2022年关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用

1、关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用“ 一线三垂直” 模型是 “ 一线三等角” 模型的特殊情况，（关于 “ 一线三等角” 模型详见比例与相似高级教程（六） ：相似三角形的“ 一线三等角” 模型 ） ， 即三个等角角度为90o，于是有三组边相互垂直，所以称为“ 一线三垂直” 模型。“ 一线三垂直” 的性质：1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长；2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。“ 一线三垂直” 模型在平面几何中有着及其重要的地位，常出现的图例有以下几种：其中，在“ 变形2” 模型下，根据相似原理，推理出了著名的“ 射影定理” 这里主

2、要讨论有一对对应边相等的情况。【例 1】如图， 在等腰直角三角形abc 中， acb=rt ， ac=bc ，ae ce 于点 e，bd ce 于点 d， ae=5cm ， bd=2cm ，则 de 的长为多少？精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - -【 提 示 】 根 据 “ 一 线 三 垂 直 ” 模 型 的 性 质 ， ace cbd

3、， 于 是cd=ae=5cm，ce=bd=2cm ， de=5-2=3 （ cm）【例 2】如图，在abc 中， ca=cb ，点 d 为 bc 中点， ce ad 于点 e，交 ab 于点 f，连接df。求证：ad=cf+df. 【解析】此题乍一看起来和【例1】相同，却不能照搬照抄。从要证明的结论来看，需要把ad这条线段“ 转化 ” 到直线cf 上。如图，过点b 作bg cb ，交 cf 的延长线于点g。则易证acd cbg ，于是ad=cg=cf+fg；bg=cd=bd， bf=bf ， dbf= gbf=45o ，故 bdf bgf ，于是fd=fg ，所以ad=cf+df。精品学习资料

4、 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - -关于“一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用（二）“ 一线三垂直” 的性质：1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长；2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。【例 3】如图，在abc 中， ab=ac ， bac=90o ，分别过b，c 向过 a 点的直线作垂线，垂足

5、分别为e， f。（1）如图1，过点a 的直线与斜边bc 不相交时，求证：ef=eb+cf ；（2）如图2，过点a 的直线与斜边bc 相交时，其他条件不变，若be=10 ， cf=3. 求ef 的长。【提示】（1）图 1 是“ 一线三垂直” 的基础模型，abe caf ；（2）图 2 是 “ 一线三垂直” 的变形4，和【例1】相同。【例 4】如图，已知aeb 中， aeb=90o ，以 ab 为边向外作正方形abcd ，连接ac 、 bd ，交于点o，连接eo。若 be=2 ， eo=32，求五边形aebcd的面积。【解析】因为abc= aeb=90o ，故构造“ 一线三垂直” 模型，如图。精品

6、学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - -过点 c 作 cp eb，交 eb 延长线于点p，连接op。则根据 “ 一线三垂直” 模型的性质，aeb bpc ，bp=ae ； aob= aeb=90o ，a 、 e、 b、 o 四点共圆（详见“ 四点共圆” 在解题中的妙用（一）， beo= bao=45o ；同理 bpo= bco=45o ，故 eo

7、p 为等腰直角三角形；eo=3 2 ， ep=6 ， bp=4 ，根据勾股定理，ab2=16+4=20 ，即 s 正方形abcd=20 ，saeb=4 2 2=4 ， s 五边形aebcd=20+4=24. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - -关于“一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用（三）【例5】已知abc 中， acb=90o ，

8、ac=bc ， cd 为 ab 边上的中线，点e 为 bc边上任意一点（不与a、 d、 b 重合），bf ce 于点 f，交cd 于点 g，ah ce，交 ce 延长线于点h，交cd 延长线于点m。求证：（1） cg=ae ；（ 2） de=dm 。【提示】（1）根据 “ 一线三垂直” 模型，ach cbf ， ace= cbg ，又 cae= bcg=45o ， ac=bc ， ace bcg ；（2）由 “ 一线三垂直” 模型可知，ace= cbg ，bf=ch ， hcm= fbe ，又 bfe= chm=90o ， chm bfe ， be=cm ，从而de=dm 。同时我们也应该注意

9、到：acm cbe ；adm cde bdg ； ahe cfg ；dm=dg=de； gem 为等腰直角三角形等。构造 “ 一线三垂直” 模型，是作辅助线常用的一种手段。【例 6】如图，直线l1 l2 l3，且 l1 到 l2 的距离为3， l2 到 l3 的距离为4，等腰直角 abc 的直角顶点c 在 l2 上，点a、 b 分别在l1、 l3 上。求abc 的面积。【提示】过点c 作 l2 的垂线，分别交l1 和 l3 于点 d、 e，构造 “ 一线三垂直” 模型，则 cd=3 ， ad=ce=4 ， ac=5. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - -

10、- - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - -关于“一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用（四）【例7】（ 2018 初二希望杯练习题）如图，四边形abcd为直角梯形，ad bc，bcd=90o ，ab=bc+ad，dac=45 o ，e 为 cd 上一点， 且 bae=45 o ，若 cd=4 ，求 abe 的面积。【解析】如图，过点e 作 eg ae ，交ab 延长线于点g，过点g 作 gh dc，交dc 延长线于点

