曲线和曲面造型基础PPT课件

1、121212xxyyzzcabijk12121 2x xy yz za b点乘的几何表示形式为第一个矢量向第二个矢量方向（假设第二个矢量为单位矢量）的投影长度。2.1 微分几何基础第1页/共100页矢量叉乘：111222sinxyzxyzijka ba bu2.1 微分几何基础叉乘大小的几何意义表示为两个矢量为矢量a和b所构成的平行四边形的面积。第2页/共100页 yfx ,0g x y , ,x y zx ty tz t2.1 微分几何基础第3页/共100页2210 xy 1/221yx cosxx sinyy2.1 微分几何基础第4页/共100页tan1yxt 2211xx ttt 221

2、yy ttt有理多项式参数形式： 以直线PQ与x轴的夹角为参数：2.1 微分几何基础第5页/共100页2.1 微分几何基础第6页/共100页参数曲线：容易通过指定参数的范围来定义一段曲线。因此，在课程中的曲线无特殊说明的都是指参数曲线。推而广之，曲面是指参数曲面。参数曲线的矢量表示： ,tx ty tz tr2.1 微分几何基础第7页/共100页2.1 微分几何基础第8页/共100页2.1 微分几何基础第9页/共100页不依赖于参数化的曲线性质被称为曲线的内蕴属性。 单位切矢和曲率是曲线最重要的两个内蕴属性。 0sst dtr ddsTr ttTrr弧长 ：单位切矢： 链式法则： 2.1 微分

3、几何基础第10页/共100页曲率的定义 ：链式法则后： 二维显式曲线 y = y(x) 的曲率： ddsT3r rr 3/221yy2.1 微分几何基础第11页/共100页主法矢的定义 ：副法矢：ddtddtddsddsNTTTTBT N切矢、主法矢和副法矢定义了一个坐标系。2.1 微分几何基础第12页/共100页12.1 微分几何基础第13页/共100页2.1 微分几何基础第14页/共100页dds BN dds rTddsTNddsNBTdds BN2.1 微分几何基础第15页/共100页隐式曲面：, ,0g x y z 显式（非参）曲面：参数曲面：,u vx u vy u vz u vr

4、, ,u vu v z u vr,zz x y或22210 xyz ,cos cos ,sin cos ,sinu vuvuvvr1/2221zxy2.1 微分几何基础第16页/共100页 Ttu tv t u参数域上的二维曲线： ,tu tv tx u tv ty u tv tz u tv trr映射为空间中曲面上的曲线：注意等参线的定义。2.1 微分几何基础第17页/共100页2.1 微分几何基础第18页/共100页2.1 微分几何基础第19页/共100页2.1 微分几何基础第20页/共100页uvuvrrrAu 2TTTTrr rrru A Auu Gu uuuvTuvvvr rr rG

5、A Ar rr ruvArr ,Tdtdtdu dt dv dtuvuu2.1 微分几何基础第21页/共100页uuuvTuvvvr rr rGA Ar rr r1/2uvSdudvdudvrrG1/2TTr rAuu Gu 2.1 微分几何基础第22页/共100页2.1 微分几何基础第23页/共100页uuuvuvvuvvu uvuv vuvrrrrrrr 222uuuvvvTuuvvr nrnrnrnu DuuuuvuvvvrnrnDrnrn2.1 微分几何基础第24页/共100页ddtd sdtssss srrTTTTN 2sr nN n 2TTTnsN nu Duu Duu Gu2.1

6、 微分几何基础第25页/共100页 2.1 微分几何基础第26页/共100页 2.1 微分几何基础第27页/共100页 2.1 微分几何基础第28页/共100页2.2 图形变换 在CAD/CAM系统中，几何图形是最基本的元素，无论采用何种几何建模方法表达设计对象，最终都要转化为几何图形显示在屏幕上。无论是二维或三维图形，都是由图形的顶点坐标、顶点之间的拓扑关系以及组成图形的面和线的表达模型所决定的。图形的几何变换只改变图形的顶点坐标和面、线的表达模型的参数，不会改变他们的拓扑关系，且面、线的表达模型参数也是由相关的顶点坐标所确定的。因此，从原理上讲，图形的几何变换就是将图形上的点的坐标变换成新

