a
31、、9448448xx b、9448448xx c、9448x d、9496496xx例 2:一只船顺流航行90km 与逆流航行60km 所用的时间相等,若水流速度是2km/h,求船在静水中的速度,设船在静水中速度为xkm/h,则可列方程()a、290 x=260 x b、290 x=260 x c、x90+3=x60 d、x60+3=x90例 3:轮船顺流航行66 千米所需时间和逆流航行48 千米所需时间相同,已知水流速度是每小时3 千米,求轮船在静水中的速度。行程问题:例 1:在一段坡路,小明骑自行车上坡的速度为每小时v1千米,下坡时的速度为每小时v2千米,则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时()a、221vv千米 b、2121vvvv千米 c、21212vvvv千米 d、无法确定例 2:甲、乙两人分别从两地同时出发,若相向而行,则a小时相遇;若同向而行,则b小时甲追上乙那么甲的速度是乙的速度的()abb倍bab倍baba倍baba倍例 3:八年级 a、b
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