2022年八年级直角三角形

1、1 直角三角形一、直角三角形的性质重点：直角三角形的性质定理及其推论：直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半; 推论： （1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，则它所对的直角边等于斜边的一半 ; （2）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为 30. 难点：1. 性质定理的证明方法 . 2. 性质定理及其推论在解题中的应用. 二、直角三角形全等的判断重点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（hl）难点：创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。三、角平分线的性质定理1. 角平分线

2、的性质定理 ：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 . 定理的数学表示：如图4， oe是aob 的平分线， f是 oe上一点，且 cf oa于点 c，df ob于点 d， cfdf. 定理的作用：证明两条线段相等；用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 图4cdoabfe精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 34 页 - - - - - - - - -2 2. 关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等 . 定理

3、的数学表示：如图6，如果 ap 、bq 、cr分别是abc的内角 bac 、 abc、acb的平分线，那么： ap、bq 、cr相交于一点 i ； 若 id、ie、if 分别垂直于 bc 、ca 、ab于点 d、e、f，则 dieifi. 定理的作用：用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部. 这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心） . 3. 关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有

4、关的简单综合问题的图形.四、勾股定理的证明及应用勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222abc勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“ 勾三，股四，弦五 ” 形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方图 6efdiprqbca精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共

5、 34 页 - - - - - - - - -3 .勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4efghsss正方形正方形 abcd，2214()2abbac，化简可证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422sabcabc大正方形面积为222()2sabaabb所以222abc方法三：1() ()2sabab梯形，2112s222adea

6、bessabc梯形，化简得证.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形.勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在abc中，90c，则22cab，22bca，22acb知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题.勾股定理的逆定理cbahgfedcbabacbaccabcababccbaedcba精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共

7、34 页 - - - - - - - - -4 如果三角形三边长a，b，c满足222abc，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“ 数转化为形 ” 来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时， 可用两小边的平方和22ab与较长边的平方2c作比较， 若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形； 若222abc，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若222abc，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；定理中a，b，c及222abc只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222a

8、cb，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形.勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222abc中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等用含字母的代数式表示n组勾股数：221,2 ,1nn n（2,nn为正整数）；2221,22 ,221nnnnn（n为正整数）2222,2,mnmn mn（,mnm，n为正整数）勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角

9、三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么， 以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线 （通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.勾股定理逆定理的应用精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 34 页 - - - - - - - - -5 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方

10、和与第三边的平方比较而得到错误的结论.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常见图形：abc30dcbaadbc10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。（3）用于证明线段平方关系的问题。（4）利用勾股定理，作出长为n的线段勾

11、股定理经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在 rtabc 中，c=90(1)已知 a=6， c=10，求 b， (2)已知 a=40，b=9，求 c； (3)已知 c=25，b=15，求 a. 思路点拨 : 写解的过程中， 一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析： (1) 在abc 中，c=90，a=6，c=10,b=(2) 在abc 中，c=90，a=40，b=9,c=(3) 在abc 中，c=90，c=25，b=15,a=举一反三【变式】 :如图b=acd=90, ad=13,cd=12, bc=3,则 ab 的长是多少 ? 【答案】 acd=90cbda精品学

12、习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 34 页 - - - - - - - - -6 ad=13, cd=12 ac2 =ad2cd2=132122=25 ac=5 又 abc=90且 bc=3 由勾股定理可得ab2=ac2bc2=5232=16 ab= 4 ab 的长是 4. 类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，. 求：bc 的长. 思路点拨 ：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于 d，则有，再由勾股定理计算出ad、dc 的长，进而求出 bc 的长. 解析：作于 d，则因，（的两个锐角互余）（在中，如果一个锐角等于

13、，那么它所对的直角边等于斜边的一半）. 根据勾股定理，在中，. 根据勾股定理，在中，. . 举一反三【变式 1】 如图， 已知：，于 p. 求证：. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 34 页 - - - - - - - - -7 解析：连结 bm，根据勾股定理，在中，. 而在中，则根据勾股定理有. 又（已知），. 在中，根据勾股定理有，. 【变式 2】已知：如图，b=d=90，a=60，ab=4，cd=2。求：四边形 abcd的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结ac，或延长 ab、dc 交于 f，或延长

14、 ad、bc 交于点 e，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析：延长 ad、bc 交于 e。a=60， b=90， e=30。ae=2ab=8 ，ce=2cd=4，be2=ae2-ab2=82-42=48，be=。de2= ce2-cd2=42-22=12，de=。s四边形abcd=sabe-scde=abbe-cdde=类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地a 点出发，沿北偏东 60方向走了到达 b 点， 然后再沿北偏西 30方向走了 500m精品学习资料 可选择p d f - - - -

