2022年函数的单调性和奇偶性专题

1、精品资料欢迎下载函数的单调性和奇偶性专题经典例题透析类型一、函数的单调性的证明1. 证明函数上的单调性 .证明：在 0， + 上任取 x1、x2x1 x2， 令 x=x 2-x1 0就 x1 0， x2 0，上式 0， y=fx 2-fx 1 0上递减 .总结升华：1 证明函数单调性要求使用定义；2 如何比较两个量的大小？作差 3 如何判定一个式子的符号？举一反三：对差适当变形【变式 1】用定义证明函数上是减函数 .思路点拨：此题考查对单调性定义的懂得，在现阶段，定义是证明单调性的唯独途径.证明：设 x1， x2 是区间上的任意实数，且x1x2，就 0 x1 x2 1 x1-x2 0， 0 x

2、1x2 1 0 x1x2 1故，即 fx 1-fx 2 0 x1 x2 时有 fx1 fx 2上是减函数 .总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中常常会遇到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型二、求函数的单调区间2. 判定以下函数的单调区间；1y=x 2-3|x|+2； 2解： 1由图象对称性，画出草图 fx 在上递减，在上递减，在上递增.2图象为 fx 在上递增 .举一反三：【变式 1】求以下函数的单调区间：1y=|x+1| ； 23.解： 1画出函数图象，函数的减区间为，函数的增区间为 -1， + ；2定义域为，其中 u=2x-1 为增函

3、数，在-， 0与 0， + 为减函数，就上为减函数；3定义域为 -， 0 0， + ，单调增区间为： -， 0，单调减区间为0， + .总结升华：1 数形结合利用图象判定函数单调区间；2 关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.3 复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.类型三、单调性的应用 比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值-a+1 与的大小 .3. 已知函数 fx在 0， + 上是减函数，比较fa 2解：又 fx 在0， +

4、 上是减函数，就.4. 求以下函数值域：1； 1x 5， 10 ； 2x -3， -2 -2， 1；2y=x 2-2x+3；1x -1 ， 1； 2x -2 ， 2.思路点拨： 1 可应用函数的单调性；2 数形结合 .解：12 个单位， 再上移 2 个单位得到，如图1fx 在5， 10上单增，；2；2画出草图1y f1 ， f-1 即2， 6；2.举一反三：【变式 1】已知函数.(1) 判定函数 fx 的单调区间；(2) 当 x 1， 3时，求函数 fx 的值域 .思路点拨：这个函数直接观看唯恐不简单看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟识的形式.，其次问即是利用单调性求函数

5、值域 .解： 1上单调递增，在上单调递增；2故函数 fx 在1 ，3上单调递增x=1 时 fx 有最小值， f1=-2x=3 时 fx有最大值x 1， 3时 fx的值域为.5. 已知二次函数 fx=x 2-a-1x+5 在区间上是增函数，求：1 实数 a 的取值范畴； 2f2 的取值范畴 .解： 1对称轴是打算 fx 单调性的关键，联系图象可知只需；2 f2=2 2-2a-1+5=-2a+11 又 a 2， -2a -4f2=-2a+11 -4+11=7.类型四、判定函数的奇偶性6. 判定以下函数的奇偶性：123fx=x 2-4|x|+34fx=|x+3|-|x-3|567思路点拨：依据函数的

6、奇偶性的定义进行判定.解： 1 fx 的定义域为，不关于原点对称，因此fx 为非奇非偶函数；2 x-1 0， fx 定义域不关于原点对称，fx为非奇非偶函数；3对任意 x r ，都有 -x r ，且 f-x=x 2-4|x|+3=fx ，就 fx=x 2-4|x|+3 为偶函数 ；4 x r， f-x=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-fx ， fx 为奇函数；5， fx 为奇函数； 6 x r， fx=-x|x|+x f-x=-x|-x|+-x=x|x|-x=-fx， fx 为奇函数；7， fx为奇函数 .举一反三：【变式 1】判定以下函数的奇偶性：1；2fx=|x+1|

7、-|x-1| ；3fx=x 2+x+1 ；4.思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判定.解：1；2f-x=|-x+1|-|-x-1|=-|x+1|-|x-1|=-fx fx为奇函数；+-x+1=x3f-x=-x 22-x+1 f-x -fx 且 f-x fx fx 为非奇非偶函数；4任取 x 0 就 -x 0， f-x=-x 2+2-x-1=x 2-2x-1=-x 2+2x+1=-fx任取 x 0，就 -x 0 f-x=-x 2+2-x+1=-x 2-2x+1=-x 2+2x-1=-fx x=0 时， f0=-f0 x r 时， f-x=-fx fx 为奇函数 .举一反三：【变式 2】已知 fx

8、 ，gx均为奇函数， 且定义域相同， 求证：fx+gx 为奇函数， fx ·gx为偶函数 .证明：设 fx=fx+gx ， gx=fx · gx就f-x=f-x+g-x=-fx-gx=-fx+gx=-fxg-x=f-x · g-x=-fx · -gx=fx · gx=gx fx+gx 为奇函数， fx · gx为偶函数 .类型五、函数奇偶性的应用 求值，求解析式，与单调性结合7.已知 fx=x 5+ax3-bx-8 ，且 f-2=10 ，求 f2.解：法一： f-2=-253+-2 a-2b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+

9、2b=10 8a-2b=-50f2=2 5+2 3a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令 gx=fx+8 易证 gx为奇函数 g-2=-g2 f-2+8=-f2-8 f2=-f-2-16=-10-16=-26.8. fx 是定义在 r 上的奇函数，且当x 0 时， fx=x 2-x，求当 x 0 时， fx的解析式，并画出函数图象.解：奇函数图象关于原点对称， x 0 时， -y=-x 2-x即 y=-x 2-x 又 f0=0 ，如图9. 设定义在 -3 ，3上的偶函数 fx在 0，3上是单调递增，当 fa-1 fa时，求 a的取值范畴 .解： fa-1 faf|a-1|

