高数复习课件

1、高数复习第第 六六 章章 定积分的应用定积分的应用一、基本要求（重点一、基本要求（重点 8 8分）分） 重点掌握平面曲线所围区域的面积的计算重点掌握平面曲线所围区域的面积的计算. .),()(,xfyxgbxabadxxgxf)()(二、复习题二、复习题 习题习题 6-2(P.284) 1. 2.(1)(2)6-2(P.284) 1. 2.(1)(2)()(xgyxfy得交点得交点 ).,(),(2211yxyxD)(xgyb)(xfyayox高数复习第第 七七 章章 微分方程微分方程1. 1. 了解了解微分方程与微分方程的阶、解、通解、特解、微分方程与微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件初

2、始条件等概念等概念; ;一、基本要求（重点一、基本要求（重点 1212分）分）2. 2. 各类微分方程各类微分方程的解法的解法( (通解及特解通解及特解).). 掌握：可分离变量微分方程、一掌握：可分离变量微分方程、一阶线性阶线性微分方程微分方程、二二阶常系数齐次线性阶常系数齐次线性微分方程的解法微分方程的解法. .二、复习题二、复习题 习题习题 7-1(P.298) 1.(1)(3)(5)7-1(P.298) 1.(1)(3)(5) 习题习题 7-4(P.315) 1.(1)(3)(5) 2.(1)(3)(5)7-4(P.315) 1.(1)(3)(5) 2.(1)(3)(5) 习题习题 7

3、-7(P.340) 1.(1)(3)(5) 2.(1)(3)(5)7-7(P.340) 1.(1)(3)(5) 2.(1)(3)(5)高数复习 一、一、微分方程微分方程 1. 1. 含有未知函数、含有未知函数、未知函数的导数未知函数的导数(或微分或微分)的方程的方程叫做微分方程叫做微分方程. 2. 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶数叫做微分方程的阶. 3. 如果将某函数以及该函数的各阶导数代入微分方如果将某函数以及该函数的各阶导数代入微分方程能使该微分方程成为恒等式程能使该微分方程成为恒等式, 则称该函数为该微分方程则称该函

4、数为该微分方程的解的解. 通解通解 如果微分方程的解中含有任意常数如果微分方程的解中含有任意常数, 且其个数且其个数与微分方程的阶数相同与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解这样的解叫做微分方程的通解. 特解特解 微分方程不含任意常数的解叫做特解微分方程不含任意常数的解叫做特解.高数复习 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.)()(ygxhdxdy,)()(dxxhdyyg则则dxxhdyyg)()(所以所以.)()(CxFyG得通解得通解( (隐式通解隐式通解) ) 一阶线性微分一阶线性微分方程方程)()(xQyxPy通解为通解为dxexQeCeydxxPdxxPdxxP)

5、()()()(dxexQCedxxPdxxP)()()(高数复习二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程0 qyypy02qprr特征方程特征方程2422, 1qppr其根为：其根为： 判别式特征根微分方程的通解xrxreCeCy2121p2-4q0 两异根 r1r2xrexCCy1)(21p2-4q=0 两等根 r1= r2ir2, 1)sincos(21xCxCeyxp2-4q0.24,22pqp高数复习第第 八八 章章 空间解析几何空间解析几何 1. 1.向量的运算向量的运算 加、减、数乘、数量积、向量积加、减、数乘、数量积、向量积.一、基本要求（重点一、基本要求（重点 16

6、16分）分） 2. 2.向量间夹角的余弦公式、向量的平行、垂直的判定向量间夹角的余弦公式、向量的平行、垂直的判定. 3. 3.会求平面的会求平面的方程与直线的方程方程与直线的方程( (各种表示式各种表示式) ).二、复习题二、复习题 习题习题 8-2(P.22) 1. 2. 3.8-2(P.22) 1. 2. 3. 习题习题 8-5(P.42) 1. 2. 3. 5.8-5(P.42) 1. 2. 3. 5. 习题习题 8-6(P.49) 2. 4. 7.8-6(P.49) 2. 4. 7.高数复习 向量的线性运算向量的线性运算 设设 a =( ax , ay , az ), b =( bx

7、, by , bz ), a + b =( ax+ bx , ay+ by , az+ bz ), a - b =( ax- bx , ay- by , az- bz ), a =( ax , ay , az ).向量的数量积向量的数量积 定义定义 设设 a 、b 为两向量为两向量, 其夹角为其夹角为 , 称两向量的称两向量的模与其夹角的余弦的乘积为两向量的数量积模与其夹角的余弦的乘积为两向量的数量积, 记作记作 a b , .cosa b a b a b = ax bx + ay by + az bz .cosa ba b.222222zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa高数复习