7、图形上对应点的坐标点的坐标变换。 2.2 图形变换第29页/共100页 2.2 图形变换第30页/共100页 2.2 图形变换第31页/共100页 比例变换（缩小与放大）、对称变换（或映射变换）、旋转变换、平移交换、错切变换、透视变换等。 变换矩阵：abpcdqlmsT2.2 图形变换第32页/共100页 2.2 图形变换第33页/共100页 2.2 图形变换第34页/共100页 2.2 图形变换第35页/共100页 比例变换（缩小与放大）、平移变换、旋转变换、对称变换（或映射变换）、错切变换、投影变换和透视变换等 。 变换矩阵：abcpdefqTghirlmns2.2 图形变换第36页/共1

8、00页 2.2 图形变换第37页/共100页 2.2 图形变换第38页/共100页 2.2 图形变换第39页/共100页 2.2 图形变换第40页/共100页 2.2 图形变换第41页/共100页10),()(0, ttBtnjnjjbpnjttCtBjnjjnnj,.,1 , 0,)1 ()(, Bzier曲线的定义jb2.3 NURBS曲线与曲面 2.3 NURBS曲线与曲面第42页/共100页Bernstein基函数的性质,( )(1),0,1,.,jjnjj nnBtC ttjn10 t,1,0(0)0,0j njjB,1,(1)0,j njnjnB端点处：2.3 NURBS曲线与曲面

9、第43页/共100页njttCtBjnjjnnj,.,1 , 0,)1 ()(, 10 t1)(0, njnjtBnjnjn , jjnjinntttCtt00)()1 ()1(1B2.3 NURBS曲线与曲面第44页/共100页njttCtBjnjjnnj,.,1 , 0,)1 ()(, 10 t)1 ()(,tBtBnjnnj jnjjnnjttCtB)1 ()(,jjnjnjjnjnnnjnttCttCtB )1 ()1 ()1 (,2.3 NURBS曲线与曲面第45页/共100页1)()()()1 ()(001, 11, ttttttnjnjnj，其中，其中，BBBB)()()1 ()

10、1 ()1 ()1 ()()1 ()(1, 11,111111,ttttttCttCttCCttCtnjnjjnjjnjnjjnjnjjnjnjnjjnnj BBBnjttCtBjnjjnnj,.,1 , 0,)1 ()(, 10 t2.3 NURBS曲线与曲面第46页/共100页)()()(1,1, 1,ttntnjnjnj BBB)()()1 ()1 ()1 ()()1 ()(1,1, 11111111,ttnttnCttnCttjnCtjtCtnjnjjnjjnjnjjnjnjjnjnjjnnj BBBnjttCtBjnjjnnj,.,1 , 0,)1 ()(, 10 t2.3 NURB

11、S曲线与曲面第47页/共100页10),()(0, ttBtnjnjjbp00010j,j,)(n , jB njnjnj, 0, 1) 1 (,Bnbpbp) 1 ()0(0通过首、末控制顶点2.3 NURBS曲线与曲面第48页/共100页)()-()()()(11111110tBntBtBntn ,jjjnjn , jn ,jnjjbbbp)()()(1,1, 1,ttntnjnjnj BBB因为所以)() 1 ()()0(101nnnnbbpbbp类似地有：)()(1() 1 ()()(1()0(2110112 nnnnnnnnbbbbpbbbbp跟首末各一条边有关跟首末各两条边有关2.

