初中数学压轴题--动态几何证明及实验题

1、初中数学压轴题-动态几何证明及实验题1动态几何证明及实验题动态几何证明及实验题所谓动态几何是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题此类题目注重对几何图形运动变化能力的考查动态几何问题是近几年各地试题中常见的压轴试题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能。解这类题目要“以静制动” ，即把动态问题，变为静态问题来解。解动态几何题一般方法是针对这些点在运动变化的过程中相伴随着的数量关系（如等量关系、变量关系） 、图形位置关系（如图形的特殊状态、图形间的特殊关系）等进行研究考察抓住变化中的“不变量” ，

2、以不变应万变实验操作实验操作【要点导航】【要点导航】通过实验操作观察猜想科学论证，使我们体验和学到了发现、获得知识的过程和方法. 实验操作探索理解题意、实验操作是基本保证，观察猜想、探索结论是关键，论证猜想的结论是落实.【典例精析典例精析】例例 1 1取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形abcd对折，折痕为mn，如图 1；第二步：再把b点叠在折痕线mn上，折痕为ae，点b在mn上的对应点为b，得 rtabe，如图 2；第三步：沿eb线折叠得折痕ef，使a点落在ec的延长线上，如图 3利用展开图 4 探究：（1）aef是什么三角形证明你的结论；（2）对于任一矩形，按照上述方

3、法能否折出这种三角形请说明你的理由【思路分析思路分析】1图形翻折后能重叠部分的图形全等，所以bea=aeb=fec，它们都是 60角，所以aef是等边三角形2由操作可知afad时，不能完整折出这种三角形当图 3 中的点f、d重合时，便可求得矩形的长与宽的比例为 23解解（1）aef是等边三角形由折叠过程可得：60beaaeffec 因为bcad，所以60afefec 所以aef是等边三角形图 1图 2图 3图 4初中数学压轴题-动态几何证明及实验题2（2）不一定当矩形的长恰好等于等边aef的边af时，即矩形的宽长abaf2:3时正好能折出如果设矩形的长为a，宽为b，可知当ab23时，按此种方法

4、一定能折叠出等边三角形；当aba23时，按此法无法折出完整的等边三角形方法点睛方法点睛要从操作实验题中抽象出数学模型来，并借助图形运动的基本性质求解例例 2 2已知：在abc中，bac=90，m为bc中点操作：将三角板的 90角的顶点与点m重合，并绕着点m旋转，角的两边分别与边ab、ac相交于点e、f（1）探究 1：线段be、ef、fc是否能构成三角形如果可以构成三角形，那么是什么形状的三角形请证明你的猜想（2）探究 2：若改变为： “角的两边分别与边ab、直线ac相交于点e、f ”其它条件都不变的情况下，那么结论是否还存在？请画出对应的图形并请证明你的猜想思路分析思路分析1由点m是bc中点，

5、所以构造绕点m旋转 180重合的全等三角形，将线段be、ef、fc移到同一个三角形中2当角的两边分别与边ab、直线ac相交于点e、f时，构造和证明的方法不变证明证明（1）线段be、ef、fc可以构成直角三角形如图 1，延长em到g，使得em=mg，联结gc、fg因为m为bc中点，所以bm=cm，又因为emb=gmc，em=mg，所以embgmc，所以be=gc，em=mg，b=mcg因为fm垂直平分eg，所以fe=fg又因为bac=90，所以b+acb=90 ， 所 以 mcg+ acb=90 ， 即 fcg=90 ， 所 以222fgfcgc，所以222effcbe（2）如图 2，当点f在c

6、a的延长线上时，延长em到g，使得em=mg，联结gc、fg因为m为bc中点，所以bm=cm，又因为emb=gmc，em=eg， 所以embgmc， 所以be=gc，em=mg， b=mcg 因为fm垂直平分eg，所以fe=fg又因为bac=90，所以b+acb=90，所以mcg+acb=90，即fcg=90，所以abcmabcmefgabcmefg图 3fcg为阴影abcmefg图 2fcg为阴影fcg为阴影标 注 三角 板 为阴影标 注 三角 板 为阴影标 注 三角 板 为阴影初中数学压轴题-动态几何证明及实验题3222fgfcgc，所以222effcbe如图 3，当点f在ac的延长线上时