8、 设设 a =( ax , ay , az ), b =( bx , by , bz ),向量的数量积向量的数量积 定义定义 设设 a 、b 为两向量为两向量, 其夹角为其夹角为 , 称两向量的称两向量的模与其夹角的余弦的乘积为两向量的数量积模与其夹角的余弦的乘积为两向量的数量积, 记作记作 a b , .cosa b a b a b = ax bx + ay by + az bz .cosa ba b.222222zyxzyxzzyyxxbbbaaabababaa / b.zzyyxxabababba两向量平行的充要条件为两向量平行的充要条件为垂直的垂直的充要条件为充要条件为a b a b

9、= 0. 高数复习 向量的向量积向量的向量积( (叉积叉积) ) 定义定义 设设 a 、b 为两向量为两向量, 其夹角为其夹角为 , 则由这两个则由这两个向量可以唯一确定一个向量向量可以唯一确定一个向量 c , 该向量的模为该向量的模为 ,sin c a b 其方向垂直于向量其方向垂直于向量 a 与与 b 所确定的平面所确定的平面, 且且 a、b、c 满足右手规则满足右手规则, 那么称向量那么称向量 c 为向量为向量 a 与与 b 的向量积的向量积, 记作记作 a b, 即即c = a b .abca b = ( aybz - azby )i +( azbx - axbz )j +( axby

10、 - aybx )k = ay bz i + az bx j + ax by k - az by i - ax bz j - ay bx k . i j kax ay azbx by bz (+) ( ) =高数复习平面方程平面方程1. 1. 平面的点法式方程平面的点法式方程 设设 M0(x0 , y0) 为该平面内一定点为该平面内一定点, , 法法向量为向量为 n = ( A,B,C ), 则平面方程为则平面方程为:),(000yxM),(yxMyzxon0)()()(000zzCyyBxxA2. 2. 平面的一般方程平面的一般方程0DCzByAx空间直线的方程空间直线的方程1. 1. 空间

11、直线的一般方程空间直线的一般方程两平面的交线两平面的交线. .01111DzCyBxA02222DzCyBxALyzxo12高数复习2. 2. 空间直线的点向式方程空间直线的点向式方程 直线的方向向量为直线的方向向量为),(0000zyxM),(pnms为直线上一定点为直线上一定点, , 则则 pzznyymxx000Lyzxos),(0000zyxM3. 3. 空间直线的参数方程空间直线的参数方程mtxx0ntyy0ptzz0高数复习第九章第九章 多元函数微分学多元函数微分学一、基本要求（重点一、基本要求（重点 3232分）分）1. 1. 了解多了解多( (二二) )元函数的概念、定义域元函

12、数的概念、定义域; ;2. 2. 了解多元函数的极限与连续的概念了解多元函数的极限与连续的概念; ;3. 3. 理解多元函数偏导数的概念理解多元函数偏导数的概念, , 掌握偏导数的求法掌握偏导数的求法; ;4. 4. 理解多元函数全微分的概念理解多元函数全微分的概念, , 会求函数的全微分会求函数的全微分; ; ( (包括多元复合函数、隐函数、二阶偏导数包括多元复合函数、隐函数、二阶偏导数) )5. 5. 会求二元函数的极值会求二元函数的极值, , 会用拉格朗日乘数法求条会用拉格朗日乘数法求条件极值件极值, , 并会解决一些简单的应用问题并会解决一些简单的应用问题; ;高数复习二、复习题二、复

13、习题 习题习题 9-1(P.63) 5. 6.(1)(3)(4)(5)(6)9-1(P.63) 5. 6.(1)(3)(4)(5)(6) 习题习题 9-2(P.69) 1.(1)(3)(5) 6.(1)(2)(3)9-2(P.69) 1.(1)(3)(5) 6.(1)(2)(3) 习题习题 9-3(P.72) 1.(1)(3) 9-3(P.72) 1.(1)(3) 习题习题 9-5(P.89) 1. 2. 3. 4.9-5(P.89) 1. 2. 3. 4. 习题习题 9-4(P.82) 1. 5. 7. 9-4(P.82) 1. 5. 7. 习题习题 9-8(P.118) 2. 4. 5.