10、 f|a|而|a-1|， |a| 0， 3.类型六、综合问题10. 定义在 r 上的奇函数fx 为增函数，偶函数gx在区间的图象与 fx的图象重合，设 a b 0，给出以下不等式，其中成立的是 . fb-f-a ga-g-b ； fb-f-a ga-g-b ； fa-f-b gb-g-a ； fa-f-b gb-g-a.答案： .11. 求以下函数的值域：123思路点拨： 1 中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；2由单调性求值域， 此题也可换元解决；3单调性无法确定，经换元后将之转化为熟识二次函数情形，问题得到解决，需留意此时t 范畴 .解：1；(2) 经 观 察 知 ，；(3) 令.

11、12. 已知函数 fx=x 2-2ax+a 2-1.(1) 如函数 fx在区间 0， 2上是单调的，求实数a 的取值范畴；(2) 当 x -1， 1时，求函数 fx 的最小值 ga ，并画出最小值函数y=ga 的图象 .解： 1 fx=x-a 2-1 a 0 或 a 221 °当 a -1 时，如图 1， ga=f-1=a 2+2a2°当 -1 a 1 时，如图 2，ga=fa=-13°当 a 1 时，如图 3， ga=f1=a 2 -2a，如图13. 已知函数 fx 在定义域 0，+ 上为增函数， f2=1 ，且定义域上任意x、y 都满意 fxy=fx+fy ，

12、解不等式： fx+fx-2 3.解：令 x=2， y=2 ， f2 × 2=f2+f2=2f4=2再令 x=4， y=2 ， f4 ×2=f4+f2=2+1=3 f8=3 fx+fx-2 3 可转化为： fxx-2 f8.14. 判定函数上的单调性，并证明.证明：任取 0 x1 x2， 0 x1 x2， x1-x2 0， x1· x2 0 1当时0 x1· x2 1， x1· x2-1 0 fx 1-fx 2 0 即 fx 1 fx 2上是减函数 .2当 x1， x2 1， + 时，上是增函数 .难点： x1· x2-1 的符号的确定

13、，如何分段.最小值 .15. 设 a 为实数，函数 fx=x 2+|x-a|+1， x r，试争论 fx 的奇偶性，并求 fx 的解：当 a=0 时， fx=x 2+|x|+1，此时函数为偶函数； 当 a 0 时， fx=x 2+|x-a|+1，为非奇非偶函数 .(1) 当 x a 时，1且2上单调递增，上的最小值为 fa=a 2+1.(2) 当 x a 时，1 上单调递减，上的最小值为 fa=a 2 +12 上的最小值为综上：.学习成果测评基础达标一、挑选题1. 下面说法正确的选项a. 函数的单调区间就是函数的定义域 b函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间c具有奇偶性的函数的定义域定关

14、于原点对称d关于原点对称的图象肯定是奇函数的图象2. 在区间上为增函数的是 abcd 3. 已知函数为偶函数， 就的值是 a.b.c.d.4. 如偶函数在上是增函数，就以下关系式中成立的是abcd5. 假如奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是 a. 增函数且最小值是b增函数且最大值是c减函数且最大值是d减函数且最小值是6. 设是定义在上的一个函数， 就函数，在上肯定是 a奇函数b偶函数c既是奇函数又是偶函数d非奇非偶函数 .7. 以下函数中，在区间上是增函数的是 abc d8. 函数 fx 是定义在 -6 ， 6上的偶函数，且在 -6， 0上是减函数，就a. f3+f4 0b. f

15、-3-f2 0c. f-2+f-5 0d. f4-f-1 0二、填空题1. 设奇函数的定义域为，如当时，的图象如右图， 就不等式的解是.2. 函数的值域是.3. 已知，就函数的值域是.4 如 函 数是 偶 函 数 ， 就的 递 减 区 间 是 .5 函数在 r上为奇函数，且，就当， .三、解答题1. 判定一次函数反比例函数，二次函数的单调性 .2. 已知函数的定义域为，且同时满意以下条件：1是奇函数；2在定义域上单调递减；3求 的取值范畴 .3. 利用函数的单调性求函数的值域；4. 已知函数. 当时，求函数的最大值和最小值； 求实数的取值范畴，使在区间上是单调函数 .才能提升一、挑选题1. 以

16、下判定正确选项 a函数是奇函数b函数是偶函数c函数是非奇非偶函数 d函数既是奇函数又是偶函数2. 如函数在上是单调函数，就的取值范畴是 abcd3. 函数的值域为 abcd4. 已知函数在区间上是减函数， 就实数的取值范畴是 abcd5. 以下四个命题： 1函数在时是增函数，也是增函数， 所以是增 函数 ； 2 如 函 数与轴 没 有 交 点 ， 就且； 3的递增区间为； 4和表示相等函数 .其中正确命题的个数是abcd 6定义在r上的偶函数，满意，且在区间上为递增，就abcd二、填空题1. 函数的单调递减区间是 .2. 已知定义在上的奇函数，当时，那么时， .3. 如函数在上是奇函数，就的解析式为.4. 奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为 8，最小值为 -1，就 .5. 如函数在上是减函数，就的取值范畴为.三、解答题1. 判定以下函数的奇偶性122. 已知函数的定义域为，且对任意，都有， 且当时，恒成立，证明： 1函数是上的减函数； 2函数是奇函数 .3. 设函数与的定义域是且，是偶函数，是