7、，同理可证222effcbe方法点睛方法点睛 线段之间常见的关系是和差关系或者满足勾股定理 若能将所要求线段移动到同一条直线上，则线段之间是和差关系的可能性较大，若能将所要求线段移动后能构成三角形，则线段之间满足勾股定理的可能性较大【星级星级训练】训练】第第天天 ，年，年月月日日1.1.如图，在正方形abcd中，点e在边ab上（点e与点a、b不重合） ，过点e作fgde，fg与边bc相交于点f，与边da的延长线相交于点g（1）操作：由几个不同的位置，分别测量bf、ag、ae的长，从中你能发现bf、ag、ae的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论；（2）连结df，如果正方形的边长为 2，

8、设ae=x，dfg的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果正方形的边长为 2，fg的长为25，求点c到直线de的距离2.2.操作：将一把三角尺放在边长为 1 的正方形abcd上，并使它的直角顶点p在对角线ac上滑动，直角的一边始终经过点b，另一边与射线dc相交于点q探究：设a、p两点间的距离为x（1）当点q在边cd上时，线段pq与线段pb之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；（2）当点q在边cd上时，设四边形pbcq的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；gfedacbdacb供试验操作用初中数学压轴题-动态几何证明及实验题4（3）当点p在线

9、段ac上滑动时，pcq是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使pcq成为等腰三角形的点q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由 （图 5、图 6、图 7 的形状大小相同，图 5 供操作、实验用，图 6 和图 7 备用）3.3.在abc中，ab=ac，cgba交ba的延长线于点g一等腰直角三角尺按如图 1 所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为f，一条直角边与ac边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点b（1）在图 1 中请你通过观察、测量bf与cg的长度，猜想并写出bf与cg满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿ac方向平移到图2 所示的位置时，一条直角边仍与ac边在

10、同一直线上，另一条直角边交bc边于点d，过点d作deba于点e此时请你通过观察、测量de、df与cg的长度，猜想并写出dedf与cg之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿ac方向继续平移到图 3 所示的位置（点f在线段ac上，且点f与点c不重合）时， （2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）4.4.如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线实验与探究实验与探究：（1）由图观察易知a（0，2）关于直线l的对称点a的坐标为（2，0） ，请在图中分别标明b(5,3)、c(-2,5) 关于直线l的对称点b、c的位置，并写出他们的坐标：dacb图 5dac

11、b图 6dacb图 7初中数学压轴题-动态几何证明及实验题5b、c；归纳与发现：归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点p(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点p的坐标为（不必证明） ；运用与拓广：运用与拓广：（3）已知两点d(1,-3)、e(-1,-4)，试在直线l上确定一点q，使点q到d、e两点的距离之和最小，并求出q点坐标探索探索性问题性问题探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型探索性问题一般有三种类型： （1）条件探索型问题； （2）结论探索型问题； （3）探索存在型问题条件探索型问题是指所给问题中

12、结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定， 不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目条件探索条件探索【要点导航】【要点导航】“探索”是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，数学中的“条件探索”题型，是指命题中缺少一定的题设，需经过推断、补充并加以证明的命题，因而必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，由结论去探索未给予的条件。由于题型新颖、综合性强、结构独特，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，因而具体操作

13、时要更注重数学思想方法的综合应用【典例精析】【典例精析】例例 1 1如图，在线段ae的同侧作正方形abcd和正方形befg（beab） ，连结eg并延长交dc于点m，过m作mnab，垂足为n，mn交bd于点p设正方形abcd的边长为 1（1）证明cmgnbp；（2）设be=x，四边形mgbn的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域（3）如果按照题设方法作出的四边形bgmp是菱形，求be的长（4）联结pg，若bpg能否成为直角三角形？如果能，求be的长；anbefgcmdp初中数学压轴题-动态几何证明及实验题6如果不能，请说明理由（5）联结ac、af、cf，求证acf的面积为定值思路分析

14、思路分析1第（3）小题把四边形bgmp是菱形作为条件探索be的长2bpg中pbg始终是 45，而bpg和pgb有可能为 90，要分情况讨论3第（5）小题即可用割补法求也可用利用acbf将acf的面积转化为abc的面积证明证明（1）因为 正方形abcd，所以90cbac，45abd，同理45beg因为cd45begcmgabmn 90mnbnbcm 90pnbc45nbpcmgxbebgxcg1xcm122121)1)(1 (21)(21xxxbnmnbgy10 x)1 (2xx22 x22 bexx121x212(1)xx32x3211111(1)(1)2222acfadheacdaefhcf