14、6. 7.9-8(P.118) 2. 4. 5. 6. 7.及本节例题：例及本节例题：例7 7、例、例8.(P.116) 8.(P.116) 高数复习一、二元函数的概念一、二元函数的概念(P.5)(P.5).),(, ),(Dyxyxfz其中其中 x, y 称为自变量称为自变量, z 称为因变量称为因变量, D 为为函数的定义域函数的定义域. . 二、二元函数的极限二、二元函数的极限( (二重极限二重极限)(P.7)(P.7)Ayxfyyxx),(lim00 连续函数求极限就等于求该点的函数值连续函数求极限就等于求该点的函数值. 一切二元一切二元三、二元函数的连续性三、二元函数的连续性(P.9

15、)(P.9),(),(lim0000yxfyxfyyxx初等函数在其定义域内是连续的初等函数在其定义域内是连续的. 主要内容主要内容高数复习四、偏导数的定义及其计算方法四、偏导数的定义及其计算方法(P.12)(P.12)xyxfyxxfxfx),(),(lim0,xz).,(yxfx或记为或记为,xzyyxfyyxfyfy),(),(lim0,yz).,(yxfy或记为或记为,yz二阶偏导数二阶偏导数,),(,),(222xzyyxzyxfxzxxzyxfxyxx.),(,),(222yzyyzyxfyzxxyzyxfyyyx高数复习五、全微分的概念五、全微分的概念.dyyzdxxzdz六、多

16、元复合函数微分法六、多元复合函数微分法),(),(),(yxvvyxuuvufz),(),(yxvyxuf.,yvvzyuuzyzxvvzxuuzxz七、隐函数微分法七、隐函数微分法,0),(,yxzyxF.,zyzxFFyzFFxz0zF 高数复习八、二元函数的极值八、二元函数的极值, ),(),(00yxfyxf 1. 概念概念 极大值极大值 极小值极小值, ),(),(00yxfyxf 2. 必要条件必要条件 设函数设函数 z = = f (x, y) 在点在点 (x0, y0) 处具有偏处具有偏导数导数, 且在点且在点 (x0, y0) 处有极值处有极值, 则它在该点的偏导数必则它在该

17、点的偏导数必为零为零, 即即.0),(,0),(0000yxfyxfyx3. 3. 条件极值与拉格朗日乘数法条件极值与拉格朗日乘数法, ),(),(),(zyxzyxfzyxL 求函数求函数 u = = f (x, y, z ) 在条件在条件 (x, y, z ) = = 0 下的极值下的极值.构造一拉格朗日函数构造一拉格朗日函数其中其中为某一待定常数为某一待定常数高数复习1. 1. 理解二重积分的概念理解二重积分的概念, , 了解并会应用重积分的性了解并会应用重积分的性 2. 2. 会将二重积分化为二次积分会将二重积分化为二次积分, , 会交换积分次序，会交换积分次序，熟练掌握直角坐标和极坐

18、标计算二重积的方法熟练掌握直角坐标和极坐标计算二重积的方法. .一、基本要求（重点一、基本要求（重点 1212分）分）质质; ;二、复习题二、复习题 习题习题 10-1(P.154) 2. 5. 6.(1)(2) 14.10-1(P.154) 2. 5. 6.(1)(2) 14.第第 十十 章章 重重 积积 分分高数复习一、二重积分一、二重积分 1. 二重积分的概念二重积分的概念(P.75).),(lim),(10iiiDnifdyxfd其中其中 叫做被积函数叫做被积函数, , 叫做被积表达式叫做被积表达式, ,),(yxfdyxf),(iiinif),(1叫做面积元素叫做面积元素, , 与与

19、 叫做积分变量叫做积分变量, , D 叫做积分区域叫做积分区域, ,yx 叫做积分和叫做积分和. .2. 2. 二重积分的性质二重积分的性质(P.77)(P.77)3. 3. 二重积分的计算二重积分的计算高数复习3. 3. 二重积分的计算二重积分的计算 在直角坐标系下二重积分的计算在直角坐标系下二重积分的计算 设设 f ( (x, ,y) ) 0, 0, 积分区域积分区域 D )(1xyyxobxaxyx),()(21bD)(2xyadxdyyxfdyxfbaxxD )()(21),(),(可表示为可表示为: :X - - 型区域型区域baxxdyyxfdx)()(21),( 积分区域积分区域