15、 - - - - - - - - - - 第 7 页，共 34 页 - - - - - - - - -8 到达目的地 c 点。（1）求 a、c 两点之间的距离。（2）确定目的地 c 在营地 a 的什么方向。解析： （1）过 b 点作 be/ad dab= abe=6030+cba+abe=180cba=90即abc 为直角三角形由已知可得： bc=500m，ab=由勾股定理可得：所以（2）在 rtabc 中，bc=500m，ac=1000m cab=30dab=60dac=30即点 c 在点 a 的北偏东 30的方向举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 米，宽 1.6 米，要开进

16、厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 34 页 - - - - - - - - -9 否小于 ch如图所示，点 d 在离厂门中线 0.8 米处，且 cd，与地面交于 h解：oc1 米 (大门宽度一半 )，od0.8 米 （卡车宽度一半）在 rtocd 中，由勾股定理得：cd.米，c.（米） .（米） 因此高度上有 0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善

17、农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄a、b、c、d，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分 请你帮助计算一下， 哪种架设方案最省电线思路点拨 ：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论解析：设正方形的边长为1，则图（ 1） 、图（2）中的总线路长分别为ab+bc+cd 3，ab+bc+cd 3 图（3）中，在 rtabc 中同理精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 34 页 -

18、- - - - - - - -10 图（ 3）中的路线长为图（4）中，延长 ef 交 bc 于 h，则 fhbc，bhch 由fbh及勾股定理得：eaedfbfcef12fh1此图中总线路的长为4ea+ef32.8282.732 图（ 4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为 4cm，是上底面的直径 一只蚂蚁从点 a 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点c，试求出爬行的最短路程解：如图，在 rt中，底面周长的一半cm， 根据勾股定理得（提问：勾股定理） ac（ cm） （勾股定理）答：最短路程约为cm类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作

19、长为、的线段。思路点拨： 由勾股定理得，直角边为1 的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 34 页 - - - - - - - - -11 为和 1 的直角三角形斜边长就是，类似地可作。作法：如图所示（1）作直角边为 1（单位长）的等腰直角acb，使 ab 为斜边；（2）以 ab 为一条直角边，作另一直角边为1 的直角。斜边为；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、的长度就是、。举一反三【变式】在数轴上表示的点。解析： 可以把看作是直角三角形的斜边，为了有利于画图让其他两边的

20、长为整数，而 10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3 和 1。作法：如图所示在数轴上找到a 点，使 oa=3，作 acoa 且截取 ac=1，以 oc 为半径，以 o 为圆心做弧，弧与数轴的交点b 即为。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1原命题：猫有四只脚 （正确）2原命题：对顶角相等（正确）3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确）4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确）思路点拨： 掌握原命题与逆命题的关系。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -

21、 第 11 页，共 34 页 - - - - - - - - -12 解析： 1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上?（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上（正确）总结升华： 本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7、如果 abc 的三边分别为 a、b、c，且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断 abc 的形状。思路点拨 ：要判断 abc 的形状，需要找到a、b、c 的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手

22、，解决问题。解析：由 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-3)20, (b-4)20, (c-5)20。 a=3，b=4，c=5。 32+42=52, a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得abc 是直角三角形。总结升华 ：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。举一反三 【变式 1】四边形 abcd 中， b=90，ab=3，bc=4，cd=12，ad=13，求四边形 abcd 的面积。【答案】 ：连结 ac b=90，ab=3，

23、bc=4 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 34 页 - - - - - - - - -13 ac2=ab2+bc2=25（勾股定理）ac=5 ac2+cd2=169，ad2=169 ac2+cd2=ad2acd=90（勾股定理逆定理）【变式 2】已知:abc的三边分别为 m2n2,2mn,m2+n2(m,n 为正整数 ,且 mn),判断abc 是否为直角三角形 . 分析:本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明 :a2+b2=c2即可证明：所以 abc 是直角三角形 . 【变式 3】如图正方形 abcd ，e 为 bc 中

24、点，f 为 ab 上一点，且 bf=ab。请问 fe与 de 是否垂直 ?请说明。【答案】答： deef。证明：设 bf=a，则 be=ec=2a, af=3a，ab=4a, ef2=bf2+be2=a2+4a2=5a2；de2=ce2+cd2=4a2+16a2=20a2。连接 df（如图）df2=af2+ad2=9a2+16a2=25a2。 df2=ef2+de2, fede。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 34 页 - - - - - - - - -14 勾股定理经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若

25、直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积。思路点拨： 在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析： 设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：（3x）2+（4x）2202化简得 x216；直角三角形的面积3x4x6x296 总结升华： 直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。举一反三【变式 1】等边三角形的边长为2，求它的面积。【答案】如图，等边 abc ，作 adbc 于 d 则：bdbc （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合

26、）abacbc2（等边三角形各边都相等）bd1 在直角三角形 abd 中，ab2ad2+bd2，即：ad2ab2bd2413 adsabcbcad注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a。【变式 2】直角三角形周长为12cm，斜边长为 5cm，求直角三角形的面积。【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：由（1）得： x+y7，（x+y）249，x2+2xy+y249 (3) (3)(2)，得： xy12 直角三角形的面积是xy126（cm2）【变式 3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求 n。思路点拨： 首先要确定斜边（最长的边）长n+3，