15、sssssxxxxx 1(1)2aefsxx1(1)2bcfesxxaefsbcfesabqcfqss12acfabcss12acfabcssbefglqaq6al9aq6al9q2=l3q2=l323l31232b(4)0aabd ceabcacab m bc md me de90bacd e ac abemdm 90bacd e ac ab135bacdembacxdmey y x（1）如图 2，当bp=ba时，ebf=，猜想qfc=；（2）如图 1，当点p为射线bc上任意一点时，猜想qfc的度数，并加以证明；（3）已知线段ab=32，设bp=x，点q到射线bc的距离为y，求y关于x的函数

16、关系式anbefgcmdp图 2anbefgcmdp图 3abefcd图 4qhg图 3图 2图 1abc（备用图）abcdme图 2abcdme图 1图 1acbeqfp图 2abeqpfcabcdmn图 1abcdmn图 2abcdmn图 3abcdmn图 4pabcdmn图 5p初中数学压轴题-动态几何证明及实验题7结论结论探索探索【要点导航】【要点导航】探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型探索性问题一般有三种类型： （1）条件探索型问题； （2）结论探索型问题； （3）探索存在型问题条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目

17、；结论探索型问题是指题目中结论不确定， 不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、正、反比例和一次函数的求法（图象及其性质） 、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、等其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题

18、的能力【典例精析典例精析】例例 1 1如图 1，在abc中，acb= 90，ac=bc，ab= 8，cdab，垂足为点dm为边ab上任意一点，点n在射线cb上（点n与点c不重合） ，且mc=mn，neab，垂足为点e当点m在边ab上移动时，试探索线段me的长是否会改变？说明你的理由思路分析思路分析射线cb包括线段cb和线段cb的延长线两部分，点n在射线cb上运动时，可证明cmd和men全等，所以线段me的长始终和线段cd相等，所以不会改变长度解解：当点m在边ab上移动时，线段me的长不变，me= 4由点n在射线cb上，可知点n在边bc上或点n在边cb的延长线上（）如图 1，如果点n在边bc上，

19、可知点m在线段ad上因为ac=bc，acb= 90，所以a=b= 45又因为ac=bc，cdab，ab= 8，所以cd=bd= 4即得45bcd因为mc=mn，所以mcn=mnc因为mcn=mcd+bcd，mnc=b+bmn，所以mcd=nme又因为cdab，neab，所以cdm=men= 90所以mcdmne（aas） 所以me=cd= 4abc图 1dnme初中数学压轴题-动态几何证明及实验题8 c f p m d b a d m a b c p f e a b e p d m c（）如图 2，如果点n在边cb的延长线上，可知点m在线段bd上，且点e在边ab的延长线上因为abc=mnc+b

20、mn= 45， bcd=mcd+mcn=45，mcn=mnc，所以mcd=bmn因为mc=mn，cdm=men= 90，所以mcdnme（aas） 所以me=cd=4所以由（） 、 （）可知，当点m在边ab上移动时，线段me的长不变，me= 4方法点睛方法点睛点m在ab上和在ab的延长线上，从图 1 到图 2 是图形的变式题随着点m的运动线段之间的关系不变，所以证明思路不变例例 2 2如图，已知在正方形abcd中，ab= 2，p是边bc上的任意一点，e是边bc延长线上一点，联结ap过点p作pfap，与dce的平分线cf相交于点f联结af，与边cd相交于点g，联结pg（1）求证：ap=fp；（2

21、）探索线段bp、dg、pg之间的数量关系，并给出证明过程；（ 3 ） 当bp取 何 值 时 ，pg222pgcgpc222)2()2()2(xxx2 22x (2 22)bp kxy xxy2a a2kkxy x x y122 xy45ade135bmdadebmd45135bmdbmd212121bmdabebcfabefbc090fbcabembnabebcffbcabembnmbnabembn21212224xaeaddefgsdgf21242xy20 x221adcdscdeh221hdescde2522521h58h58x22x22x22x22121x2221422121x2x222