20、 D 可表示为可表示为:)(1yxyxodycyxy),()(21d)(2yxcdydxyxfdyxfdcyyD )()(21),(),(Ddcyydxyxfdy)()(21),(Y - - 型区域型区域高数复习 交换二次积分的次序交换二次积分的次序 对于给定的二重积分对于给定的二重积分先根据其积分限先根据其积分限画出积分区域画出积分区域 D, , 根据积分区域的形状根据积分区域的形状, ,按新的次序确定新的积分限按新的次序确定新的积分限 写出结果写出结果 ),()(,21xyxbxabaxxdyyxfdx)()(21),()()(,21yxydycdcyybaxxdxyxfdydyyxfdx

21、)()()()(2121),(),(cDyxo)(1xyb)(2xya)(2yx)(1yxd3. 3. 二重积分的计算二重积分的计算 在直角坐标系下二重积分的计算在直角坐标系下二重积分的计算高数复习3. 3. 二重积分的计算二重积分的计算 在极坐标系下二重积分的计算在极坐标系下二重积分的计算 极坐标与直角坐标的关系为极坐标与直角坐标的关系为sincosyx在极坐标系中面积元素可表示为在极坐标系中面积元素可表示为ddd )(1o)(2D则则ddfdyxfD )()(21)sin,cos(),()()(21)sin,cos(dfd高数复习1. 1. 理解常数项级数收敛理解常数项级数收敛、发散及收敛

22、级数的和的概念发散及收敛级数的和的概念; ;2. 2. 掌握收敛级数的基本性质及收敛的必要条件掌握收敛级数的基本性质及收敛的必要条件; ;3. 3. 掌握几何级数与掌握几何级数与 p - - 级数的收敛与发散的条件级数的收敛与发散的条件; ;一、基本要求（重点一、基本要求（重点 2020分）分）4. 4. 掌握正项级数收敛的判别定理掌握正项级数收敛的判别定理, , 部分和有界部分和有界, ,比较比较 和比值审敛法和比值审敛法, ,交错级数的莱布尼茨定理交错级数的莱布尼茨定理; ;5. 5. 绝对收敛与条件收敛的判定绝对收敛与条件收敛的判定; ;6. 6. 掌握幂级数的收敛半径掌握幂级数的收敛半

23、径、收敛区间及收敛域的求法收敛区间及收敛域的求法; ;会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数. .7. 7. 掌握掌握 和和 的幂级数展开式的幂级数展开式, ,)1ln(cos,sin,11,xxxxex第十二章第十二章 无无 穷穷 级级 数数高数复习二、复习题二、复习题 习题习题 12-2(P.268) 1. 2. 4.(1)(4) 5.(1)(2)12-2(P.268) 1. 2. 4.(1)(4) 5.(1)(2) 习题习题 12-3(P.277) 1.(1)(2)(3)(4)(5).12-3(P.277) 1.(1)(2)(3)(4)(5). 习题

24、习题 12-4(P.285) 2.(1)(2)(3)(4) 5.12-4(P.285) 2.(1)(2)(3)(4) 5.高数复习ssnnlim一、常数项级数一、常数项级数 如果级数如果级数 的部分和数列的部分和数列 sn 有极限有极限 s, 即即1nnu则称无穷级数则称无穷级数 收敛收敛( (称称 s 为和为和), ), 否则称级数发散否则称级数发散. .1nnu.0limnnu 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件 如果级数如果级数 收敛收敛, , 则则1nnu二、正项级数及其审敛法二、正项级数及其审敛法主要内容主要内容 定理定理 正项级数正项级数 收敛的充分必要条件是收敛的充分必要条件是

25、: : 1nnu该级数的部分和数列该级数的部分和数列 sn 有界有界. .高数复习二、正项级数及其审敛法二、正项级数及其审敛法)0(0aaqnn 等比级数等比级数( (几何级数几何级数) )1q收敛收敛1q发散发散)0(10pnnp p - - 级数级数1p收敛收敛1p发散发散高数复习 比较审敛法比较审敛法 设设 和和 都是正项级数都是正项级数, , 1nnu1nnv), 2 , 1(nvunn且且 , ,若级数若级数 收敛收敛, , 则级数则级数 也也1nnu1nnv收敛收敛; ;若级数若级数 发散发散, , 则级数则级数 也发散也发散. . 1nnu1nnv 如果如果 , , 且级数且级数 收敛收敛, , 则则 )0(limllvunnn1nnv级数级数 收敛收敛( (极限形式极限形式) ) 1