27、然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2）2（n+3）2化简得： n24 n2，但当 n2 时，n+1190 ，bd 、ce分别为 ac 、ab上的高， f为 bc的中点，求证： fed= fde 。分析：因为 bd 、ce分别为 ac 、ab上的高，所以bdc= bec=90 。在 rtbdc 中 df为斜边上中线，所以。同理在 rtbec中，所以 df=ef ，所以fed= fde 。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 34 页 - - - - - - - -

28、-22 例 7：（2015 年上海市中考题）已知：如图6，在abc中，ad是高，ce是中线。dc=be ，dg ce ，g为垂足。求证：（ 1）g是 ce的中点；（ 2）b=2bce 。分析：（ 1）e是 rtadb斜边上中点，连 de ，则，所以 de=dc 。又因为 dg ce ，所以 g为 ce的中点。（2）因为 de=dc ，所以 1=2。因为edb= 1+2，所以edb=2 2。由性质拓展知： b= edb ，所以b=22，即b=2bce 。例 8：（2015 年呼和浩特市中考）如图7，在abc中，c=2 b，d是 bc上的一点，且ad ab ，点 e是 bd的中点，连 ae 。求证

29、：（ 1）aec= c；（2）求证： bd=2ac 。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 34 页 - - - - - - - - -23 分析：（ 1）因为 ae是 rtbad斜边 bd上中线，由性质拓展可知：aec=2 b。又因为 c=2 b，所以aec= c。（2）由（1）aec= c，所以 ae=ac ，ae是 rtbad斜边上中线。由性质可得：，所以，故 bd=2ac 。例 9：（第四届“祖冲之杯” 初二竞赛） 如图 8，在梯形 abcd 中，ab cd ，a+b=90 ，e、f分别是 ab 、cd的中点。求证：。

30、分析：延长 ad 、bc交于 g ，连 ge 、gf 。由于a+b=90 ，所以g=90 。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 34 页 - - - - - - - - -24 e、f分别为 dc 、ab中点。由性质可得：。由性质拓展可得：gde= age ，gaf= agf 。因为 cd ab ，所以gde= gaf ，所以age= agf ，所以 g 、e、f三点在同一直线上，所以。例 10：如图 9，在四边形 abcd 中，ac bc ，bd ad ，且 ac=bd ，m 、n分别是 ab 、dc边上的中点。求证：mn

31、 dc 。分析：m是 rtadb与 rtacb斜边上中点，连 dm 、cm ，由性质可得：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 34 页 - - - - - - - - -25 ，所以dmc 为等腰三角形。又因为 n为 cd的中点，所以 mn dc 。经典习题精讲1、如图所示，已知beac ，df ac ，垂足分别为 e，f，o是 ac与 bd的交点且是 bd的中点，求证 be=df 。2、如图所示， ad 是abc 中bac 的平分线， abc=2c，求证： ab+bd=ac 。精品学习资料 可选择p d f - - - -

32、 - - - - - - - - - - 第 25 页，共 34 页 - - - - - - - - -26 3、如图所示，在 abc 中，b=900，cae 和acf 的平分线相交于 d，求d 的度数。4、如图所示，在 rtabc 中，acb=900，d 为 ab 的中点，debc于 e，求证 cde=a。c a b d e a b c f d 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页，共 34 页 - - - - - - - - -27 6、如图所示， ab/cd，ad=ab=bc ，dc=2ab ，求证 bd bc 。7、在等腰

33、三角形中，腰上的高等于腰长的一半，求等腰三角形的顶角的度数。8、如图所示，在 abc 中，ab=ac ，daac ，bac=1200，求证 bd=21dc 。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 27 页，共 34 页 - - - - - - - - -28 9、如图所示，在四边形abcd 中，ad/bc ，bd=bc ，ab=ac ，bac=900，求 abd的度数。10、 如图所示，d 是 abc 的边 bc 的中点，deac,dfab， 垂足分别为 e,f,且 bf=ce,求证 ad 平分bac。11、如图所示， ad是bac 的平分

34、线， de,df 分别是 abd, acd 的高，求证 ad 垂直平分 ef。c 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 28 页，共 34 页 - - - - - - - - -29 12、如图所示， b=900,ad=ab=bc,de ac,求证 be=dc.13、如图所示， ad/bc,dc ad,ae 平分bad ，且点 e 是 cd 的中点，则 ad,bc 与ab 之间有何数量关系？精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 29 页，共 34 页 - - - - - - - - -30 14、如图所示， po mn,pd oa,pe ob ，垂足分别为o,d,e,且 pd=pe ，求证 aom= bon. 15、判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形。 （1）a=15，b=8，c=17； （2）a=13，b=14，c=15. 16、16、 如图所示，在 abc 中，ab=ac ， 点 p 为边 bc 上一点，且 pb=3，pc=7， 求 ab2-ap2的值。a c d p b 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 30 页，共 34 页