22、1x4232121x221x222x2221x221x222x22222abcmndabcped300（图 1）abdcqpxycbaoabc图 2dnme图 1图 2图 3aoxcdby图 1bacdepfgbacdepfgm图 3bacdepfg图 2habcdem图 1abcdem图 2abcdem图 3abcdem图 4abcdem图 5nabcdem图 6npabcdef图 1abcdef图 2abcdef图 3 n f e d c b a mn f e d c b amaefdbncmabcefmn图 1abcefmn图 2abcefmn图 3abcdefg图 1abcdefg图

23、2abcdefg图 3fbadceg图 1fbadceg图 2fbace图 3dgfedacbh图 1dacb图 1mnpqdacb图 2mnpqtdacb图 3mnpq标 注 dae和fhg为阴影bmp和 pnq为阴影pcq为 阴影初中数学压轴题-动态几何证明及实验题9x22x22x22x22x221(3,5)b(5,2)cd ddbkxy314kbkb ，52132kb ，51322yx 51322yxyx ，137137xy ，1371372b(4)0aa121212121212bd ceabc90becbdcbdccmbm bcdm21bcem21emdm 90bacemdm 135b

24、acdembmdm mdbmbdbdmdbmdmcabcemc2acbdmb2)(180dmbemcdme)(2180abcacb)180(2180bac90452180135bacdem)(180dmbemcdme)(2180abcacb)180(2180bac)180(2180 xy1802 xy1800 xebfqfcqfc3ab180180906030aeqaeb qfcebfbef303032ebf32bebg x)2(23xqhy323323xyacpabpabcsssbhacsabc21dpabsabp21peacsacp21peac 21dpab21bhac 21bhpdpea

25、cpabpabcsssbhacsabc21dpabsabp21peacsacp21bhac 21peac 21dpab21pdbhpe2121212121212121)4(21xy221xydkxmhx215)4(2138xxae212)221(214214xxyxde221xcd2212214xxadxae21221221xxaeadde34383838516516abcae e dbcdf fdfae /efad/6efbccfbe422beabaeaebqapsabqp)(21xbqxapxpd2,5,xxxy2104)25(2150 xdcdeabhp图 2cdeabhp图 1图 2a

26、bcpedabcmed图 3acbeqfpg图 4abeqpfch初中数学压轴题-动态几何证明及实验题10 xxxaepdcqsqcdp2224)211(21)(21qcdpabqpssxx2222103x3xxx2535xcqpd xx211311x35x311kxy xy2a a22ya2,2(k221kxybc4xyob obdp pxy4 obopp)22 ,22(1p)22,22(2pobpd d c)4 , 4(3pob pxy)2, 2(4pp)22 ,22(1p)22,22(2p)4 , 4(3p)2, 2(4p122 xy)0 , 6()12, 0()6 , 3()0(kkx

27、y)6 , 3(2kxy2)4 , 2()0(kbkxy)0 , 6()4 , 2(1k6b6xy)6,(xx36)6()6(22xx236x1p2p)23 ,236( )23,236(1q2q)23 ,23()23,23(3p)6 , 0(3q)6 , 6(4p)3 , 3(4q)3, 3( 以eabgad，effg所以dag+bafbae+baf=eaf=21bad所以gae=eaf因为afaf，所以afgafe.所以fgef，因为fg=dfdg所以ef=dfbe（4）cef的周长：ce+ef+fc=ef+fc+be+bc=fg+be+2+4=7+2+4=131 解解（1）eg=cg，eg

28、cg（2）eg=cg，egcg证明，如图 4，延长fe交dc延长线于m，连mg因为aem=90， ebc=90， bcm=90， 所以四边形bemc是矩形 所以be=cm，emc=90，又因为be=ef，所以ef=cm因为emc=90，fg=dg， 所以mg=12fd=fg 因为bc=em，bc=cd， 所以em=cd 因为ef=cm，所以fm=dm，所以f=45又fg=dg，cmg=12emc=45，所以f=gmc 所以gfegmc 所以eg=cg， fge=mgc 因为fmc=90，mf=md，fg=dg，所以mgfd，所以fge+egm=90，所以mgc+egm=90，即egc=90，所以egcgaoxcdbyp1p2q2q1图 2oxcdbyp3q3ap4q4图 3标注菱形 ap1q1o和 菱 形 ap2q2o为阴影标注菱形 op4aq4和菱形 oa q3p3为阴影abcdef图 4gabcdefg图 4m初中数学压轴题-动态几何证明及实验题112 解解（1）cg=eg（2） （1）中结论没有