12、3 NURBS曲线与曲面第49页/共100页10),()(0, ttBtnjnjjbp1)(0, njnjtB2.3 NURBS曲线与曲面第50页/共100页由基函数的对称性决定。只要控制顶点顺序颠倒一下，即可实现对曲线的反向。)1 ()(,tBtBnjnnj 因为颠倒控制多边形顶点的顺序，即jn*j bb则新曲线为：)-(1)-(1)-(1)()()(0000ttBtBtBtBtnjn , jjnjn , jnjnnjn , jjnnjn , j*j*pbbbbp2.3 NURBS曲线与曲面第51页/共100页10),()(0, ttBtnjnjjbpBzier曲线的实质是一系列绝对矢量的凸

13、组合（加权组合）。此性质便于确定Bzier 曲线的范围。凸包示意图2.3 NURBS曲线与曲面第52页/共100页10),()(0, ttBtnjnjjbpBzier曲线比其控制多边形更光滑，拐折减少。2.3 NURBS曲线与曲面第53页/共100页10),()(0, ttBtnjnjjbp2.3 NURBS曲线与曲面第54页/共100页1、 knjnktbbtkbnktBtkjkjjkjknjknjkj,.,2 , 1 , 0,.,2 , 1)1 (0,.,1 , 0),()(1110,bbpBzier曲线的递推定义2.3 NURBS曲线与曲面第55页/共100页Bzier曲线的分割2.3

14、NURBS曲线与曲面第56页/共100页张量积Bzier曲面 1,0)()()()()()(),(, 1, 0,1 ,0 , 11 , 10 , 1, 01 , 00 , 0, 1, 0 vuvBvBvBuBuBuBvunnnnnmmmnnmmmmbbbbbbbbbp2.3 NURBS曲线与曲面第57页/共100页B-样条曲线示例。三次均匀B-样条曲线 2.3 NURBS曲线与曲面第58页/共100页1. 三次均匀B-样条曲线段10 )()()()()(3i2i1ii43424140u,uNuNuNuNu,iVVVVpB,MuuuuuuuNuNuNuN323243424140113310363

15、03030141! 311 )()()()(其中：2.3 NURBS曲线与曲面第59页/共100页v三次均匀B-样条曲线段的端点性质:321321331036303030141! 311)(iiiiuuuuVVVVp)(21 2 )()()0()(21)0()4(61) 1 ()4(61)0(12112232121iiiiiiiiiiiiiiiiiiiVVVVVVVpVVpVVVpVVVp2.3 NURBS曲线与曲面第60页/共100页 局部性。 保凸性。 对称性 曲线易于反向。 与。2.3 NURBS曲线与曲面第61页/共100页2.3 NURBS曲线与曲面第62页/共100页二次均匀B样条

16、曲线：10 )()()()(2i1ii323130u,uNuNuNu,iVVVp端点性质：)(21) 1 ()(21)0(211iiiiiiVVpVVp121) 1 ()0(iiiiiiVVpVVp2.3 NURBS曲线与曲面第63页/共100页1. 均匀B样条存在的问题2. 非均匀B样条基函数的定义:2.3 NURBS曲线与曲面第64页/共100页1,01,11,1111( )0( )( )( )000iiiii mi mi mimi mii miifuuuNuotherwiseuuuuNuNuNuuuuu 规定 ,),)(21122111 ,iiiiiiiiiiiuuuuuuuuuuuuu

17、uuN B-样条基函数的支撑区间为u i , u i+m+12.3 NURBS曲线与曲面第65页/共100页 ,),)(21122111 ,iiiiiiiiiiiuuuuuuuuuuuuuuuN21 iiuu2.3 NURBS曲线与曲面第66页/共100页2.3 NURBS曲线与曲面第67页/共100页,00( , )( )( )mni ji kj liju vNu Nvpdkl次B样条曲面可以表达为：其中， 为呈拓扑矩形排列的曲面的控制顶点阵列。B-样条曲面为张量积曲面。, i jd2.3 NURBS曲线与曲面第68页/共100页 NURBSNon-Uniform Rational B-Sp