11、h，构造 “ 一线三垂直” 模型；过点g 作 gk bc 于点k，过点b 作bf ad 于点 f。则 ade ehg ， de=gh ；ad=eh=cd，de=ch ，故四边形ckgh为正方形。af=4-bc ， ab=4+bc， bf=4 ，（ 4+bc ） 2 =（ 4-bc ） 2+42，解得： bc=1 ，所以ab=5 ；设 de=x ，则 bk=1-x ， gk=x ， ae2=x2+42 aeg 为等腰直角三角形，ag2=2ae2，（5+bg ） 2 =2（ x2+42），将bg 代入，化简得：（7x-4 ） 2 =0， x=4/7 ， abe 面积 =梯形 abcd面积 -ade

12、 面积 - bce 面积=（ 1+4） 4 2-4 4/7 2-1 (4-4/7)2=50/7 。在直角坐标系中构造“ 一线三垂直” 模型，是解决坐标问题的一种有效手段。【例 8】如图，在直角坐标系中，点a（ 1，2），点b（ 0，-1），已知abc 为等腰直角三角形，求点c 的坐标。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - -【解析】设c（ m

13、， p）。（1）当 bac 为直角时：当点c 在 ab 右侧时， 如图 1。 过点 a 作 de x 轴， 交 y 轴于点d， 过点 c 作 ce de于点 e。根据 “ 一线三垂直” 模型， abd ace ，db=ae ， ce=da ，即： m-1=3 ， 2-p=1 ，解得： m=4 ， p=1， c（ 4， 1）；当点c 在 ab 左侧时， 如图 2。 过点 a 作 de x 轴， 交 y 轴于点d， 过点 c 作 ce de于点 e。根据 “ 一线三垂直” 模型， abd ace ， db=ae ，ce=da ， 即：1-m=3 ， p -2=1 ，解得：m=-2 ， p=3 ，

14、c（ -2， 3）；（或者用下列方法：此时，点c 和中的c 关于点a 对称，故m=2 1-4=-2 ， p=221=3. ）（2）当 abc 为直角时：当点c 在 ab 右侧时， 如图 3。 过点 a 作 ae x 轴，交 y 轴于点e， 过点 c 作 cd y轴于点d。 根据 “ 一线三垂直” 模型， abe bcd ， db=ae ， be=cd ， 即：-1-p=1 ，m=3 ，解得：m=3 ， p=-2 ， c（ 3， -2）；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料

15、 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - -当点c 在 ab 左侧时，如图4。过点 b 作 de x 轴，过点c 作 cd de 于点 d，过点a 作 ae de 于点 e。根据 “ 一线三垂直” 模型， abe bcd ，be=cd ， bd=ae ，即： 0-m=3 ， p - （ -1）=1，解得： m=-3 ， p=0， c（ -3， 0）；（或者用下列方法：此时，点c 和中的c 关于点b 对称，故m=2 0-3=-3 ， p=-12（ -2） =0.）（3）当 acb 为直角时：当点c 在 a

16、b 右侧时，如图5。过点c 作 cd x 轴，过点a 作 ad cd 于点 d，cd 交 y 轴于点e。根据 “ 一线三垂直” 模型， acd cbe ，be=cd ， ce=da ，即： m=2-p ， p-（ -1）=m-1 ，解得： m=2 ， p=0，即cd 与 x 轴重合，点e 与 o 重合，c（ 2， 0）；当点c 在 ab 左侧时，如图6。过点c 作 cd x 轴，过点a 作 ad cd 于点 d，cd 交 y 轴于点e。根据 “ 一线三垂直” 模型， acd cbe ，be=cd ， ce=da ，即： 1-m= p- （ -1）， 2-p = 0-m ，解得： m=-1 ，

17、p=1， c（ -1， 1）。（或者用下列方法：此时，点c 和中的c 关于 ab 的中点对称，ab 的中点坐标为（0.5 ， 0.5），故m=2 0.5-2=-1 ， p=0.520=1. ）综上所述：符合条件的点c 的坐标有6 个：（4， 1）；（ -2， 3）；（ 3， -2）；（ -3， 0）；（ 2， 0）；（ -1， 1）。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 -

18、 - - - - - - - -关于“一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用（五）前面讨论的是关于“ 一线三垂直模型” 有两条边相等时的情况。如果不存在两条边相等，那么“ 一线三垂直模型” 的性质是必然存在一对或几对相似三角形，这个性质在初中平面几何中的应用也是十分广泛，尤其在直角坐标系中的函数图像与平面几何的综合应用题或压轴题经常得到应用，也是作辅助线的思想方法。经常出现的图例跟前面介绍的一样（关于 “ 一线三垂直” 模型及其在平面几何中的应用（一） ），只是直角的两条边不一定相等。【例 9】如图，在直角坐标系中，点a（ 1，3），点b（2， -1），坐标轴上是否存在点 c，使得acb 为

19、直角？若存在，请求出点c 的坐标；若不存在，请说明理由。【解析】（1）当点c 在 y 轴上时：如图 1，设 c（ 0， c），分别过点a、 b 作 x 轴的平行线，交y 轴于点d、 e。则根据 “ 一线三垂直模型” ， acd cbe ，ad ce=cd be，即： 1 (c+1)=(3-c) 2，解得： c1=1+2 ， c2=1- 2 ，故 c（ 0， 1+2 ）；或c（ 0，1-2 ）；（2）当点c 在 x 轴上时：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - -如图 2，设 c（ c， 0），分别过点a、 b 作 y 轴的平行线，交x 轴于点d、 e。则根据 “ 一线三垂直模型” ， acd cbe ，ad ce=cd be，即： 3（