费马点与加权费马点讲义

1、费马点与加权费马点【例题1】.（1）知识储备 如图1,已知点P为等边MBC外接圆的EC上任意一点.求证：PB+PC=R1. 定义：在/ABC所在平而上存在一点P,使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称 点P为MBC的费马点，此时PA+PB-PC的值为ZU5C的费马距离.（2）知识迁移 我们有如下探寻 J5C （其中厶L ZB, ZC均小于120° ）的费马点和费马距离的 方法：如图2,在的外部以EC为边长作等边及其外接圆，根据（1）的结论，易 知线段的长度即为J5C的费马距离. 在图3中，用不同于图2的方法作出MBC的费马点P （要求尺规作图）.（3）知识应用 判断题（正确的打丿，错

2、误的打X）：i .任意三角形的费马点有且只有一个:ii.任意三角形的费马点一泄在三角形的内部 已知正方形ABCD, P是正方形内部一点，且PA+PBPC的最小值为頁也，求正方 形ABCD的边长.AD图“【练习1】.（1）阅读证明 如图1,在2EC所在平而上存在一点P,使它到三角形三顶点的距离之和最小，则 称点P为N0C的费马点，此时R4+PB+PC的值为/XABC的费马距离. 如图2,已知点P为等边MBC外接圆的瓦上任意一点.求证：PB+PC=R4.（2）知识迁移根据（1）的结论，我们有如下探寻/IBC （Jt中Z，ZB, ZC均小于120。）的费马 点和费马距离的方法：第一步：如图3,在/X

3、ABC的外部以BC为边长作等边BCD及苴外接圆；第二步：在衣上取一点P0,连接PZPoB,PoC,PqD.易知P+PoB+PqC=P+<PoB+PqC）=P（U+:第三步：根据（1） ®中泄义，在图3中找出3C的费马点、P,线段的长度即为/XABC的费马距离.（3）知识应用已知三村庄B, C构成了如图4所示的&L3C （其中Z2, ZB, ZC均小于120° ）, 现选取一点P打水井，使水井P到三村庄B, C所铺设的输水管总长度最小.求输水 管总长度的最小值.【练习2】.问题探究将几何图形按照某种法则或规则变换成対一种几何图形的过程叫做几何变换.旋转变换 是几

4、何变换的一种基本模型.经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现.题设和结 论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系淸楚明了，从而将求解问题灵活转化.问题提出：如图1, 3C是边长为1的等边三角形，P为N1BC内部一点，连接21、 PB、PC,求E4+PB+PC的最小值.12團3團斗團5方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两左点之间 的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）.问题解决：如图2,将绕点B逆时针旋转60°至连接PP A'C,记/C 与 交于点 D,易知ZA'BC= ZA'BA+ZABC= 120

5、Q .由BP, ZP'BP=60° ,可知为正三角形，有PB=PP.故PA+PB+POP' A+P，P+PC>AZ CVS-因此，当丄、P、P、C 共线时，El+PB+PC 有最小值是JI学以致用：（1）如图 3,在ZU5C 中，ZBJC= 30° , .15=4, CA=3, P 为N4BC 内部 一点，连接匕（、PB、PC,则的最小值是.（2）如图 4,在/ABC 中，ZBIC=45° , 近，CA=3, p 为N1BC 内部一点，连 接刊、PB、PC,求近PA+PB+PC的最小值.（3）如图5, P是边长为2的正方形J5CD内一点，0为

6、边BC上一点，连接刃、PD、PO,求PA+PD+PO的最小值.【练习3】如图，四边形，购CD是正方形，厶遊是等边三角形，M为对角线加(不含B点)上任总一点，将绕点E逆时针旋转60°得到EN,连接EA AM. CM.(1) 求证：MMBU/XENB；(2) 当M点在何处时，zL0CM的值最小：当M点在何处时，的值最小，并说明理由：(3) 当的最小值为血+1时，求正方形的边长.【练习4】.在边长为2的正方形肿CD内求一点P,使得PA+PB+PC之和为最小，并求这 个最小值及此时E、PB、PC的大小.【练习5】（1）阅读材料：如图（1）,四边形拐CD是正方形，磁是等边三角形，M 为对角线B

7、D （不含E点）上任意一点，将BV绕点E逆时针旋转60°得到B¥,连接EN、CM. 求证：'AMB竺4ENB； 当M点在何处时，2昭CM的值最小；当M点在何处时，.MB册CM的值最小， 并说明理由；（2）根据阅读材料所提供的数学思想和方法，完成下而的题目：如图（2）, A. B、C、 D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统，使每两个城市之间都【练习6】如图，41BC中，ZBAC=3QQ且.4B=AC. P是底边上的髙.0上一点.若AP+BP+CP的最小值为2亦则BC=5 H C【练习8】综合与实践：发现问题：如图，已知：0-1S中，0B=3,将AO

8、肿绕点O逆时针旋转90°得Of B,连接则血=.问题探究：如图，已知N4BC是边长为4血的等边三角形，以PC为边向外作等边BCD, P为 J5C内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60° , P的对应点为0.(1) 求证：/XDCOABCP(2) 求R1+PB+PC的最小值.实际应用：如图，某货运场为一个矩形场地-13CD,其中 肿=500米，-10=800米，顶点2、D 为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上(含E、C两点) 开一个货物入口 并修建三条专用车道EL PD、PM.若修建每米专用车道的费用为10000元，当M. P建在何处时,修建专用车道的费用最少？最少费用为