18、line Bezier方法、方法、B样条方法回顾与分析，有待解决的一个重要问题是样条方法回顾与分析，有待解决的一个重要问题是自由曲线曲面和解析曲线曲面（二次曲线弧与二次曲面）的精确自由曲线曲面和解析曲线曲面（二次曲线弧与二次曲面）的精确统一表示。统一表示。 1974 ，美国的，美国的K. J. Versprille以博士论文的形式发表了第以博士论文的形式发表了第1篇有篇有关关NURBS的文章，以后的文章，以后L. Piegl 和和W. Tiller对对NURBS进行了深进行了深入研究，使之在理论和应用上趋于成熟。入研究，使之在理论和应用上趋于成熟。IGES和和STEP标准分别标准分别将其列为优

19、化类型和唯一的自由曲线曲面表示方法。将其列为优化类型和唯一的自由曲线曲面表示方法。2.3 NURBS曲线与曲面第69页/共100页 学习学习NURBSNURBS重点掌握的问题：重点掌握的问题： 1. NURBS的定义的定义 2. 权因子的意义权因子的意义 3. 圆锥截线的圆锥截线的NURBS表示表示 4. NURBS的各种算法的各种算法 5. 各种构型曲面的各种构型曲面的NURBS表示表示 2.3 NURBS曲线与曲面第70页/共100页 有理分式表示有理分式表示: :noikiinoikiiiuNuNu)()()(,dpi , i=0,1,n 为与控制顶点 相联系的权因子。 0， n0其余i

20、 0。 N i,k为k次规范B样条基函数。id2.3 NURBS曲线与曲面第71页/共100页noikiiuRu)()(,dpnojkjjkiikiuNuNuR)()()(,，则，则，则，则, 0)(1,kiikiuuuuR1)(,noikiuR0)(,uRki1)(,uRkiij0)(,uRki0iCrkCnjj,.,2 , 1, 1 otherwiseuNUifuBuRkikkkiki)(,.,.,),()(,1111002.3 NURBS曲线与曲面第72页/共100页0,0,ifZYXifZYXzyxZYXH的直线的无限远点在从原点通过2.3 NURBS曲线与曲面第73页/共100页ii

21、iiiiiiizyxiidD )()()()()(0,00,0,nikiininikiiikiiinikiiuNuNyuNxuNuDP1nikiinikiiinikiinikiiinikiinikiiiuNuNuNuNyuNuNxu0,0,0,0,0,0,)()()()()()()(dp2.3 NURBS曲线与曲面第74页/共100页i)1(1:pmpd:nmndii2.3 NURBS曲线与曲面第75页/共100页圆锥截线的NURBS表示 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 032323131U 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , 0434342424141U2.3 NURBS曲线与曲

22、面第76页/共100页用如图所示的标准型二次有理Bzier曲线（NURBS的一个特例）表示给定的圆锥截线，主要任务是确定w1。2210222211002)1 (2)1 ()1 (2)1 ()(uuuuuuuuubbbp0)(m,bbp1)()(202121)(,bp1121)(111202141121412411121041211)()(bbbbbbpnf11111111)11mbmnn-mb(nbmn(2.3 NURBS曲线与曲面第77页/共100页21221coscos1cosmbmn202110bbbbbb，直线）（，椭圆弧）（），（，抛物线）（，双曲线）（），（和），一对直线即0010

23、0111(111211211211ff1111mbmn2.3 NURBS曲线与曲面第78页/共100页 minjljkijiminjljkijijivNuNvNuNvu00,00,)()()()(d),(p mrnslskrsrljkijiljkiminjljkijivNuNvNuNvuRvuRvu00,;,00,;,)()()()(),(),(),(dp2.3 NURBS曲线与曲面第79页/共100页拟合：2.4 曲线与曲面造型方法 2.4 曲线与曲面造型方法第80页/共100页光顺：2.4 曲线与曲面造型方法第81页/共100页几何连续性：2.4 曲线与曲面造型方法第82页/共100页参数连续性：2.4 曲线与曲面造型方法第